（应用数学专业论文）n阶线性微分方程解的存在与唯一性.pdf

摘要 n 阶线性微分方程是微分方程这门课程的重点内容之一，而解的存在性、唯一 性定理，又是微分方程最重要的理论基础。因此，对n 阶线性微分方程解的存在与 唯一性的研究就显得尤为重要。常微分方程课本中对r l 阶线性微分方程满足初值条 件的解的存在与唯一性定理的证明较复杂。本文将用泛函分析中的压缩映射原理， 对其进行证明。 本文用两种方法证明n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与雎一性定理。 第一种方法： 1 ) 化n 阶线性，徼分方程箬+ 喇雾+ + 哄) y 计。) 初值条件：) 。c 0 ，y ) 。q ，y 伽哪瓴) 。巳一 1 为v o l t e r r a 积分方程 2 ) 用引理2 证明定理 第二种方法： 1 ) 把n 阶线性微分方程初值问题( 1 ) 、( 2 ) 化成与它等价的一阶线性微分方程组， 再引进向量和矩阵记号得方程： 耋一么扛) ) ，十，o ) 初值条件为y ( ) 一宇- 2 ) 用引理1 证明定理 关键词：n 阶线性微分方程：初值条件；解的存在与唯一性；压缩映射原理 a b s t r a c t t h ed i s c u s s i o no fe x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n st on - o r d e rl i n e a ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp a r t si nt h es u b j e c to fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h o w e v e r , t h en o r m a lp r o o fo ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s t h e o r e ma p p e a r e di no u rt e x tb o o ki sv e r yc o m p l i c a t e d i nt h i sp a p e r , w ew i l lo b t a i nt h e s a m et h e o r e mb yu s i n gt h ec o n t r a c t i n gm a p p i n gt h e o r y , i ns o m es o n c eo u rp r o o fi sa s i m p l i c a t i o nt ot h en o r m a lp r o o f 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本入在导师指导下，独立迸行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 乡i 式日期：。7 年歹月穆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和屯子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名： ；鼋如 日期：6 7 年，月理日 导师签名： 日期：年 月日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。园枣诠塞握奎卮澄厦i 旦圭生i 旦二生；旦三生蕉盔： 作者签名：；影曼争 日期： o j 7 年f 月昭日 导师签名： 日期：年月 日 1 引言 常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科。 从诞生之日起就显示出它在应用上的重要作用。随着科学技术的发展和社会进步， 常微分方程的应用不断扩大和深入。时至今日，可以说常微分方程在所有自然科学 领域和众多的社会科学领域都有着广泛的应用。