（基础数学专业论文）koszul代数的hochschild（上）同调群.pdf

摘要 k o “u l 代数是一类十分重要的代数类型它在代数拓扑、交换代数、l i e 代数理论以及量子群中都有着重要的应用而有限维代数的h o c h s c h n d 同调 与上同调理论在代数表示论中扮演着重要的角色- 同调群与代数的整体维数 及定向圈密切相关，而上同调群则与代数的单连通性、可分性贡及形变理论 有重要联系本文主要对两类特殊的k o s z u l 代数的同调性质进行深入研究， 即二元广望外代数和对应于根双模的拟遗传代数 外代数在数学的很多领域如代数几何、交换代数微分几何等都扮演着 十分重要的角色。外代数的表示理论与同调性质已被广澎也研究。特别是量 子外代数，它在很多方面都呈现出“病态”行为，从而作为反例否定了h a p p e l 在1 9 明年的猜想，如果a 是代数闭域女上的有限维代数，则砂d i m a ( 当且仅当h c h 曲n a 而且b u c h w e i t z 等人通过对二元量子外代数上同调 行为的研究，给出了l - i a p p d 的个公开问题的反例本文基于b u c h w e i t z 等 人构造的二元量子外代数的极小投射双模分解，利用组合的方法，计算了二 元广义外代数的各阶h o c h s c h i j d 同调群的维数，从而对广义夕卜代数的同调行 为有更清晰地了解我们的计算也表明尽管二元量子外代数的h o c h s c h i i d 上 同调呈现出。病态”行为，然而它在h o c h s c h i l d 同调方面却不再呈现病态行 为 拟遗传代数是c h ，p s h a l l 和s o 砒为了研究复l i e 代数与代数群的 表示理论所引起的最高权范畴而引入的一种重要的代数类型它的非零阶的 同调群均为零，但它们的上同调群却大多不为人们所知与上三角双模相联 系的拟遗传代数是一类重要的k o m u l 代数它也出现在一般线性群g l 的 抛物子群在幂幺正规子群上的作用的研究中本文考虑了有限表示型遗传代 数的投射模范畴上的根双模r d d ( 一，一) 所对应的拟遗传代数，通过对b s r d z e h 上链复形的刻画，用组合的方法得到了该拟遗传代数的h o c h s c h i h 各阶上同 调群的维数。从而对拟遗传代数的上同调行为有了进一步的了解 关键词，k o s z u l 代数；二元广义外代数；拟遗传代数；根双模；极小投射 双模分解；h o c h s c h i h ( _ h ) 同调群 a b s t r a c t k o s z u l a l g e b r a i s a q m t e i m p o r t a n t c l a s s o f a 埏e b r s e r e c e n t l y t h e r e h a v e b e e ni m p o r t a n ta p p l i c a t i o n st da l g e b r a i ct o p o l o g y , c o m m u t a t i v em g e b r a l i e t h e o r ya n dq u a n t u mg r o u p s w h i l eh o c h s c h i l d ( c o ) h o m o l o g i c a lt h e o r i e so f f i n i t e - d i m e n s i o n a la l g e b r a sp 1 8 ya ni m p o r t a n tr o l ei nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y ： h o c h s c h i l dh o m o l o g yi sc l o s er e l a t e dt ot h eo r i e n t e dc i r c l ea n dt h eg l o b a l d i m e n s i o n so fa l g e b r a s ；h o c h s c h i l dc o h o m o l o g yh a v ei m p o r t a n tc o n n e c t i o n s w i t hs i m p l ec o n n e c t e d u e s s ，s e p a r a b i l i t ya n dt h ed e f o r m a t i o nt h e o r y i nt h i st h e s i s , ( c o ) h o m o l o g yp r o p e r t i e so ft w os p e c i a lc l a 镕o fk o s z u l a l g e b r a s8 f i ei n v e s t i g a t e d ，i e ，t h