2024年山东省济宁市曲阜市夫子学校中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年山东省济宁市曲阜市夫子学校中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（3分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1） D．2a2•4a3＝8a54．（3分）不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，⊙O中，，连接AB，BC，OB，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．115° C．100° D．150°6．（3分）2023年全国教育工作会议于1月12日在北京召开，会议重点谈到了要重视学生的“读书问题”，为落实会议精神，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查册数12345人数25742根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，37．（3分）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服（）A． B． C． D．8．（3分）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长为1，则sin∠ABC的值为（）A． B． C． D．9．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n）（）①abc＞0；②点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜0＜x2时，y1＜y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个解是﹣4；④3a+c＜0．A．①③ B．①② C．③④ D．②④10．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（﹣1，0），同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2023的坐标为（）A．（﹣22023，0） B．（22022，0） C．（﹣22022，22022） D．（﹣22023，﹣22023）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．（3分）石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其厚度仅0.00000000035cm．12．（3分）化简分式的结果是．13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A，C为圆心长为半径作弧，两弧交于点D，直线DE与交AB交于点F，交AC于点G，若BC＝2，则HG的长为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＞0，x＞0），AB分别交于点M，N，且OM＝2MC，∠COA＝60°，则N的横坐标为．15．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点O恰好落在上点D处，点E为OB的中点，点P为线段CB上一个动点，PE，DP，下列说法：①当点P运动到CB的中点时，四边形COPD为菱形，②，④阴影部分面积为，正确的是（填序号）．三、解答题：本大题共7题，满分55分.解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.16．（6分）（1）计算：+（2023﹣π）0﹣+2sin60°．（2）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1），其中x为方程x2﹣6x﹣2023＝0的解．17．（7分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，优秀，优异四个等级分别进行统计请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是，圆心角β＝度；（2）补全条形统计图；（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A18．（7分）某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件），部分图象如图．（1）若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少？（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？（3）物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元19．（8分）如图，△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，作EF⊥AB于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CD＝9，sin∠DCB＝，求EF的长．20．（8分）阅读新知一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，公比通常用字母q表示（q≠0）．即：在数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）中，若，，…，则数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）叫做等比数列．其中a1叫数列的首项，a2叫第二项，…，an叫第n项，q叫做数列的公比．例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列计算：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和．解：令S＝1+3+32+33+…+3100，则3S＝3+32+33+34+…+3100+3101．因此3S﹣S＝3101﹣1．所以．即1+3+32+33+…+3100＝．学以致用（1）选择题：下列数列属于等比数列的是A.1，2，3，4，5B.2，6，18，21C.56，28，14，7D．﹣11，22，﹣33，﹣55（2）填空题：已知数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，若它的首项a1＝3，则它的第n项an等于．（3）解答题：求等比数列1，5，52，53，…前2024项的和．21．（9分）如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值．22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+6（m＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为点D．（1）当m＝﹣6时，直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若，①求m的值．②将直线CD向上平移n个单位得到直线L，直线L与抛物线只有一个公共点，求n的值．（3）如图2，在（2）的条件下，若点Q为OC的中点，动点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作x轴的垂线．垂足为H，交直线ED于点J，过点M作MN⊥DE，求出PM与MN和的最大值；若不存在