这一古老的科学，由于应用领域的 不断扩大和新理论生长点的不断涌现，它的发展至今仍充满着生机和活力。 牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程是常微分方 程。他以非凡的积分技巧解决了它，从而在理论上证实了地球绕太阳的运动轨道是 一个椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁于太阳的一种悲观论点。另外，莱布尼兹也 经常与牛顿在通信中互相提出求解微分方程的挑战。嗣后，许多著名数学家，如伯 努里，欧拉，高斯，拉格朗日和拉普拉斯等，都遵循历史传统，把数学研究结合于 当时许多重大的实际力学匈题，在这些问题中通常离不开常微分方程的求解。 在微分方程发展的早期，人们求解方程用的都是初等积分法。所谓初等积分 法，就是把微分方程的解通过初等函数或它们的积分来表达的方法。然而，能用 初等积分法求解的微分方程类型是很少的。早在1 8 4 1 年，法国数学家刘维尔 ( l i o u v i l l e ) 证明了里卡蒂( r i c c a t i ) 方程： 鼍芝- p ( x ) y 2 + g o ) ) ，+ ，( z )( p ( 功# 0 ) “ 除了某些特殊类型外，一般不能用初等积分法求解。例如，形式上很简单的里 工 卡蒂方程：华- x 2 + y 2 就不能用初等积分法求解。这与代数中，五次和五次以上 旺x 的代数方程的根没有根式公式的结论有相似的理论意义。于是人们理解到，绝大多 数的微分方程是不能用初等积分法求解的。那么，一个不能用初等积分法求解的微 分方程是否有解存在呢? 如果有解存在是否唯一? 存在区间又有多大? 这些问题 无疑在理论研究和实际应用中，都有着重要的意义。 柯西( c a u c h y ，1 7 8 9 1 8 5 7 ) 在十九世纪二十年代第一个成功地建立了微分方 程初值问题解的存在和唯一性定理( 因此，后人把初值问题称为柯西问题) 。1 8 7 6 年，李卜西兹( l i p s c h i t z ，1 8 3 2 - - 1 9 0 3 ) 减弱了柯西定理的条件。1 8 9 3 年，皮卡 ( p i c a r d ，1 8 5 6 - - 1 9 4 1 ) 用逐次逼近法在李h 西兹条件下对定理给出了一个新证明。 此外，皮亚诺( p e a n o ，1 8 5 8 - - 1 9 3 2 ) 在更一般的条件下建立了柯西问题解的存在 性定理( 不顾及唯一性) 。 n 阶线性微分方程是一类具有特殊结构的方程，它是微分方程的重要组成部分， 它在自然科学与工程技术中有着极其广泛的应用。例如，弹簧振动中它下端系着的 物体运动的微分方程：辨窘+ 弘石d x + “一，g ) ；电振荡中关于电流的微分方程： l 箬+ r 等+ 吉f 一。及关于电荷量a 的方程：碧+ r 鲁+ 吾= e 等都是二阶线性 微分方程，对这些方程解的研究至关重要。因此从不同角度用不同方法研究它的解 的存在性和唯一性，是非常有必要的 一般的n 阶线性微分方程可以写成如下形式： 警+ 口1 参+ 舢刺) ，啡) ( 1 ) 方程的初值条件记为： ) ，) - c o ，y 瓴) 一c l ，y o 1 瓴) 一一i ( 2 ) 我们有如下结论： 定理：( n 阶线性微分方程初值闯题解的存在性与唯一性) 设q ( 力( f 一1 ，2 ， ) 和f o ) 均于区间i 上连续，则对任一j 和任意r 1 个 常数c o ，c 1 ，q 。，方程( 1 ) 恒有且只有一个定义在整个区间i 上且满足初值条件 ( 2 ) 的解。 在常微分方程里，我们曾用逐次逼近法对n 阶线性微分方程证明过初值问题解 的存在与唯一性。这种证明方法分五步完成( 参见文 1 ) ： 1 ) 把n 阶线性微分方程初值问题( 1 ) 、( 2 ) 化成与它等价的一阶线性微分方 程组，再引进向量和矩阵记号得方程： 2 罢- a p ) ) ，+ ，厶) ( i ) 初值条件为y ( x o ) 一言。 ( 3 ) 2 ) 把初值问题( n i ) 化成下述等价的积分方程组： ) ，一亭+ ( o o ) ) ，d ) + 厂o ) 皿 ( 4 ) 即：如果y 一妒( 砷是初值问题( n l ) ，( 3 ) 的解，则它是积分方程组( 4 ) 的连 续解；反之，如果y - 妒o ) 是积分方程组( 4 ) 的连续解，则它必是初值问题( n i ) ， ( 3 ) 的解。 3 ) 用逐次逼近法构造皮卡( p i c a r d ，1 8 5 6 - - 1 9 4 1 ) 序列： 一芋 鼹( 力；亭+ j ! ( a o ) 吼一o ) + ，o ) k1 1 ，2 ， 可证吼( 功，k 一1 2 ，于区间i 上有定义且连续。 4 ) 证明序列 纯( x ) ) 于区间内部一致收敛，即于i 的任意有限闭子区间，0 ( x o x o ) 上一致收敛，且其极限函数是积分方程组( 哇) 在区间i 上的连续解( 证 明过程略) 。 5 ) 证明唯一性，即证明：如果y 缈o ) ，在区间i o c i 上也是( 4 ) 的连续解， 且厶，则在l 上必有：妒0 ) 一妒o ) ( 证明过程略) 。 这种证明方法很复杂。而在泛函分析中，有一类完备距离空间中的映射，即压 缩射的不动点定理能很容易证明这个定理。 3 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 2 应用压缩映射原理证明n 阶线性微分方程初值问题解的存 在与唯一性 引理l ：( 压缩映射原理) 设( x ，d ) 是完备距离空间，t ：x z ，并且对任意石，y 石，不等式 d ( r x ，t y ) 量o d o ，) ，) 成立，其中0 t o c l ，则存在唯一的；x 。使得五； 有时，映射t 不满足压缩映射原理的条件，但t 的某次幂却满足这些条件，于 是，可把引理1 推广到下面的情形： 引理2 ：设( x ，d ) 是完备距离空间，r ：工一石，如果存在自然数n ，使得 对所有x ，y e x ， d ( t ，r 。y ) so d 似y ) 其中，o s o c l ，则t 有唯一的不动点。 下面我们用两种方法证明n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性定 理。 第一种方法：定理的证明分两步 1 ) 化n 阶线性微分方程为v o l t e r r a 积分方程 对n 阶线性微分方程：窘+ 岛等+ + a ( x ) y - f ( x ) ( 1 ) 初值条件：y ( x o ) = c o ，y ( ) - q ，y o 由) - c 、l ( 2 ) 设窘吲们u ： 4 矿d m - l - j = 妒( f 渺+ “ 面d a - 万2 y j 三u = 砸渺+ 协+ 一j 三町；( f + o 一而) + 巳。 一j = 一f 砌( f ) 出+ q 。o 一而) + q 一： 夏n - 万3 y 一u = o f 砌( f 渺+ o 一) + 坳+ 。 - 刍j ：。一f ) 2 妒o ) 出+ 导。一而) 2 + 巳一： 一而) + 巳， y - i 兰面正 一矿4 妒o ) 出+ 石三矿t o 一而) “+ 百i = 1 孤q 一：o 一) ”2 + + c l o 一而) + c o 代入原方程得： 妒一荆1 碧吨鲁一w 整理后得积分方程： 妒( x ) - fk ( x ，f ) 伊( f 渺+ ，( 力 ( 5 其中七。，f ) 霉- q + 口：o f ) + 刍口3 0 f ) 2 + + 而1 一矿1 】 厂g ) - f ( 力一口 。一n ：h 。 一x o ) + q ：卜吩【击c 耳。o 一) 2 + c ：o 一) + 巳，】 一4 噎q q o 一而户+ 刍c 鼻： 一) 2 + c l 一，o 一) + q 。1 一一 石南q “g 训。1 + + c 1 。训+ c 0 1 此方程为第二类v o l t e r r a 积分方程，显然七 ，t ) 在矩形区域4 工a b ，口s f s 石 上连续。 i t 叫h - f 明此方捍与方程( 1 ) 、( 2 ) 等价。 