eg e n e r a l i z e de x t e r i o ra l g e b r ai nt w ov a r i a b l e s a n dt h eq u a 矗h e r s d i t a r ya l s e b r & s o c “删t or a d i c a lb i m o d u l e s e x t e r i o ra l g e b r a sp l a y 蛆i m p o r t a n tr o l ei nm a n yf i e l d so fm a t h e m a t i c s s u c h 蠲a 起e b r a 拓g e o m e t r y , c o m m u t a t i v ea l g e b r a , d i 丘e r e n t i a lg e o m e t r ya n d s oo n t h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r i e so fe x t e r i o ra l g e b r a sa n d h o m o l o g yp r o p e r - t i e sb r ew i d e l ys t u d i e d , e s p e c i a l l yt h eq u a n t u me x t e r i o ra l g e b r a s w h i c ha r e p a t h o l o g i c a li nm a n ya s p e c t sa n dt h u s 缸e & n e g a t i v e 柚s w 口t oh a p p e l 8c o m j e c t u r e i n l 9 8 9 ：f o r a f i u i r e - d m e n s i o n m m g e b r a a o v e r 缸m g e b r a i c a l l y d o s e d & l d 春9 1 蕊仇以 0 0i fa n do n l yi f 蔬击m a b u c h w e i z eg a v ean e g a - r i v ea n s w e rt oh a p p e l sq u e s t i o nb yi n 懈t i g 毗i o no ft h eh o m o l o g yp r o p e r t i e s o ft h eq u a n t u me x t e r i o ra l g e b r a si nt w ov a r i a b l e s i nt h i st h e s i s ，b a s e d0 1 3 t h em i n i m a lp r o j e c t i v eb i m o d u l er e s o l u t i o nc o n s t r u c t e db yb u c h w e i t ze t8 l ， t h ed i m e n s i o n so fa l lh o c h s c h i l dh o m o l o g yg r o u p so ft h eg e n e r a l i z e de x t e r i o r a l g e b r ai n 慨v a r i a b l e s a r ec a l c u l a t e de x p n c i t l yb ym e 缸o fc o m b i n a t i o n s s o w ec a nk n o wm o r ea b o u tt h eh o m o l o g yb e h a v i o r so ft h eg e n e r a l i z e de x t e r i o r a l g e b r a s o u rc o m p u t a t i o n sm s om a n i f e s tt h a tt h eh o c k s c h i l dh o m o l o g yb e - h a v i o r s o f t h e q u a n t u me x 栅i o r a l g e b r a s i n t w o v a r i a b l e s8 f i e n o t p a t h o l o g i c a l a n ym o r et h o u g ht h e yt h e m s e l v e sa r ep a t h o l o g i c a li nm a n ya s p e c t s ， q l l a s o h l i t 8 f ya l g e b r a sa r e 衄i m p o r t a n ta l g e b r a i ct y p ew h i c hi n t r o - d u c e db