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文档简介
1、一、线性空间中向量之间的线性关系,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3 维数 基与坐标,引 入,即线性空间的构造如何?,怎样才能便于运算?,问题,如何把线性空间的全体元素表示出来?,这些元素之间的关系又如何呢?,(基的问题),问题,线性空间是抽象的,如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达?,(坐标问题),一、线性空间中向量之间的线性关系,1、有关定义,设V 是数域 P 上的一个线性空间,则称向量 可经向量组 线性表出;,使,若向量组 中每一向量皆可经向量组,线性表出,则称向量组,可经向量组 线性表出;,若两向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组,为等价的,,使
2、得,则称向量组为线性相关的;,(4)如果向量组 不是线性相关的,即,只有在时才成立,,则称为线性无关的,(1)单个向量 线性相关,单个向量 线性无关,向量组线性相关,中有一个向量可经其余向量线性表出,2、有关结论,(2)若向量组线性无关,且可被,向量组 线性表出,则,若 与 为两线性无关的,等价向量组,则,(3)若向量组线性无关,但向量组,线性相关,则 可被向量组,线性表出,且表法是唯一的,二、线性空间的维数、基与坐标,1、维数,定义,如果在线性空间,中有 n个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么V称为n维的,若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量,那么就称为无限维的.
3、,因为,对任意的正整数 n,都有 n 个线性无关的 向量,例1 所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是,无限维的.,1,x,x2,xn1,下面主要讨论有限维线性空间 .,在 n 维线性空间 V 中,n 个线性无关的向量,2 . 基 坐标,,称为 V 的一组基;,下的坐标,记为,设 为线性空间 V 的一组基,,则数组,就称为 在基,若,有时也形式地记作,注意:,唯一确定的即向量 在基下的坐标唯一的.,但是,在不同基下的坐标一般是不同的,4、线性空间的基与维数的确定,定理:若线性空间V中的向量组 满足,) 线性无关;,) 可经 线性表出 ,则V为n 维线性空间, 为V的一组基,证明: 线性无关,
4、,V的维数至少为 n ,任取V中 n1个向量 ,,由),向量组 可用向量组,若是线性无关的,则n1n,矛盾,线性表出.,V中任意n1个向量是线性相关的,故,V是n 维的, 就是V的一组基,例23 维几何空间R3,是R3的一组基;,也是R3的一组基,一般地,向量空间,为n维的,,就是 Pn 的一组基称为Pn的标准基., n 维线性空间 V 的基不是唯一的,V中任意 n个, 任意两组基向量是等价的,例3(1)证明:线性空间Pxn是n 维的,且,注意:,线性无关的向量都是V的一组基,(2)证明:1,xa,(xa)2,(xa)n1,1,x,x2,xn1 为 Pxn 的一组基,也为Pxn的一组基,证:(
5、1)首先,1,x,x2,xn1是线性无关的, 1,x,x2,xn1为Pxn的一组基,,从而,Pxn是n维的.,其次,,可经 1,x,x2,xn1线性表出,注:,在基1,x,x2,xn1下的坐标就是,此时,,(2)1,xa,(xa)2,(xa)n1是线性无关的,即,f(x)可经1,xa,(xa)2,(xa)n1线性表出.,1,xa,(xa)2,(xa)n1为Pxn的一组基,在基1,xa,(xa)2,(xa)n1下的坐标是,注:,此时,,若把C看成是实数域R上的线性空间呢?,而实数域R上的线性空间C为2维的,数1,i 就为,例4求全体复数的集合C看成复数域C上的线性,空间的维数与一组基;,解:,复数域C上的线性空间C是1维的,数1就是它的,一组基;,它的一组基,注:任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的, 数1就是它的一组基.,例5.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里
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