河北省石家庄市东权城中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省石家庄市东权城中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为(

) A． B． C．2 D．参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答： 解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．2.设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣2）x的导函数是f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为(

) A．y=4x B．y=3x C．y=﹣3x D．y=﹣2x参考答案：D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：求出函数的导数，由函数的奇偶性定义，可得a=0，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程．解答： 解：函数f（x）=x3+ax2+（a﹣2）x的导函数是f′（x）=3x2+2ax+a﹣2，由f′（x）是偶函数，即有f′（﹣x）=f′（x），即为3x2﹣2ax+a﹣2=3x2+2ax+a﹣2，可得a=0，即有f（x）=x3﹣2x，f′（x）=3x2﹣2，即有曲线y=f（x）在原点处的切线斜率为﹣2，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=﹣2x，故选D．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性，正确求导是解题的关键．3.已知函数，若，则实数a等于

A、

B、

C、2

D、4参考答案：C4.若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA=

A． B．一

C． D．－参考答案：A5.已知为虚数单位，复数满足，且，则（

）A．2或－4

B．－4

C．2

D．±4参考答案：A6.在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人选的所有可能的种数为（

）A.420 B.766 C.1080 D.1176参考答案：D【分析】分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解.【详解】一等奖两个名额，一共种，一等奖三个名额，一共种，所以一等奖人选的所有可能的种数为1176.故选：D【点睛】此题考查计数原理的综合应用，需要熟练掌握利用组合知识解决实际问题，准确分类，结合对立事件求解.7.已知曲线在点(－1，f(－1))处切线的斜率为8，则f(－1)=A．7 B．－4 C．－7 D．4参考答案：B因为选B.

8.设a,b为实数，若复数（其中i为虚数单位）,则(

)A． B． C．

D．参考答案：B9.某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=1 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y+1）2= D．（x﹣1）2+（y+1）2=参考答案：C【考点】J9：直线与圆的位置关系；B4：系统抽样方法；J1：圆的标准方程．【分析】根据分层抽样的定义进行求解a，b，利用点到直线的距离公式，求出A（1，﹣1）到直线的距离，可得半径，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∴a=40，b=24，∴直线ax+by+8=0，即5x+3y+1=0，A（1，﹣1）到直线的距离为=，∵直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，∴r=，∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=，故选C．10.三棱锥中，平面且是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面，积为(

)A．

B．4π

C.8π

D．20π参考答案：C根据已知中底面△ABC是边长为的正三角形，，PA⊥平面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球

∵△ABC是边长为的正三角形，∴△ABC的外接圆半径球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1.故球的半径故三棱锥P-ABC外接球的表面积.故选：C．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若满足条件的最大值为__________．参考答案：7由题,画出可行域为如图区域，，当在处时，，故答案为7.12.如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则__________．参考答案：2n-1;解：设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数n=1时，h（1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h（2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，h（3）=h（2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1，h（4）=h（3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1，…以此类推，h（n）=h（n-1）×h（n-1）+1=2n-1，故答案为：2n-1．13.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．参考答案：【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，最短，进而可得出结果.【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，当直线斜率存在时，设的方程为，，由得：，整理得，所以，，所以；当直线斜率不存在时，易得；综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；因此，所求方程为.故答案为【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.14.集合，，则_________．参考答案：.,所以.15.函数，满足：对任意的x，都有且。当时，，则

．参考答案：略16.若过直线上的一个动点作圆的切线，切点为，，设原点为，则四边形的面积的最小值为___________.参考答案：由题意得，设点到直线的距离为，则则．17.已知直线过椭圆的左焦点和一个顶点B.则该椭圆的离心率____.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题15分）已知函数．（I）若在区间上不单调，求的取值范围；（II）若对于任意的，存在，使得，求的取值范围．参考答案：（I）2<a<4（II）【知识点】单元综合B14（I）解：……5分（II）解法1：（i）当时，即时，，所以……………9分（ii）当时，即时，，，，

……13分综上，，故，所以

……15分解法2：解法2：

……………9分

………………13分 等号当且仅当或时成立，又，所以

…15分解法3：……9分，

……………13分且上述两个不等式的等号均为或时取到，故

故，所以……15分【思路点拨】根据函数的单调性求出a的范围，讨论a的范围求出最大值求出t的范围。19.（本小题满分12分）已知数列的前项和（其中为常数），且，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）当时，则，20.(本小题满分14分)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(I)求该射手恰好命中两次的概率;(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;参考答案：解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.由题意知,,所以.……ks5u…………………6分(II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4.,.,,,……11分故的分布列是01234……12分所以.………14分21.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．参考答案：解：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平