yc l i n e ，p a r s h a l la n ds c o t ti no r d e rt os t u d yh i 曲e 8 tw e i g h tc a t e g o r i e s 缸r e p r e s e n 僦i o nt h e o r yo fc o m p l e xl i e - a l g e b r a sa n da l g e b r a i cg r o u p s e v - e r yn o n - z e r o ，p t hh o c h s c h i l dh o m o l o g yg r o u po fq u a s i - h e r e d i t a r ya l g e b r a s i sz e r o ，h o w e v e r ，l i t t l ei sk n o w na b o u tt h eh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yg r o u p s q u a s i - h e r e i i t a r ya _ l g e b r a s 越s o c i a t e dt ou p p e rt r i a n g u l a rb i m o d u l e sa r ea n i m p o r t a n tc l a s so fk o s z u la l g e b r a s w h i c ha l s oa p p e a ri t h ei n v e s t i g a t i o n o fe f f e c t so ft h ep a r a b o l i cs u b g r o u p si ng e n e r a ll i n e a rg r o u pg 厶io nc e r - 且 t a i nu n i p o t e n ti n v a r i a n ts u b g l o u p s i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h eq u a s i - h e r e d i t a r ya l g e b r aa s s o c i a t e dt ot h er a d i c a lb i m o d u l eo v e rah e r e d i t a r ya l g e - b r ao f 丘n hr e p r e s e n t a t i o nt y p e ，w ec a ne x p l i c i t l yc a l c u l a t et h ed i m e n s i o n s o fa l lh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yg r o u p so fi tb ym e a no fc o m b i n a t i o n sa f t e r c a r e f u la n a l y s i so b d r d z e uc o - c h s i nc o m p l e x e sa n dt h u sk n o wm o r ea b o u t t h eh o m o l o g yb e h a v i o r so ft h eq u a s i - h e r e d i t a r ya l g e b r a s k e yw o r d s ：k o s z u la l g e b r a ；g e n e r a l i z e de x t e r m ra l g e b r ai nt w ov a r i a b l e s ； q u a s i - h e r e d i t a r ya l g e b r a ；r a d i c a lb i m o d u l e ；m i n i m a lp r o j e c t i v eb i m o d u l e r e s - o l u t i o n ；h o c h s c h i l d ( c o ) h o m o l o g yg r o u p 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本 人承担。 论文作者签名：俄辗 签名日期：口7 年珀，日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校关于保留，使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本：学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名：僻童痿 签名日期：0 7 年6 月f 日 名：倒习 签名日期：d 7 年6 思蜘 f 第一章绪论 1 1h o c h s c h i l d ( 上) 同调群 第章绪论 设a 是域上的有限维结合基( b a s i c ) 代数( 含单位元1 ) ，小= a0 ka 。