高考数学 教学研究论文 理解教材 感悟数学素材

理解教材 感悟数学宋朝著名理学家朱熹说：“观书，先须熟读，使其言皆出自于吾之口；继而精思，使其意出于吾之心；然后有所得耳。”笔者仔细品味这段话，认为作为一名数学教师，要想理解教材，首先要熟读教材，先“入”教材，然后领悟教材，再“出”教材，只有教师真正理解了教材内容的编写意图及数学本质，才能做到深入浅出地教学，将教材教“透”，将数学教“活”，为此要求教师在教学时决不能停留在教材的形式化的表面处理上，而是要返璞归真，深入钻研教材，理解教材，力求把数学的形式化逻辑链条恢复为当初数学家发明创新时的火热思考，将数学知识的教育学形态转化为学生易于理解的教育形态，进而让学生学到真正的数学，感受到数学的真谛。一、感悟“本源” 由于数学知识大都是人类在长期的社会实践中发展而来的，故其中的数学概念、思想方法的起源与创立都是自然的。如果你感到某个概念生硬不自然，是强加于人的，那么只要细想一下它的背景、它的形成过程，就会发现它实际上上浑然天成的产物，它不仅合情合理，而且很有人情味，因此数学内在的自然和谐是实现自然的教学过程的源泉，对此我们教师必须有一个清醒的认识，当然，不少数学概念产生的背景可以在数学史中查到，而有些根本查不到，此时，教师不能以此为借口，避开不讲，而应该开动自己的脑筋进行思考一番，找出产生的必要性和合理性，甚至就连教材中一些数学概念的叫法也就不一般，也值得考究，说不定能悟出数学的本质所在。 例如，在复数教学中，关于命题“若、，且，则”是否正确？在教学中发现，学生往往认为是正确的，因为根据不等式的性质即知，然而这一命题却是错误的，对此学生不解，只好等待教师课堂上解释了，可不少教师却以“虚数不提大小，故两个复数不能比较大小”为由，说明其不正确，对此学生依然提出质疑，因为像与这样的复数不能比较大小，可以理解，而此命题是特殊情况，不等式两边同时加上一个数，不等式仍然成立，怎么不对呢？对此，不少教师也是没有认识透彻，故也解释不清，就搁置起来，最后也就不了了之，令学生纠结不已，这样教师专业发展就无从谈起。 但是如果笔者进行了一番思考，则就能发现其中的奥秘。笔者认为不等式两边同时加上一个正数（或负数），原不等式的两边都相应地增加了（或减少了）同一个数，不等式显然成立，而虚数单位既不是正数也不是负数（注：这一点首先向学生讲清楚），故此时虽有，则实数加上之后得到的数并不能说明比大，还是比小，同理故也是如此，因而也无法比较与的大小，因而是错误的。不过笔者讲到此，仍然不少学生呼声不断，他们提出利用“作差比较法”可以比较出与的大小，即，故，乍一看，理由十足，此时教师如果缺乏科研意识，则很难发现破绽的，说不定根据学生的这一思路就得出“”的错误结论，从而造成以讹传讹的现象发生。不过笔者比较冷静，勤于明察秋毫，善于研究，很快就看出了玄机所在，于是就追问学生“将不等式一边的数移到另一边的依据是什么？”学生一听到这个问题，几乎是哑口无言，心想：“移项不就是移过来变号码，还有什么依据？”由此看出学生对初中学过的知识点认识模糊，是导致错误解法的根源所在，其实“将不等式一边的数移到另一边变号”的依据仍然是不等式的性质-不等式两边同时加上一个数，不等式仍然成立。”经过这样一解释，学生口服心服，心情自然爽极了，真正起到解惑的作用。 其实解释这个问题也不难，就是需要教师善于从数学知识的理解中抽丝剥茧，引导学生思辨解惑，激发学生思维，弄清问题的本质，必然能起到训练学生思维深刻性的作用。2、 感悟“美感” 数学教师培养学生对数学的感情，在很大程度上是向学生展示数学美。既然审美追求是一种普遍存在的心理，学生从根本上说也就是希望看到数学美的，这就靠教师引导学生从教材的字里行间中发现美，让学生感受到美。著名数学家庞家莱断言：“数学的优美感不过就是问题解决适合我们心灵需要而产生的一种满足。”OO由于教材受篇幅的限制及学生认知的状况，编者不可能把数学家创造学生的过程都一一地展示出来，故数学教材中的数学知识大多是形式地摆在那里的，准确的定义、严密的推理，一个字一个字地印在纸上，这种以形式化为主而呈现出来的数学内容，看上去确实冷冰冰。但其实它又确实很美，然而如果教师不认真剖析教材，弄清所以然，则是很难发现数学美的，从而导致学生也感受不到数学知识那冰冷的美感。