项士拳住论文 m a s t e r st h e s 【s 引理3 ：方程( 5 ) 与方程( 1 ) 、( 2 ) 等价，i l p - 若y - v ( d 是初值问题( 1 ) 、 ( 2 ) 的解，则y - 矿( d ( 其中，妒( 力一竺差磐) 是积分方程( 5 ) 的解；反之，若 ) ，- 伊 ) 是积分方程( 5 ) 的解，则) ，妒9 其中，妒( 力= 警) 是初值问题 ( 1 ) 、( 2 ) 的解。 证明：若y 一妒( 砷是初值问题( 1 ) 、( 2 ) 的解，设妒。) - 垡芝婴，由上面化微 分方程为积分方程的过程知： 警一( 妒。弦 ( 皈妒( f 渺+ 脚+ q 一：一( 一r ) c p ( t ) d t + 一而) + q 一： 竺d x ：巡- 3 一j 三皈。一咖p 矽+ c 。一而) + c 2 坳+ 乞。 - 三j i 一f ) 2 驴) 出+ 导。仁一而) 2 + 气一：o 一) + q ， 妒 ) 石三石o 一矿4 妒( f ) 出+ i ；三矿一。一而) “+ 石面1 c l z 。一知) “2 + + c 1 。一而) + c o 代入原方程德： f 1 冬笋吨鼍嘉婴一一啪 整理后得积分方程： q g x ) - f = 七( 毛f ) 妒o 皿+ ，( x ) ，1 即v 一口白1 是积分方穰( 5 ) 的解。 硬士擘位论文 m a s t e r s t h e s i s 反乙，右y - 妒c 功悬秘分刀程妯j 删胼，则 。 妒o ) 一( 七 ，t ) c f ( t ) d t + ，o ) 即一f 1 碧吨鲁一w ( 6 ) 其中，矿d m - l y - 妒o + q 。 鲁一f 弦( f 渺o 吲： 箬一瓤p 何绯渺+ 斋囊训、撕吲， 取- 警 ( 6 ) 式姚警一荆一q 警吧警一w 移项便得满足条件( 2 ) 的方程( 1 ) ，即_ ) 一妒0 ) 是初值问题( 1 ) 、( 2 ) 的解。 故方程( 5 ) 与方程( 1 ) 、( 2 ) 等价。 2 ) 用引理2 证明定理 证明：考虑积分方程 妒o ) j ：七o ，t ) q a ( t ) d t + ，o ) t e a ，6 】 j 0 ，t ) 在给定的区域口j x 薯6 ，a s f 量工上连续，f ( x ) e c a ，b 】。 设s u pl k ( x ，t ) l - mm 考虑映射t ：c a ，6 一c k ，b 】 7 z 妒o ) 一f 七o ，f 砌。沙+ ，o ) v 妒c - ，6 】 贝t j l t 妒, ( x ) 一t 舻2 ( x ) h f k ( x ，f ) ( 砚( f ) 一讫( f ) 妞 m s u pi 红p ) 一讫协) l b 一4 ) z 坤 2 - a ) e 瓴，讫) 归纳地，若i z “竹。) 一r 4 仍( d i 膨“! 兰三 d 瓴，仍) s u i t ”k ) 一r “仍l i i f 七 ，f ) ( r 4 砚o ) 一r “讫o ) 净 肘“三l广。一口)“atla(识n j a ，仍) ! 。、 。 = 肘x 伽- - + a 1 ) ) s + ! 1 d ( 红，仍) o + ”! 由此得到对于任何自然数r l 有： d ( r “砚，t ”仍) - s u pi t “讫o ) 一r 仍0 ) i i j 蕾 掣d 瓴，仍) n ! 由于丝：竺二! r 0 ( 。) n ! 于是对于充分大的n ，总可使 。墨掣 1 因此对充分大的n ，t 4 满足压缩映射原理条件，根据引理2 ，所以方程( 5 ) 有唯一 解。 由方程的等价性可知，n 阶线性微分方程( 1 ) 、( 2 ) 有唯一解。 硕士孝住论文 m a s t e r st h e s i $ 第二种方法：定理的证明分两步 1 ) 把n 阶线性微分方程初恒问题( 1 ) 、( 2 ) 化成与它等价的一阶线性微分方程组， 再引进向量和矩阵记号得方程： 耋一爿协+ m ) 初值条件为y ( x 0 1 一亭。 注：第一步见文 1 2 ) 用引理1 证明定理 证明：设g ( ) ，力- 彳扛) y + ，扛) 考虑问题： 罢一g ( ) ，力 y ( x o ) 。亭 ( 7 ) 由于，4 ( 力在闭区间上连续，故有界。 设陋