，是a m 包 络代数m 是上有限维a - a - 双模，贝i j h o c h s c h i l d 复形c = ( c ，) 讵z 定义如下： c = o ， 0 其中a 副表示上的张量积a a 圆o a ( 共有i 次) ，映射为 d o ：m h a r n k 似，m ) ，d o ( m ) = 【一。m l ，其中卜，m 1 ( a ) = 口m t r ，v a a ； 毋：_ + c 件1 由下述法则给出v ，a l o o n “i a 。( 件n ，( 毋f ) ( a l o ，固坼1 ) = 8 i ，向o o a i + 1 ) + ( - 1 ) q 0 1 0 o a i a j + 2 0 密坼1 ) + ( 一1 ) “1 f ( a l o 固a 1 ) 皿+ 1 直接代入验证可知d i + 1 = 0 由此定义 j f ( a ，= h ( g 。) = 缸”厶，n ，坼z 称为a 的系数在m 中的第i 次h o e h s c h i l d 上同调群 若取m = a 则记日( 锄：= ( a ，枷，称为a 的第i 次h o c h s c h i l d 同调群此 上同调群为h o c h s c h i l d1 9 4 5 年引进i t 而h o c h h i i d 同调群并j h o c h s c h i l d 本人所引进，它首先出现在书【2 1 中考 虑h o c h s c h i l d 复形 其中 哦( 口l o 。a 。( 州) 立纽乌a a 立a 立0 i 。啦+ 1 ) = ( 一1 y - 1 ( 口l 。唧吩+ l 。 j = l 固坼1 ) + ( 一1 ) ( 口l o 固啦) a i + l 湖北大学硕士学位论文 令 h i ( a ) = k e r d i i r n d l + 1 ，i 0 ， 则 凰( a ) 掣t o ( a ，a ) 羔d e x t l a 。( a ，d ( a ) ) ，d = h o r n k ( 一，) ， 称为a 的第i 次h o c h s c h i l d 同调群 从而，设小= a0 ka 是a 的包络代数，a 的第i 阶h o c h s c h i l d 同调群与上同调 群【3 | 也可分别定义为 日日( a ) = e x t ：t 。( aa ) 与h h ( a ) = t o e ( a ，a ) h o c h s c h i l d ( 上) 同调理论，尤其是低维( 上) 同调群在表示论中具有重要的作用： g e r s t c n h a b e r 在【4 】中证明了二阶上同调群h 2 ( a ) 控制了代数a 的形变理论，而一 阶上同调群日1 ( 舢与代数a 的g a b r i e l 箭图顶点的可分性质和单连通性密切相 关p 一，h a p p e l 等人证明了代数闭域上的有限表示型代数是单连通的当且仅当 它的a u s l a n d e r f 数的一阶上同调群为零嘲人们也猜想代数闭域上的有限维代 数，如果它的一阶上同调群消失，那么它的g a b r i e l 箭图没有定向圈但这是不 正确的，b u c h w e i t z 等人举出了反例i 1 0 1 ，于是人们又猜想倾斜代数是单连通的当 且仅当它的一阶上同调群消失这对t a m d 顷斜代数证明是正确的【1 1 1 一阶和二 阶h o c h s c h i l d 上同调群的消失与代数的表示型也有着紧密的联系【4 6 而同调群 与代数的整体维数及定向圈密切相关【i 2 - 1 q 一般情况下计算代数的h o c h s c h i l d 同调与上同调群是比较困难的但一 些特殊的代数类，如外代数、截面代数、单项式代数等的同调与上同调群已 被计算【1 3 , 1 5 - - 2 2 1 ；某些特殊代数的上同调群也已被计算，如有限维遗传代数l b 】， i n e i d e n e e 代数【2 a , 2 4 1 ，具有狭窄箭图的代数1 8 , 2 s 】，根方零代数例，具有n o r m e d 基的特 殊双列代数1 2 0 等我们也注意到这些代数都具有乘法基z a c h a r i a 也证明了拟遗 传代数的非零阶的同调群均为零1 2 8 | 1 2k o s z u l 代数 k o s z u l 代数在交换代数和代数拓扑中起着相当重要的作用印一3 1 1 目前，它 在非交换k o s z u l 代数的代数拓扑以及李代数理论和量子群中也都有着重要的应 用p 2 删 2 第一章绪论 首先我们回忆一下k o s 跏l 代数的定义川设k 是一个域，a = a o + a 1 + 是 域k 上的一个分次代数若对每个n 1 ，a n = a 1 a ，卜l ，则称a 是由o 次元和1 次元 生成的我们用e ( a ) 表示y o n e d a 代数 e ( a ) = e x t , ( a 0 ，) n 0 这里乘法结构是通过y o n e d a 积给出的则e ( a ) 是域k 上的一个分次代数，其 中e ( a ) 。