2024年山东省济宁市曲阜市夫子学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（3分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的倒数是；故选：C．2．（3分）如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体是（）A． B． C． D．【解答】解：A、俯视图是，不符合题意；B、俯视图是，不符合题意；C、俯视图是，符合题意；D、俯视图是，不符合题意．故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1） D．2a2•4a3＝8a5【解答】解：A．∵，∴此选项的计算错误；B．∵，∴此选项的计算错误；C．∵a3﹣a＝a（a2﹣8）＝a（a+1）（a﹣1），∴此选项的计算错误；D．∵6a2•4a7＝8a5，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；故选：D．4．（3分）不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：，由①得，x＜3；由②得，x≤1，故此不等式组的解集为x≤4．在数轴上表示为：故选：D．5．（3分）如图，⊙O中，，连接AB，BC，OB，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．115° C．100° D．150°【解答】解：∵，∴∠ACB＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，故选：C．6．（3分）2023年全国教育工作会议于1月12日在北京召开，会议重点谈到了要重视学生的“读书问题”，为落实会议精神，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查册数12345人数25742根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3【解答】解：由题意可得：众数是3，中位数，故选：A．7．（3分）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服（）A． B． C． D．【解答】解：设原计划每天制作x套防护服，可列方程为：﹣＝2，故选：B．8．（3分）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长为1，则sin∠ABC的值为（）A． B． C． D．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，由图知：AB＝＝5，BC＝＝，∵S△ABC＝5×5﹣×4×5﹣×5×5＝，∴BC•AD＝，∴AD＝，在Rt△ABD中，sin∠ABC＝＝＝，故选：B．9．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n）（）①abc＞0；②点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜0＜x2时，y1＜y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个解是﹣4；④3a+c＜0．A．①③ B．①② C．③④ D．②④【解答】解：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），n）．∴a＞0，c＜2，∴b＝2a＞0，∴abc＜4，故①错误；点（x1，y1），（x7，y2）在函数图象上，∵对称轴为直线x＝﹣1，∴当x5＜0＜x2时，不能判断y2和y2的大小，故②错误；∵图象与x轴交于点（2，5），∴图象与x轴的另一个交点为为（﹣4，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个解是﹣4，故③正确；由图象可知当x＝7时，y＜0，即a+b+c＜0，∵b＝5a，∴3a+c＜0，故④正确．故选：C．10．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（﹣1，0），同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2023的坐标为（）A．（﹣22023，0） B．（22022，0） C．（﹣22022，22022） D．（﹣22023，﹣22023）【解答】解：由题知，因为每次绕点O顺时针旋转60°，所以360°÷60°＝6，即每旋转6次便转了一周．又因为2023÷5＝337余1，所以第2023次旋转后，点A2023在射线OA1上，即与x轴的负半轴夹角为60°．因为第3次旋转后，OA1＝2；第8次旋转后，；第3次旋转后，；…，所以第n次旋转后，；当n＝2023时，6n＝22023，即第2023次旋转后，OA2023＝22023．又因为OA2023与x轴的负半轴夹角为60°，且在x轴的上方，所以点A2023的坐标为（）．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．（3分）石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其厚度仅0.00000000035cm3.5×10﹣10．【解答】解：0.00000000035＝3.7×10﹣10．故答案为：3.5×10﹣10．12．（3分）化简分式的结果是．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A，C为圆心长为半径作弧，两弧交于点D，直线DE与交AB交于点F，交AC于点G，若BC＝2，则HG的长为．【解答】解：由作法得FG垂直平分AC，∴FG⊥AC，AG＝CG，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，∴CG＝AC＝，在Rt△BCG中，BG＝＝，∵FG∥BC，∴＝＝，∴HG＝BG＝．故答案为：．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＞0，x＞0），AB分别交于点M，N，且OM＝2MC，∠COA＝60°，则N的横坐标为3+．【解答】解：分别过点M、N作x轴的垂线、G，∵四边形OABC是菱形，OA＝6，∴OC＝OA＝6，∵OM＝3MC，∴OM＝×6＝4，在Rt△OMH中，OM＝8，则OH＝2，∴点M的坐标为（2，2），∵点M在反比例函数（k＞2，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的表达式为y＝，设AN＝2a，∵OC∥AB，∴∠AOC＝∠NAG＝60°，在Rt△NAG中，设AN＝5a，则AG＝aa，∴点N的坐标为（6+a，a），∵点N在反比例函数y＝上，∴（6+a）•＝4，解得a＝﹣3+（负值已舍去），∴6+a＝7+，∴N的横坐标为3+，故答案为：3+．15．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点O恰好落在上点D处，点E为OB的中点，点P为线段CB上一个动点，PE，DP，下列说法：①当点P运动到CB的中点时，四边形COPD为菱形，②，④阴影部分面积为，正确的是①③④（填序号）．【解答】解：连接OF，由折叠性质可知，OB＝BD，∴OB＝BD＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠OBC＝∠DBC＝30°，∴，∵当点P运动到CB的中点时，∴，∴四边形COPD为菱形，故①正确；∵DF⊥BC，∴∠CFD＝90°，由∠OBC＝∠DBC＝30°，∠AOB＝∠CDB＝90°，∴∠CDF＝30°，∴，∴，∴，故②错误，∵O与D是关于BC对称，∴当D、P、E三点共线时，即DE的值，∴DE⊥OB，∴∠DEB＝90°，∵∠OBD＝60°，∴∠BDE＝30°，∴．