其实，只要我们教师悉心揣摩，用心体会，就会发现数学教材中处处充满美，一旦学生感受到学生如此之美，将能大大激发学生对数学科学的热爱。例如，在直线参数方程的学习时，我们知道，对于过定点、倾斜角为的直线的参数方程是为参数）（），在此参数方程的教学时，教师通常是先介绍“有向线段的数量”这一概念，然后再推导出参数方程（），并告诉学生参数的几何意义是直线上定点到动点的有向线段的数量，这样直接告诉式的教学，学生虽然也能接受，但就觉得“有向线段的数量”这一概念比较别扭，不知道为什么要突然引入此概念，故难以接受，自然学生就对它亲近不起来，产生不了认同感。究其原因，就是教师照本宣科的结果，没有领会教材编者意图，从而领悟不到教材介绍“有向线段的数量”这一概念的必要性与合理性，从而更感受不到数学的统一和谐美。笔者在教学这个问题时，并没有直接抛出“有向线段的数量”这一概念，而是这样导入的：设是直线上一动点，如果选取为参数，则当点在定点的上方时（如图1），过点及分别作轴、轴的平行线，交于点，在中，因为,则易知（）;当点在定点的下方时（如图2），过点及分别作轴、轴的平行线，交于点，在中，因为,则易知（）,由此看出，无论参数方程（）中，还是参数方程（）中，动点的坐标都与有关，但两个参数方程就有一点不同，那就是当动点在定点的上方时，前面是“”号，当动点在定点的下方时，前面是“”号，由于二者差别就在与此，那么我们能否根据动点与定点的上、下关系及前面的正负号情况，将参数方程（）与参数方程（）统一起来，此时学生不难想到对于参数方程（），若令，则得到为参数）；而对于参数方程（），若令，则就得到为参数），接着笔者就追问学生，参数是一定正数吗？可能为负数与零吗？学生不难得出，当动点在定点的上方时，为正；当动点在定点的下方时，为负；当动点与定点重合时，为零，为了便于表达与应用，不妨将即起个名，于是“有向线段的数量”的概念就呼之欲出，学生听后感到自然亲切，深深地认识到引入“有向线段的数量”这一概念的重要意义，真正领悟到数学的和谐美，大大增加了教学的吸引力. 由此看出，教师在教学设计时，要反复锤炼教材内容，在尊重教材的同时，也需要根据学情进行恰当的再创造，多问几个为什么，挖掘出教材引入此知识点的意义所在，学生也就能感受到数学概念的真正价值，教学过程也就富有感染力，能极大地激起学生学习数学的热情。三、感悟“本质”课程标准强调高中数学教学要发展好学生的理性思维，为此培养学生的推理论证能力是高中数学教学的必然要求，而推理论证的依据首先要保证必须是准确的、简洁的表述，为此高中数学教材中的概念、公式、定理等重要知识点大都用符号语言进行呈现出来的，故形式化表达较多，然而由于数学符号的抽象性，致使学生感到高中数学抽象难懂，但数学不是机械的法则、僵死的符号，而是有着较强的现实意义和鲜活的生命的。这就要求教师有较强的感悟能力，要善于揭示数学的本质，那么究竟如何清楚地揭示数学的本质呢？一般来说，数学本质都是隐藏在数学符号语言之中，比较抽象，学生很难发现，这就要求教师在备课时，对教材内容要透过现象看本质，然后力争用通俗易懂的文字语言给学生讲解清楚，做到深入浅出，准确把握数学本质，易于理解与掌握，使学生达到忘其形而不忘其神的学习境界。在周期函数的概念教学时，面对“函数是以为周期的函数，则的周期是多少”这个问题，不少学生往往将它错误地认为的周期还是，且不知道错在何处？笔者认为之所以出现这样的错误，根本原因就是只注重了周期函数的形式化的定义，而不清楚周期函数的本质所致。所以教师在教学中力求揭示出周期函数的本质：“周期函数的对应法则的功能是：定义域内所有自变量加上同一个非零常数后，经过对应法则加工，它们的函数值相等。”如果学生弄清楚了周期函数的真正意义，则学生就不难由函数的周期为得出，即，从而的周期却是，而不是。由此可以看出，在概念教学中教师若能把形式化数学的学术形态转化了学生易于接受的教育形态，去揭示数学知识的本质，则可大大提升学生的数学素养。四、感悟思想教材中表面上似乎看不到多少数学思想方法，但不是说教材中就没有思想方法，其实教材中的数学知识中蕴含着丰富的数学思想方法，只不过数学思想方法是依附于表层数学知识的深层知识，比较隐蔽，需要我们教师去进一步发现。