= e x t , ( a 0 ，a o ) 我们称一个分次代数a 是k o s z u l 代数，如果它满足以 下三个条件：( 1 ) 3 o 是域k 上的半单a r t i n i a n 代数，即形为k k ；( 2 ) a 是 由0 次元和1 次元生成的；( 3 ) e ( a ) 也是f a 0 次元和1 次元生成的， k o s z u l 代数是一类相当好的代数类一方面，它不仅在代数上存在k o s z u l 对 偶，在模范畴和导出范畴上也存在k o s z u l 对偶p 2 矧；另一方面，对任意一 个k o s z u l 代数，它的极大半单子代数 。的极小投射a 一分解以及它的极小投 射a - a 双模分解我们都已相当清楚呻 目前，我们已经知道很多代数都是k o s z u l 代数，如路代数嘲，根方零代数 删， 整体维数为2 的二次代数【3 4 】，有限表示型的有限维不可分解三次根方零自入射代 数【删以及许多预投射代数【3 9 l 等等而且，从一个k o s z u l 代数出发，我们可以构造新 的k o s z u l 代数，如k o s z u l 代数的反代数是k o s z u l 代数1 3 2 , a s l ，k o s z u l 代数的二次对偶 等价的y o n e d a 代数是k o s z u l 代数 3 a , a 4 , a s ，两个k o s z u l 代数的张量代数是k o s z u i 代 数嘲，也可以通过g a l o i s 覆盖来构造k o s z u l 代数，等等 本文主要研究两类特殊的k o s z u l 代数的同调性质。即二元广义外代数和对应 于根双模的拟遗传代数 1 2 1 二元广义外代数 设a = a = k ( z ，u ) 0 2 ，z 3 ，+ q l y z ，3 2 ) 是两个变元的广义外代数，其中g n o ) 令1 ，l 分别为a 的h o e h s c h i l d 同调与 上同调维数【1 3 1 h a p p l e 在1 9 8 9 年猜想：如果a 是代数闭域上的有限维代数， 一3 一 湖北大学硕士学位论文 则以d i m 0 0 当且仅当h c h 击m 定义一个序：a 固口- 4 o 口如果a 2 r a n k r n 2 2 n 一 2 n k + 2 2 n 一+ 1 。 2 n 一一1 。 2 n 一1 ， 2 n + 1 ， 当n = k r ， 2 r n ，r 皆为奇数； 当n = k r 一1 ，k 2 r n 为偶数，r 为奇数 当n = k r ，1 且竹，r 皆为偶数； 当n = k r l ，k l 且n 为奇数，r 为偶数 其它，但n 为奇数； 其它。但n 为偶数 证明对于矩阵g ，考虑中间的n l 行，第i + 1 行是零行当且仅当 芝! ：， 其中i = 1 ，2 ，伟一1 1 + ( 一1 ) “矿；o 当且仅当下面条件中的( 1 ) 或( 2 ) 之一成立，其中 ( 1 ) q i = 1 且n 为奇数营 = k t r j i k l 1 ，竹为奇数； ( 2 ) 矿= 一1 且n 为偶数营i = ( 2 s l + 1 ) r 2 ，s l n i g h , r 为偶数 矿- + ( 一1 ) “= o 当且仅当下面条件中的( 3 ) 或( 4 ) 之一成立，其中 ( 3 ) 矿- = 1 且n 为奇数兮n i = k 2 r r k 2 1 ，n 为奇数； ( 4 ) 旷一= 一1 且n 为偶数营馆一i = ( 2 s 2 + 1 ) r 2 ，8 2 nv 4 n ，r 为偶数 如果( 1 ) 与( 3 ) 同时满足，n n = ( l + k 2 ) r = k r ，k t 可取1 ，2 ，k 一1 即 一1 种 取法 1 一旦取定，如即定，c 中间的n 一1 行中有k 一1 行为零行，从而n ，r 为奇数 且n = k r ，k 2 时，r a n k g = ( n 一1 ) 一( k 一1 ) = ，i k 如果( 2 ) 与( 4 ) 同时满足，则n = ( 3 1 + 5 2 + 1 ) r = k r ，s 1 可取o ，l ，k l 即种 取法8 1 一旦取定，。