（计算数学专业论文）计算机辅助几何设计中若干问题的研究.pdf

摘要 近二十年来，随着三维数据采样设备的长足进步与复杂拓扑结构的曲面造型 日益普及，计算机辅助几何设计( c a g d ) 和计算机图形学( c g ) 已成为一个国际性 研究热点。 第一章第一节首先介绍了细分曲面及其应用，第二节主要阐述了我们的工 作：把n a s r i 2 的方法推广到4 次均匀b 样条细分上。并且发现任意偶次均匀b 样 条细分上都成立。 第二章第一节介绍了关于摄动方法与其应用，第二节主要阐述了我们的工 作：利用摄动的思想给出了用区( 日q b d z i e r 曲面逼近有理曲面的一种方法。文中采 用了恰当的范数，该方法可以对摄动曲面以较多的限制，并通过实例展示了这一 方法的应用。这一结果可以与细分技术相结合，得到有理曲面的分片区间多项式 的逼近。 第三章第节介绍了关于曲面光滑拼接问题，第二节主要阐述了我们的工 作：给出了实用的具有k 次公共边界曲线的n u r b s 曲面片g l 光滑拼接条件得 到了相应控制顶点、权系数的具体算法；从一个己知n u r b s 曲面出发，构造另 一个n u r b s 曲面，使它们达至i j g l 光滑拼接是简单易行的。 关键词：曲面造型，细分曲面，曲线插值，b 样条，有理曲面，n i n b 6 z i e r 曲 面，几何连续； 中文分类号；tp 3 9 1 7 2 ；0 2 4 1 5 a b s t r a c t a l o n gw i t h t h eg r e a t p r o g r e s s i n3 dd a t am e a s u r e m e n td e v i c ea n dt h e p o p u l a r i z a t j o no fc o m p l e xs u r f a c em o d e l i n g c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g na n d c o m p u t e rg r a p h i c sh a sb e e nar e s e a r c hf o c u si nt h ew o r l do v e r t h ep a s t2 0y e a r s 。 f i r s ts e o t i o no fc h a p t e r1 p r e s e n t ss u b d i v i s i o ns u r f a c ea n dt h ei t sa p p l i c a t i o n 。 s e c o n ds e c t i o ni n t r o d u c eo u rw o r k ：w ee x t e n dm e t h o do fn a s r i 2 t oq u a r t i c u n i f o r mb s p l i n es u b d i v i s i o na n df i n dt h a ti ti sa l s oe s t a b l i s h e do nt h ea n ye v e n u n i f o r mb s p l i n es u b d i v i s i o ns c h e m e s f i r s ts e c t i o no fc h a p t e r2c o n s i d e r st h ep e r t u r b a t i o ni d e aa n da p p l i c a t i o n 。 s e c o n ds e c t i o ni n t r o d u c eo u rw o r k ：b a s e do nt h ep e r t u r b a t i o ni d e a w ep r e s e n ta n a p p r o a c hf o ra p p r o x i m a t i n gr a t i o n a ls u r f a c e sb yt h ei n t e r v a lb e z i e rs u r f a c e s t h e m e t h o ds h o w ni nt h i s p a p e r m a k e st h e p e r t u r b a t i o n s u r f a c e s h a v i n g m o r e r e s t r i c t i o n st h a nt h e o r i g i n a l s u r f a c e s t h e a p p l i c a t i o n s o ft h i s a p p r o a c ha r e p r e s e n t e d t h i s r e s u l tc a nb ec o m b i n e dw i t hs u b d i v i s i o nm e t h o dt oo b t a i n s p i e c e w i s ej n t e r v a j p o l y n o m i a ia p p r o x i m a t i o nf o rar a t i o n a ia u r f a c e f i r s ts e c t i o no fc h a p t e r3p r e s e n t st h ec o n t i n u i t yc o n d i t i o nb e t w e e na d j a c e n t s u r f a c ep r o b l e m s 。