吉林省长春市罗坨子中学高三数学文下学期期末试卷含解析

吉林省长春市罗坨子中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合= （）A． B．

C． D．{—2，0}参考答案：C2.设函数f（x）=（λ∈R），若对任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，则λ的取值范围是（）A．（0，2] B．[0，2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）参考答案：C【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数f（x）的值域，再求出f（f（a））和2f（a）成立，即可求出λ的取值范围【解答】解：方法一：∵函数f（x）=（λ∈R），任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，∴f（a））≥1恒成立∴λ﹣1≥1即可，∴λ≥2，方法二：当x＜1时，f（x）＞f（1）=λ﹣1，当x≥1时，f（x）=2x，f（x）≥21=2，当λ﹣1≥2时，即λ≥3时，f（x）≥2，当λ﹣1＜2时，即λ＜3时，f（x）≥λ﹣1，∴①当λ≥3时，2f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥22=4∴f（f（a））=2f（a）恒成立②当λ＜3时，2f（a）∈[2λ﹣1，+∞），当2≤λ＜3时，f（f（a））≥2λ﹣1，∴f（f（a））=2f（a）恒成立，当λ＜2时，f（f（a））=﹣（λ﹣1）+λ=1，f（f（a））=2f（a）不恒成立，综上所述λ≥2，故选：C3.直线与曲线相切于点A（1，3），则2a+b的值为（

）A.2 B.-1 C.1 D.-2参考答案：C略4.函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A.向右平移个单位

B.向左平移个单位C.向右平移个单位

D.向左平移个单位参考答案：C略5.已知y=2x3－ax+c在(－∞，+∞)上的单调递增，则（

）A．a＜0且c∈R

B．a≥0且c∈R

C．a＜0且c=0

D．a≤0且c≠0参考答案：答案：A6.已知集合，那么（

）A

B

C

D参考答案：D略7.函数f(x)＝－x2＋(2a－1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是()A．a＞

B．＜a＜

C．a＞

D．a＜参考答案：C8.已知集合，，则等于

A.[－1,6]

B.(1,6]

C.[－1,+∞)

D.[2,3]参考答案：B9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱A1B1上一点，且，若二面角为45°，则四面体BB1C1E的外接球的表面积为（

）A. B.12π C.9π D.10π参考答案：D【分析】连接交于O，可证为二面角的平面角，即可求得的长度，即可求出外接球的表面积.【详解】解：连接交于O，则，易知，则平面，所以，从而为二面角的平面角，则.因为，所以，故四面体的外接球的表面积为.故选：【点睛】本题考查二面角的计算，三棱锥的外接球的表面积计算问题，属于中档题.10.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35参考答案：B【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．【解答】解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是

．参考答案：考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x＜1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求得a的取值范围．解答： 解：当x≥1，函数f（x）的导数，f'（x）=，则f'（e）=，则在A（e，1）处的切线方程为y﹣1=（x﹣e），即y=．当x≥1时，切线和函数f（x）=lnx有且只有一个交点，∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则当x＜1时，函数f（x）==，有两个不同的交点，即（x+2）（x﹣a）=x，在x＜1时，有两个不同的根，设g（x）=（x+2）（x﹣a）﹣x=x2+（1﹣a）x﹣2a，则满足，即，∴，解得或，即实数a的取值范围是．故答案为：．点评：不同主要考查导数的几何意义，以及函数交点问题，利用二次函数的根的分布是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力，综合性较强．12.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则的值为________________． 参考答案：1由题意知，所以。第三列和第五列的公比都为,所以，所以，即。，所以。

13.复数在复平面内所对应的点在实轴上，那么实数___________.参考答案：-214.试写出的展开式中系数最大的项_____．参考答案：【分析】Tr+1＝（﹣1）rx7﹣2r，r必须为偶数，分别令r＝0，2，4，6，经过比较即可得出【详解】，r必须偶数，分别令r＝0，2，4，6，其系数分别为：1，,,经过比较可得：r＝4时满足条件，故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.已知矩形的面积为8,当矩形周长取最小值时,沿对角线把折起,则三棱锥的外接球的表面积为________参考答案：16.执行如图所示的程序框图，输出的k值为

参考答案：417.已知，则

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．（1）当a=0时，求函数f（x）在[，1]上的最小值；（2）若?x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若?x＞0，不等式f（）﹣1≥e+恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）a=0时，，，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[，1]上的最小值．（2），函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，由?x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，得lnx0+2x02≤0，由此能求出a的取值范围．（3）由f（）﹣1≥，得a对任意x＞0成立，令函数g（x）=xlnx﹣x﹣，则，由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=xe2x﹣lnx，∴，，∴函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，又函数f′（x）的值域为R，故?x0＞0，使得f′（x0）=（2x0+1）e﹣=0，又∵，∴，∴当x∈[]时，f′（x）＞0，即函数f（x）在区间[，1]上递增，∴．（2），由（1）知函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，且?x0＞0，使得f′（x0）=0，进而函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，﹣lnx0﹣ax0，由f′（x0）=0，得：（2x0+1）e﹣﹣a=0，∴，∴f（x0）=1﹣lnx0﹣2x02，∵?x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，∴1﹣lnx0﹣2x02e≥1，∴lnx0+2x02≤0，设h（x0）=lnx0+2xe，则h（x0）为增函数，且有唯一零点，设为t，则h（t）=lnt+2t2e2t=0，则﹣lnt=2t2e2t，即，令g（x）=xex，则g（x）单调递增，且g（2t）=g（），则2t=ln，即，∵a=（2x0+1）﹣在（0，t]为增函数，则当x0=t时，a有最大值，=，∴a≤2，∴a的取值范围是（﹣∞，2]．（3）由f（）﹣1≥，得，∴xlnx﹣x﹣a≥，∴a对任意x＞0成立，令函数g（x）=xlnx﹣x﹣，∴，当x＞1时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，∴当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=﹣1﹣=﹣1﹣，∴a≤﹣1﹣．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1﹣）．19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示．（I）证明：平面；（II）证明：平面；（III）求四棱锥的体积．参考答案：20.(本小题满分13分)(1)解关于x的不等式；（2）记(1)中不等式的解集为A，函数

的定义域为B．若，求实数a的取值范围．参考答案：略21.记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=?，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定义ST=++…+．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；（3）设C?U，D?U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．参考答案：【考点】数列的应用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】（1）根据题意，由ST的定义，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由ST的定义，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），则A∩B=?，进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB，分2种情况进行讨论：①、若B=?，②、若B≠?，可以证明得到SA≥2SB，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，ST=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故an=3n﹣1，（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=ak+1，（3）设A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），则A∩B=?，分析可得SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB，因此原命题的等价于证明SC≥2SB，由条件SC≥SD，可得SA≥SB，①、若B=?，则SB=0，故SA≥2SB，②、若B≠?，由SA≥SB可得A≠?，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾，因为A∩B=?，所以l≠m，则l≥m+1，SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即SA≥2SB，综上所述，SA≥2SB，故SC+SC∩D≥2SD．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定