2 即定，c 中间的n l 行中有行为零行，从而，l ，r 皆为偶数 且n = k r ，k 1 时，r a n k c = ( n 一1 ) 一+ 2 = n k + 1 9 湖北大学硕士学位论文 对于其它情况，当n 为偶数时，m n k c = n + 1 ；当n 为奇数时，r a n k c = n 一1 对于矩阵d ，第i + 1 列是零列当且仅当 r 一矿一+ ( - 1 ) “= 0 ， 【1 + ( 一1 ) - + 1 矿+ 1 = 0 ， 其中i = 0 ，1 ，一，n 一1 ， 一矿一+ ( 一1 ) “= o 当且仅当下面条件中的( 1 ) 或( 2 ，) 之一成立，其中 ( 1 ) 一q ”= l 且n 为奇数铮n i = ( 2 s l + 1 ) r 2 ，s l n r n 为奇数，r 为偶数： ( 2 ，) 一旷一= 一l j j n 为偶数n i = h r r k l 1 ，n 为偶数 1 + ( 一1 ) 1 9 = o 当且仅当下面条件中的( 3 7 ) 或( 4 ，) 之一成立，其中 ( 3 ，) 扩1 = 一1 且n 为奇数营i + 1 = ( 2 s 2 + 1 ) r 2 ，却且n 为奇数，r 为偶数； ( 4 ，) q i + 1 = 1 r n 为偶数i + 1 = k 2 r 且k 2 1 ，n 为偶数 如果( 1 ) 与( 3 ) 同时满足，则n = ( s l + s 2 + 1 ) r 一1 = k r 一1 ，5 l 可取o ，1 ，一 1 即 种取法8 1 一旦取定，。2 即定，d 的n 列中有k 列为零列，从而n 为奇数，r 为偶数 且n = k r 一1 ，k 1 时，r a n k d = n k 如果( 2 9 与( 4 ，) 同时满足，则n = ( k t + 2 ) r l = k r 一1 ，k 1 可取1 ，2 ，k 一 1 即一1 种取法1 一旦取定，女2 即定，d 的7 l 列中有k 一1 列为零列，从而n 为偶数， r 为奇数且竹= k r 一1 ，k 2 时，r a n k d = n 一( k 一1 ) = n k + 1 对于其它情况，r a n k d = n 证毕 引理2 3 设a 是二元广义外代数，如果q 不是r ( r 2 ) 次本原单位根且c h a r k 2 ，则对n 2 r a n k t n = 2 n + 1 ， 当n 为偶数，g 不是单位根时 2 n 一1 ，当n 为奇数，g 不是单位根时 n + 1 ，当n 为偶数，q = 1 时； 竹，当n 为奇数，g = 1 时； 3 n 2 + 1 ，当竹为偶数，g = - - 1 时； 3 一1 ) 2 ，当n 为奇数，q = 一l 时 1 0 第二章二元广义外代数的h o c h s c h i l d 同调群 证明当g = l 时，如果n 为偶数，$ ；j r a n k c = n + 1 ，r a n k d = 0 ；如果n 为奇 数，贝| j r a n k c = 0 ，r a n k d = n 当q 不是单位根时，如果n 为偶数，贝u r a n k c = n + 1 ， r a n k ) = ，| ；如果n 为奇数，s u r a n k c = n 一1 ，r a n k d = n 下面来看q = 一1 的情 况： 对于矩阵g ，考虑中间的n 一1 行，第i + l 行是零行当且仅当 f 1 + ( 一1 ) 州= 0 ， i ( 一1 ) ”一+ ( 一1 ) “= 0 ， 其中 = 1 ，2 ，n 一1 1 + ( 一1 ) 川= o n + 为奇数； ( 一1 ) ”+ ( - 1 ) ”= 0 n i 与n 奇偶性不同 如果两者同时满足，则n + 沩奇数且n 为偶数，即i 为奇数且竹为偶数所以c 中间 的n 一1 行中有n 2 行为零行，从而当n 为偶数时，r a n k c = ( 国一1 ) 一住2 ) + 2 = 2 + 1 ；当n 为奇数时，r a n k c = n 一1 对于矩阵d ，n 列中第i + 1 列为零列当且仅当 f 一( 一1 ) “+ ( 一1 ) “= 0 ， 【l + ( 一1 ) ”+ + 2 = 0 ， 其中i = 0 ，1 ，n 一1 一( 一1 ) 一+ ( 一1 ) “= 0 铮n i 与n 奇偶性相同； 1 + ( 一1 ) 晰2 = 0 营y l , + i 为奇数 如果两者同时满足。n n + i 与珏同为奇数，即i 为偶数且砧为奇数所以d 的n 列中 有一1 ) 2 + 1 列为零列，从而当n 为奇数时，r a n k ) = n 一( ( n 一1 ) 2 + 1 ) = m 一1 ) 2 , 当n 为偶数时，r a n k d = n 综上，当g = 一1 时， 当n 为偶数时 当n 为奇数时2 d 一 玮 烈 = 2 v 1一n l + + d 胆 一 轨 ，_，、_ = h 删 湖北大学硕士学位论文 证毕 对n = 0 ，1 ，2 ，直接计算可得 幽删班k ：i 二： d i m h h l ( a g ) = d i m h h 2 ( a ) = |； 硅 q = 1 且c h a r 2 ； q = 一1 且c h a r 2 q 4 - 1 ； q = 4 - 1 且c h a r = 2 q = 1i ；l c h a r 2 ； q = 一1 且c h a r 2 q 士1 ； q = 士1 且c h a r = 