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第二章函数与导数第6课时二 次 函 数1. 函数y2x28x2在区间1,3上的值域为_答案:6,12解析:y2(x2)26.x2时,y最小为6;x1时,y最大为12.2. 设f(x) x2ax3,不等式f(x)a对xr恒成立,则实数a的取值范围为_答案:6a2解析:依题意,x2ax3a0对xr恒成立,故函数的图象恒在x轴的上方或与x轴最多只有一个公共点,从而a24(3a)0.3. 二次函数f(x)2x25,若实数pq,使f(p)f(q),则f(pq)_答案:5解析:由f(p)f(q),知二次函数图象的对称轴为x,则f(pq)f(0)5.4. 已知函数f(x)ax2(13a)xa在区间1,)上递增,则实数a的取值范围是_答案:0,1解析:若a0,满足题意;若a0,则a0且1. 5. 函数y(sinxa)21,当sinxa时有最小值,当sinx1时有最大值,则实数a的取值范围是_答案:1,0解析:当sinxa时有最小值,则1a1;当sinx1时有最大值,说明1比1更远离a,所以a0,所以1a0.6. 若函数f(x)(xa)(bx2a)(a、br)是偶函数,且它的值域为(,4,则该函数的解析式f(x)_答案:2x24解析:f(x)bx2(ab2a)x2a2. f(x)是偶函数, ab2a0, a0或b2.当a0时,f(x)bx2不符当b2时,f(x)2x22a2. 值域为(,4, 2a24. f(x)2x24.7. 如图,已知二次函数yax2bxc(a、b、c为实数,a0)的图象过点c(t,2),且与x轴交于a、b两点,若acbc,则a_答案:解析:设ya(xx1)(xx2),由条件,a(tx1)(tx2)2,又acbc,利用斜率关系得,1,所以a.8. 设函数f(x)x|x|bxc,给出下列四个命题:当c0时,yf(x)是奇函数;当b0,c0时,方程f(x)0只有一个实根;yf(x)的图象关于点(0,c)对称;方程f(x)0至多有两个实根上述命题中正确的是_(填序号)答案:解析:由c0,得f(x)x|x|bx为奇函数;当b0,c0时,f(x)x|x|c,此时方程f(x)0有唯一一个实数根;在函数yf(x)的图象上任取一点(x,y),其关于点(0,c)的对称点为(x,2cy),可判断该点仍在yf(x)的图象上;当c0,b0时,方程f(x)0有三个实数根故正确,错误9. 设a为实数,函数f(x)x|xa|,其中xr.(1) 判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2) 写出函数f(x)的单调区间解:(1) 当a0时,f(x)x|x|, 因为定义域为r,它关于原点对称,且f(x) x|x| f(x),所以f(x)为奇函数当a0时,因f(a)0,f(a) a|2a|,所以f(a)f(a),f(a) f(a),所以f(x)是非奇非偶函数(2) 当a0时,f(x)f(x)的单调递增区间为(,)当a0时,f(x)f(x)的单调递增区间为和(a,),f(x)的单调递减区间为.当a0时,f(x)f(x)的单调递增区间为(,a)和,f(x)的单调递减区间为.10. 已知f(x)x2ax3a,且f(x)在闭区间2,2上恒为非负数,求实数a的取值范围解:f(x)x2ax3a3a.由题意,f(x)0在x2,2上恒成立,即f(x)min0.当4时,f(x)minf(2)73a,由73a0,得a,这与a4矛盾,此时a不存在当22,即4a4时,f(x)minf3a,由3a0,得6a2,此时4a2.当2,即a4时,f(x)minf(2)7a,由7a0,得a7,此时7a0,c0)的图象与x轴有两个不同的公共点,且有f(c)0,当0xc时,恒有f(x)0.(1) 当a1,c时,解不等式f(x)0;(2) 若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a的取值范围;(3) 若f(0)1,且f(x)m22km1对所有x0,c,k1,1恒成立,求实数m的取值范围解:(1) 当a1,c时,f(x)x2bx.f(x)的图象与x轴有两个不同交点,因f0,设另一个根为x2,则x2,所以x21,于是f(x)0的解集为.(2) f(x)的图象与x轴有两个交点,因f(c)0,设另一个根为x2,则cx2,故x2.所以三交点的坐标分别为(c,0),(0,c)又当0x0,则c,于是,以这三交点为顶点的三角形的面积为sc8,故a,于是a.(3) 由题意,当0x0,所以f(x)在0,c上是单调递减的,且在x0处取到最大值1.要使f(x)m22
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