在RtDEB中，由勾股定理得；同理：，∴阴影部分面积为，故④正确；故答案为：①③④．三、解答题：本大题共7题，满分55分.解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.16．（6分）（1）计算：+（2023﹣π）0﹣+2sin60°．（2）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1），其中x为方程x2﹣6x﹣2023＝0的解．【解答】解：（1）+（2023﹣π）0﹣+2sin60°＝3+8﹣（﹣1）+7×＝3+1﹣+8+＝5；（2）（x﹣3）2+（x+2）（x﹣6）﹣（x+3）（x+1）＝x8﹣2x+1+x6﹣4﹣（x2+2x+3）＝x2﹣7x+1+x2﹣6﹣x2﹣4x﹣5＝x2﹣6x﹣4，∵x2﹣6x﹣2023＝2，∴x2﹣6x＝2023，∴当x6﹣6x＝2023时，原式＝2023﹣6＝2017．17．（7分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，优秀，优异四个等级分别进行统计请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是50，圆心角β＝144度；（2）补全条形统计图；（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：10÷20%＝50，则圆心角β＝360°×＝144°，故答案为：50，144；（2）成绩优秀的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），补全条形统计图如下：（3）1200×＝480（人），答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，∴恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为＝．18．（7分）某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件），部分图象如图．（1）若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少？（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？（3）物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元【解答】解：（1）这两次平均增长率为x，30（1+x）2＝67.4，解得：x＝0.5或﹣3.5（舍去）．∴这两次平均增长率为50%；（2）设解析式为y＝kx+b，根据图象可知，点（30、（50，∴，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+160；设每天获利w元，根据题意得w＝（x﹣30）⋅（﹣2x+160）＝﹣2x7+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，∴当x＝55时，w取最大值为1250，答：当销售单价55元/件时，每天获利最大．（3）由（2）知，当w最大＝1200时2+1250＝1200，解得x6＝50，x2＝60，∴m的值为50，即m＝50．19．（8分）如图，△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，作EF⊥AB于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CD＝9，sin∠DCB＝，求EF的长．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，∴CD＝BD＝AB，∴∠DCB＝∠B．∵OC＝OE，∴∠DCB＝∠OEC，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥BD．∵EF⊥AB，∴OE⊥EF，∵OE为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接DE，如图，∵CD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°．在Rt△CDE中，∵sin∠DCB＝，∴DE＝CD＝3．∴CE＝．∵DC＝DB，DE⊥BC，∴BE＝CE＝2．∵DE•BE＝，∴DE•BE＝BD•EF，∴2×6＝5EF，∴EF＝2．20．（8分）阅读新知一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，公比通常用字母q表示（q≠0）．即：在数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）中，若，，…，则数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）叫做等比数列．其中a1叫数列的首项，a2叫第二项，…，an叫第n项，q叫做数列的公比．例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列计算：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和．解：令S＝1+3+32+33+…+3100，则3S＝3+32+33+34+…+3100+3101．因此3S﹣S＝3101﹣1．所以．即1+3+32+33+…+3100＝．学以致用（1）选择题：下列数列属于等比数列的是CA.1，2，3，4，5B.2，6，18，21C.56，28，14，7D．﹣11，22，﹣33，﹣55（2）填空题：已知数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，若它的首项a1＝3，则它的第n项an等于3×4n﹣1．（3）解答题：求等比数列1，5，52，53，…前2024项的和．【解答】解：（1）由题意可得，，故选项A中的数列不是等比数列；，故选项B中的数列不是等比数列；，故选项C中的数列是等比数列；，故选项D中的数列不是等比数列；故答案为：C；（2）∵数列a1，a6，a3，…，an是公比为4的等比数列，它的首项a7＝3，∴它的第n项an＝a1•qn﹣5＝3×4n﹣7，故答案为：3×4n﹣2；（3）设S＝1+5+82+55+…+52023，则5S＝7+52+83+…+52023，6S﹣S＝52024﹣1，4S＝52024﹣1，S＝，即前2024项的和是．21．（9分）如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠EAB+∠AEB＝90°，∵AG⊥CF，∴∠FCB+∠CEG＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠EAB＝∠FCB，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG＝22.5°，在△AGC和△AGF中，，∴△AGC≌△AGF（ASA），∴CG＝GF，∵∠CBF＝90°，∴GB＝GC＝GF，∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.2°，∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DBG＝∠GBF，∴BG平分∠DBF；（3）解：连接BG，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∴AC＝DC，∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝112.4°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