然而，受惰性使然，不少教师往往知重视数学知识的理解，而忽视了对数学思想方法的领悟，甚至很多教师将数学思想与数学方法混为一谈，认识上也是稀里糊涂的，即使教材中也明确给出某些数学思想方法，但一些教师理解得不深刻，往往只知应用，而不加理解，教学中运用处理问题时，学生就认为数学思想方法很“虚”，很“玄”，其实数学思想方法虽然不是具体的数学知识，但它也是可以感受的。 例如，在运用“序轴标根法”解高次不等式时，笔者发现不少教师在备课时，只关注此法使用的三个前提条件：（1）最高次幂项的系数为正；（2）从右上角开始“穿线”；（3）奇过偶不过。而不思考此法是怎么想出来的，为什么要这样？为什么要穿针引线来处理？虽然教学中按照“序轴标根法”的适用前提条件也能顺利解决高次不等式，但因对此法缺少理解，故只是机械套用方法，故显得毫无数学味，体现不出数学教学是思维活动的教学。笔者认为，利用“序轴标根法”解高次不等式是数形结合思想的有力体现，在理解时要看到这一点，然后还要说搞清楚“序轴标根法”为什么可以用来解高次不等式？其理论依据是什么？对此，不少教师却蒙在鼓里，认为这是人为规定的，没有什么可理解的，事实并非如此，完全可以理解，这就要求教师在理解教材上下功夫，仔细想想，确实能找到这种方法解决问题的合理性，那就是用“序轴标根法”画出的曲线就是函数的图像，教师一旦戳穿这一真相，学生就能清楚地认识到利用“序轴标根法”穿线的过程就是画相应函数图像的过程，学生对“序轴标根法”也就有了好感，不再冰冷，学生听后在利用“序轴标根法”解高次不等式时，能从画函数图像的角度去思辨解答得正确与否，而不是仅靠死记硬背标准去操作解答。五、感悟“策略” 在例题教学时，引导学生注重对解题的策略分析尤为重要，因为它是例题教学的核心所在，只有牢牢抓住了这一点，解题教学才能点燃学生思考的热情，从而才能真正实现例题教学是思维活动的教学。由于教材中的例题往往只给解答过程，而缺少“想法”的分析，对于为什么要这样解？为什么不那样解？学生却不得而知，所以教师在理解教材中例题的解答，不应只关注”解答的步骤及结果上，而应把精力放在“为什么这样去思考”上。例如，在证明“面面平行的判定定理”时，教师分析此题时，应重点解决为什么想到使用“反证法”解决？而不是眼光盯着如何用“反证法”去证明。笔者的做法是，先回忆一下到目前为止，我们已经学习了哪些证明“面面平行”的方法？经过一番思考之后，发现只有利用“面面平行平行的定义”这一种方法，接着，思考根据题设条件用“面面平行平行的定义”处理此题行得通吗？又陷入了沉思，结果发现不行，至此已知道了此题从正面不能解答，哪该怎么办呢？此时自然想到从反面入手处理，这样“反证法”就呼之而出，这种解题的切入点能够自然流淌是缘于教师注重解题策略的分析的结果。六、感悟“联系”教师在钻研教材时，要从宏观上把握各章节内容之间的联系，特别是本节与前面知识和后续知识的连贯性，绝不能孤立地看待某章或某节的内容，头痛治头，脚痛治脚，否则学生对数学知识的理解支离破碎，只见树木，不见森林，这将不利于学生思维能力的培养；因此教学时教师既要学会站在数学学科整体高度上去看待每一节内容，不仅要立足高学段，而且还又要俯视低学段的内容，这样的教学才能使学生感受到数学味，才能做到融会贯通。如在学习了“乘法原理”之后，教材又安排了“排列与组合”知识，不少老师只知道一节节备各种类型的解题思想方法、技巧，而却不考虑“排列与组合”与“乘法原理”的关系，笔者在理解教材时认为，学习排列与组合知识的主要目的是减少做事程序，提高解题效率，同时一般而言，能用“排列与组合”处理的问题，都能用“乘法原理”进行求解，因为“排列数公式与组合数公式”都是根据“乘法原理”推导出来的，而用“乘法原理”能解决的问题，用“排列与组合”知识不一定解决出来，因为用“乘法原理”解决的问题具有一般性，不一定是“排列与组合”问题。教师如果能认识这个层面上进行教学，则教学时很容易激起学生的思考，学生就想方设法怎么去提高解题效率？例如从100个中抽取10人参加10项不同的活动，问有多少种方法？若按照乘法原理进行操作，则需要10步才能完成，即种方法；若按照先选后排的方法操作，则需要两步即可，即；而若按照连选带排的方法，只需一步操作，即种方法，显然通过对比发现，学了排列与组合知识可大大简化办事程序，从而使我们深深感受到学习排列与组合的重要性和必要性。七、感悟“意图”能否领会教材的编写意图，是衡量教师理解教材深浅的一个重要标志。对编写意图领会得越深，越能充分发挥教材在教学中的作用。事实上，不少教师在深钻教材，领