2 对r , 2 ，我们必须考虑如下情形：( a ) g 是r ( r 2 ) 次本原单位根i = lc h a r k 2 ；( b ) 口是r ( r 2 ) 次本原单位根_ r c h a r k = 2 ；( c ) q 不是单位根r c h a r k 2 ；( d ) q 不是单根r c h a r k = 2 ；( c ) q = 1 r c h a r k 2 ；( f ) q = 一1 r c h a r k 2 ；( 曲 q = 4 - 1 且c h a r k = 2 定理2 4 设a = a 是二元广义外代数，如果g 是r ( r 2 ) 次本原单位根 i - - l c h a r k 2 ，则对n 2 ， 础，= 室 当n = k r 或打一2 ，k l f l n ，r 皆为偶数 当n = k r 或h 一2 ，k 2 r n ，r 皆为奇数 当n = k r l ，k 2 9 n 为偶数，r 为奇数 ，当竹= k r 一1 ，l 且n 为奇数，r 为偶数 其它 证明如果c h a r k 2 ，那么由 日l k ( a ) = k e r i m 7 “1 及d i m l m r , , + d i m k e r r 。= d i m m 。= 4 m + 1 ) 1 2 第二章二元广义外代数的h o c h s c h i l d 同调群 知 d i m h h , t ( a ) = d i m k c r r n d i m i m r 。+ l = d i m ，一d i m i m h d i m l m r n + l = 4 ( n + 1 ) 一( r a n k h + r a n k 再件1 ) 由引理2 2 ，我们可以直接计算得到，当n = k r 或打一2 时，若 l l ；l n ，r 皆为 偶数，r a n k r 。+ r a n k h + 1 = 4 n + 2 一 ；若 2 r n ，r 皆为奇数，舢k + 啪k + 1 = 4 n + 3 一；当竹= k r 一1 时，若 2 r n 为偶数，r 为奇数，r a n k r 。+ r a l l k 矗+ i = 4 n + 4 2 k ；若 1 r n 为奇数，r 为偶数，m n k r n + r a n k + l = 4 n + 2 2 t ；其 它，r a n k t 。+ r a n k 坼l = 轨+ 2 故立刻得到结论证毕 定理2 5 设a = a 是二元广义外代数，如果q 不是r ( r 2 ) 次本原单位根，则 对n 2 。 a；m日风c锄=爹三： 当g = 1 r c h a r k 2 时； 当q = 一1 r c h a r k 2 时； 当g = - i - l j l c h a r k = 2 时； 当g 不是单位根l qc h a r k 2 时 当q 不是单位根i ；lc h a r k = 2 时 证明c h a r k 2 ：由引理2 3 知，当q = l 时，r a n k t n + 啪k r n i l = 2 ( n + 1 ) ，故 由定理2 3 的证明知d i m h h , , ( a ) = 4 ( n + 1 ) 一( r a n k + r a n k t n + 1 ) = 2 ( n * 1 ) ； 当q = - - 1 时，r a n k + r a n k t n + l = 3 t l + 1 ，故d h n h h ”( a ) = n + 3 ；当q 不是单位根 时，r a n k t n + r a n k t n + l = 4 n + 2 ，故d i m h h ( a ) = 2 c h a r k = 2 ：当q = 士l 时，r a n k t n = o ，则r a n k r n + r a i l h l = 0 ，从而 有日月_ ( a ) = 4 ( n + 1 ) ；当q 不是单位根时，r a n k r n = n 一1 ) + n = 2 n 一1 ， 则例1 k + r a r l k t n + 1 = ( 2 n 一1 ) + ( 2 0 - , + 1 ) 一1 ) = 4 n ，从而有h 日i ( a ) = 4 证毕 定理2 6 设a = 厶是二元广义外代数，如果q 是r 次本原单位根且c h a 砖= 2 ， - 1 3 湖北大学硕士学位论文 则对n 2 a ；m 日以c a ，= i - ? 