s e c o n ds e c t i o nj n t r o d u c eo u rw o r k ：w ep r e s e n t sap r a c t i a lg l c o n t i n u i t yc o n d i t i o nb e t w e e nad j a o e n tn u r b sp a t c h e sa l o n gc o m m o na n yd e g r e e b o u n d a r yc u r v ea n dd e d u c e sas p e c i f i ca l g o r i t h m sf o rc o n t r o lp o i n ta n dw e i g h t so f n u r b sp a t c h e st oa t t a i ng 1 a c c o r d i n gt oa l g o r i t h m sc o n d i t i o n ，w ec a na d j u s tt h e r e l a t i v ec o n t r o l sp o i n t sa n dw e i g h t so fa n o t h e rp a t g h k e y w o r d s ：s u r f a c em o d e l i n g s u b d i v i s i o ns u r f a c e c u r v ei n t e r p o l a t i o n ，b - s p l i n e r a t i o n a ls u r f a c e s ，i n t e r v a ib e z i e rs u r f a c e s 。g e o m e t r i cc o n t i n u i t y 第一章细分曲面上的曲线插值 1 1细分曲面及其应用 细分方法，尤其是作为其主体的细分曲面的生成技术，是一种全新的形体表 示思路如所周知，以参数形式和隐函数形式表示曲面的计算机处理方法总要将 用户给定的离散控制顶点和其他信息输入计算机，通过插值、逼近或者拟合的方 法转化为连续表示，然后在显示和其他处理环节再次转换回离散形式这是一个 离散一连续_ 离散 的过程而且当形体变得复杂后，以上处理往往随之复杂，造成计算代价的明显 增加多边形网格表示的直接方法虽然避免了当中的连续转换环节，但其存储代 价高、冗余表示多，不利于统一处理细分方法就是一个直接从离散到离散的过 程，但它同时具有参数表示的许多优点， 细分方法总是从给定的初始多面体( 或多边形) m o 出发，递归地调用细分规则 s ，加密控制网格，即m ”1 = s - 肘，依次可得到1 ，肘1 ，最终在极限惹义下， 即当，_ 。0 时，网格序列收敛到曲面r = m ”根据细分规则s ，的不同，曲面r 或 者插值或者逼近o 而且，通常规则s 具有局部性，m r 中的顶点是m 7 中对 应有限个控制顶点的仿射组合细分方法可理解为是一种过程化、层次化的采样 技术，它将形体属性巧妙地转换成了细分规则，提供了多分辨率分析的载体 1 1 1 细分方法的起源与形成 细分方法起源于对多边形割角( c o m e rc u t ) 来生成离散形式曲线的方法其创 始人可以追溯到5 0 年代的d er a h m 1 9 7 4 年c h a i k i n 提出了一种曲线的快速生 成方法，以直观的几何构造为基础，通过割角得到一条光滑曲线随后r i e s e n f e l d 从理论上证明了这种曲线即为二次曲线 细分方法与参数曲线曲面特别是b 。样条的离散绘制存在密切联系1 9 8 0 年， b o e h m 提出了关于b 一样条节点插入的理论利用该理论，b 6 z i e r 曲线可以通过 插入重节点转换为非均匀b 样条，由此可统一解释b 6 z i e r 曲线的d ec a s t e l j a u 割 角算法张量积曲面是从含一元变量的曲线扩展到含二元变量的曲面的一种主要 构造形式据此可推出相应的曲面离散绘制方法 细分曲面可视为张量积曲面在任意拓扑结构下的推广1 9 7 8 年，c a t m u l l 和 c l a r k 正是分析了3 次均匀节点b 一样条曲面的离散方法，在c a d 杂志上提出著 名的c a t m u l t c l m k 细分模式它标志着细分方法正式成为曲面建模的手段在 第章细分曲商卜的f | j 线捅值 同一期杂志上d o g 和s a b i n 合作发表了最早的关于细分曲面极限性质的分析研 究，开创了利用离散f o u r i e r 变换，进行细分规则收敛性矩阵特征分析的先河另 外，7 0 年代在曲面绘制算法中的空1 s j 音i j 分思想，对细分拓扑规则也起到了重要 的影响作用 8 0 年代至9 0 年代初，鉴于细分曲面方法在以拓扑剖分规则作用时其几何元 素呈y l 0 保证两曲面在公共连接线处不形成尖棱。 g2 连续又称曲率连续，g 2 连续要求在沿公共连接线上处处具有相同的法曲 率。因此有定义：两曲面沿它们的公共连接线是g 2 的，除了要求在公共连接线 t 具有连续变化的切平面外，还具有相同的的法曲率，或者具有一致的d u p i n 标 线。 一般曲面的，7 阶几何连续( g ”连续) 定义为：两曲面p ( s ，f ) 与q ( u ，v ) 沿它们的 _ f 则公共连接线是g ”连续的，当且仅当其中之一如q 可被重新参数化为虿( 玎，矿) ， 使得它们在公共连接线上是g “连续的。即 第三章实用的n i j r b s 曲面g 拼接算法 篇科哟：黑反甜) i + j 乩2 ，张 丽i 两烈掰) = 丽丽烈叫 + 了= l ，2 ，张 3 2 实用的n u r b s 曲面g 拼接算法 本节给出了实用的具有k 次公共边界曲线的n u r b s 曲面片g 光滑拼接条 件，得到了相应控制顶点、权系数的具体算法：从一个已知n u r b s 曲面出发， 构造另一个n u r b s 曲面，使它们达到g 光滑拼接是简单易行的。 3 2 1 数学背景 为了绘出实用的n u r b s 曲面g 拼接算法，首先给出一般有理曲面g 拼接条 件。 设两个有理曲面r ( u ，v ) ，f ( 酉，哥) 有公共边界曲线( 位置连续) f ：，( o ，v ) = f ( o ，可) 则这两个曲面满足g 1 光滑拼接的条件为： 引理l i 训设有理曲面片r ( u ，v ) ，i ( 孑，可) 有公共边界曲线，则r ( u ，v ) ，f ( 万，矿) 是g 连续拼接，当且仅当 f 虿( o ，矿) = q ( o ，v ) ， ( 1 ) i 磊( o ，矿) = q ( v ) q ( o ，v ) + 蜀( v ) 包( o ，v ) + 吼( v ) q a o ，v ) ， ( 2 )