信号与系统分析7.ppt

1、第7章 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换,重点：,1.离散傅立叶变换的性质 2.按时间抽取FFT算法 3.按频率抽取FFT算法 4.离散傅立叶变换的应用,7.1 傅里叶变换的形式,1连续时间与离散频率的傅里叶变换(FS),其正反变换为,时域频域之间的傅里叶变换规律为1: 时域:连续,周期 频域:非周期,离散,FS,2连续时间与连续频率的傅里叶变换(FT),时域中非周期连续信号对应于频域中非周期信号,连续时间与连续频率的傅里叶变换即为时域非周期连续信号的傅里叶变换(FT). 非周期连续时间函数 ,其傅里叶变换(FT)为 是非周期连续的.,其正反变换为,3离散时间与连续频率的傅里叶变换(DTFT),

2、时域中非周期离散信号对应于频域中周期连续信号,离散时间与连续频率的傅里叶变换即为时域非周期离散信号的傅里叶变换(DTFT). 非周期离散时间函数 ,其傅里叶变换(DTFT)为 是周期连续的.,其正反变换为,时域频域之间的傅里叶变换规律为3: 时域:离散,非周期 频域:周期,连续,DTFT,综合以上三对傅里叶变换的规律可以得出: 一个域中的连续性对应于另一个域中的非周期性;一个域中的周期性对应于另一个域中的离散性. 除了以上三种变换外,还有第四种变换存在,时域中周期离散函数对应于频域中离散周期函数,即时域频域之间的傅里叶变换规律4:,时域:离散,周期 频域:周期,离散,DFS,4离散时间与离散频

3、率的傅里叶变换(DFS),离散周期时间信号 的傅里叶变换 也是离散周期, 与 构成一对傅里叶变换对,又称为离散傅里叶级数.,傅里叶级数对为,7.2 离散傅里叶变换(DFT),1离散傅里叶变换的定义,取DFS的主值区间,可定义变换对,将上式写成矩阵的形式如下:,DFT与DFS的关系如图所示:,求4点序列 的离散傅里叶变换,2离散傅里叶变换的性质,(1)线性,离散傅里叶变换DFT是具有线性、圆周移位和对称等性质。,设 的离散傅里叶变换分别为,则,(2)圆周移位特性,设长为N的序列 以N为周期进行周期延拓生成 ,将 移位m位后再取主值区间序列,这一过程将序列 的N个样点按顺序号排列在N等分的圆周上,

4、并在圆周上旋转m位的过程,故称为圆周移位.,主值区间序列 可以用周期序列 来表示,即,则圆周移位运算可写成,a.圆周时移特性,若,则,证明:,由于 均为以N为周期的序列,所以,b.圆周频移特性,若,则,(3)圆周卷积定理,设 均为N长序列, 表示圆周卷积, 则 的圆周卷积为,a.圆周卷积的概念,b.时域圆周卷积定理,两序列时域圆周卷积的DFT等于这两个序列DFT的乘积.,设,则,证明:,圆周卷积还满足交换律.,c.频域圆周卷积定理,两有限长序列积的DFT等于这两个序列DFT的卷积的1/N.,若,则,(4)奇偶性,有限长实数序列 的DFT,即 也是实数序列，且在0N范围内，其幅值 和相位 对于N

5、/2点分别呈偶对称和奇对称。,证明见于教材187页。,3DFT与Z变换和傅立叶变换的关系,4 的内插公式,为等比数列求和，所以,令,内插函数,则,令,则,7.3 快速傅里叶变换(FFT),DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。因直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年发现了DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。,1按时间抽取（DIT）FFT算法,(1) 的性质,a.周期性,b.对称性,c.,若N可以整除m，则,(2)按时间抽取FFT

6、算法原理,把DFT运算分解成k为偶数和奇数两部分，,则,令,图7-11 N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8),图712 蝶形运算单元,同理，也可以按上述方法将 点的DFT的 被进一步分解成两个 点的DFT。,则,图7-13 N点DFT化成 的DFT,图7-14 8点DFT的快速运算FFT流图,(3) FFT算法的规律和特点,a.分级运算,FFT最大的优点就是减小了计算的工作量。若忽略复数加法，则直接用DFT计算和用FFT计算的运算工作量之比为,b.码位倒置,由于DIT FFT算法是每级以数据序号的奇偶为组，输出 的自然顺序排列时，则输入 以码位倒置顺序排列。称为倒位码。,c.同址运算,每级

7、的输入数据在进行相应的运算后，在后极运算中就不再使用，因此各级的运算结果可以存放在输入数据的相应的存贮单位，直至最后一级运算，中间无需其他存储单元。因此，同址运算使得计算机处理FFT时，占用的内存资源不多，这也是其有利的一面。,2按频率抽取（DIF）FFT算法,在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法，简称DIFFFT 。,设 的长度为,先将 按k的先后顺序分成前后两半,前半子序列,后半子序列,偶数,奇数,将X(n)分解成偶数组与奇数组，当n取偶数(n=2r,r=0,1,N/2-1)时,当n取奇数(n=2r+1,r=0,1,N/2-1)时,令,图7-16 DIFFFT运算流图(

8、N=8),3离散傅立叶反变换（IDFT）快速算法,或者,7.4 离散傅里叶变换DFT的应用,DFT的快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。,1用DFT进行周期离散信号的频谱分析,DFT 只是DFS 的一个主值区间，把DFT变换对在时域和频域都作以N为周期的延拓，就构成了DFS 变换对。直接利用DFT可以进行离散周期信号的频谱分析。 其他的几种类型的信号要用DFT 进行频谱分析，必将经过时域或频域信号的处理，最终将时域信号和频域信号都转换为周期离散信号，就可

9、以利用DFT来进行其他三种类型信号的频谱分析。,2用DFT进行非周期离散信号的频谱分析,(1) 用DFT进行有限长非周期离散序列的频谱分析,与 ， 的相互关系为,与 ， 的相互关系为,取样的频率信号为 扩展到,(2) 频域取样定理,为使频域样本能完全代表时域信号，必须满足两个条件： （1） 信号必须是时限的； （2） 周期延拓时不可发生混叠。对于长为N的有限长序列 ，对它的频谱作M点等间隔采样时，对应的时域信号必以M为周期延拓。为了避免混叠，必须满足 。,取频域取样点 ，用DFT进行有限长离散非周期序列的频谱分析的数学过程为： 频域冲激序列： 时域中为：,a.频率抽样,用 对 均匀取样得：,b

10、.原信号恢复,c.结论,(3)用DFT进行无限长非周期离散序列的频谱分析,a.时域信号 的截断,用 对 均匀取样，得,b.频域抽样,c.原信号恢复,当用DFT座无限长非周期离散信号的频谱分析时，用DFT计算的频谱与原信号的频谱相近或相同，即,d.结论,3用DFT进行周期连续信号的频谱分析,3用DFT进行周期连续信号的频谱分析,原信号的频谱 和用DFT转换所得频谱 的关系：,可能产生的误差 若连续信号在截断时，不是整周期截取的，会使得频谱褶皱和泄漏。 为了避免泄漏，对周期序列进行频谱分析时，截取长度应是基本周期或其整数倍。若待分析的周期信号不能确定，则可加长截取长度进行分析，以减少频谱泄漏误差。,a.频谱泄漏现象,若信号非频限或采样频率不够高，不满足时域取样定理，则必有混叠误差。为了减小混叠，可在采样前先用低通模逆滤波器作前置滤波，以滤出高于折叠频率的分量。 一般的，可以在时域取样点数N满足 的条件下，通过增大N来减小频谱混叠。,b.频谱混叠,