当r 为奇数，n = k r 一1 ；或当r 为偶数，n = t 2 当r 为奇数，n = k r 或k r 一2 ： 或当r 为偶数，n = k r 2 或r 2 2 ； 其它 证明对于矩阵c ，考虑中间的n i t y ，第i + l f f 是零行当且仅当 # ：= j ， 其中 = 1 ，2 ，n 一1 由于c h a r k = 2 ，则 1 + ( 一1 ) “q = 0 矿= 士l 当且仅当下面条件中的( 1 ) 或( 2 ) 之一成立，其中 ( 1 ) i = k 1 r 2 且 1 1 ，r 为偶数； ( 2 ) i = 1 r r k l 1 ，r 为奇数 矿一+ ( 一1 p = 0 营a n - = 士1 当且仅当下面条件中的( 3 ) 或( 4 ) 之一成立，其 由 ( 3 ) n i = b r 2 g k 2 1 ，r 为偶数； ( 4 ) n i = k 2 r 目k 2 1 ，r 为奇数 对于矩阵d ，第 + 1 列是零列当且仅当 f 一矿一+ ( 一1 r = 0 ， i1 + ( 一1 ) 件1 矿+ l ：o ， 其中i = 0 ，1 ，n 一1 一矿一+ ( 一1 p = 0 铮矿一= 士1 当且仅当下面条件中的( 1 ) 或( 2 ，) 之一成立， 其中 ( 1 ) n i ；l r 2 9 k l 1 。r 为偶数： ( 2 ，) n i = h r 且1 1 ，r 为奇数 1 4 第二章 二元广义外代数的h o c h s c h i l d 同调群 1 + ( 一1 ) 1 q i + 1 = 0 静扩1 = 士1 当且仅当下面条件中的( 3 ) 或( 4 ，) 之一成立， 其中 ( 3 ，) i + 1 = 如r 2 且如1 ，r 为偶数； i + 1 = k 2 r 且k 2 1 ，r 为奇数 仿照引理2 2 的方法，即得：对k 2 ，当n = k r 2 ，r 为偶数或n = k r ，r 为 奇数时，r a n k c = ( n 一1 ) 一似一1 ) = n 一；对于其它情况，r a n k c = n 一1 ； 当n = k - r 2 1 ，r 为偶数或n = k r - 1 ，r 为奇数时，r a n k d = n 一似一1 ) = n - k + 1 ； 对于其它情况，r a n k d = n 综上即得，当，i = r 2 或r 2 1 ，r 为偶数，或 当 = k r 或k r 一1 ，r 为奇数时，r a n k t n = 2 n k 似2 ) ；其它，m n k r , ，= 2 n 一1 从 而，当q 是r 次本原单位根时，如果r 为奇数，n = k r 一1 ，或r 为偶数，n kr 2 1 ， r a n k t n + r a n k t n + l = 4 n 一2 k + 2 ；如果r 为偶数，佗= 女r 2 或女r 2 2 ，或r 为奇 数，n = k r 或k r 一2 ，r a n k t , l + r a n k r , , + l = 4 n 一+ l ；其它，r a n k t n + 船n k 靠i l = 轨 证毕 为了结论的完整性，我们也考虑褪化到0 的情形 设q = ( q o ，q 1 ) 是有限连通箭图，其中q o ，q 1 分别表示q 的顶点集和箭向集 设p 是q 的任一道路，令。扫) 和t 0 ) 分别表示p 的始点和终点，f 0 ) 表示p 的长度，e 表 示q 中的平凡的路我们按从左到右的方式写路的合成，而且所有的模总考虑作 右模设置y 是某些道路的集合，我们定义x o y = 1 0 , ，q ) x y i t ( p ) = o ( 曲 且t ( q ) = 0 0 ) ) k ( xoy ) 表示以xoy 作为k - 基的向量空间 设a = 山= 往，) ( z 2 ，x y ，矿) ，$ o a 皇k o , t ，其中箭图q = ( q o ，q 1 ) ，q o = 1 ) ，q = q 田，q 腥】点的两个l o o p ；，是由关系r = 口2 ，硝伊) 生成的路 代数 q 的理想设b 是由q 中的道路组成的a 的一组女基，则b = e ，a ，风口口 ( 仍 用q 中的路的写法来记a 中的路) 在文献【5 4 】中，b a r d z e l i 给出了a 的极小投射一 分解 ( p ，机) ：一r + 1 驾i v 鱼乌p 1 乌蜀乌a 一0 其中，r = p p ( 神加o it ( p ) aa p ( n ) = 恤“，扩一1 卢，a f t , - ：, 矿) 【5 4 】 将函予一固 。a 作用在上述投射分解上，得到b a r d z e l l 复形 ，d ) ：一l 虹乌鱼m 厶一0 1 5 湖北大学硕士学位论文 其中= r 0 e a 任意给定p 1 a p ( n + 1 ) ，设s u b ( f + 1 ) = 铆，刃 a p ( n ) ，则p 1 有唯一 的矿- 分解p “+ 1 = l 1 衍= 删n r 2 【5 4 1 引理2 7 在b a r d z e l l 复形( 矗，d , ) e o ， 缸兰k ( boa p ( n ) ) ，n o ；微分为 厶( 6 ，矿) = ( b l a ，衍- 1 ) + ( 一1 ) “( r a b ，赡- 1 ) ，礼1 证明显然， 厶= r o 小a = u p p ( 。) ( d ) o “0 ) ) o e c a 型u 钳e i a p ( i ) e j 固k e j a e i ，其中e 是a