第3.2.1讲函数的单调性与最大（小）值-新高一数学宝典（人教A版2019）

第三章函数的概念和性质第3.2.1讲函数的单调性与最大（小）值一、学习目标1．理解函数单调性的含义，掌握利用定义证明函数的单调性的方法，培养逻辑推理核心素养．2．能够利用定义或图像求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题，培养直观想象和数学运算核心素养．3.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义，培养数学抽象素养．4．了解直线的斜率概念，掌握函数的平均变化率概念并能简单应用，提升直观想象、逻辑推理素养．二、核心知识增函数、减函数的定义1．根据下面的图像探究下列问题．(1)图①中任取x1，x2∈I，当x1＜x2时f(x1)与f(x2)的大小关系如何？图②呢？(2)图①，图②分别反映了函数的什么性质？(3)若函数y＝f(x)在I上是增函数，I1⊆I，则y＝f(x)在I1上是什么函数？提示：(1)由图①可知函数y＝f(x)图像随x的增大而“上升”，即x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)．图②中函数y＝f(x)图像随x的增大而“下降”，即x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)．(2)图①②反映了函数的单调性，其中图①对应的函数为增函数；图②对应的函数为减函数．(3)增函数．2．函数y＝f(x)的定义域为D，I⊆D，任意x1，x2∈I且x1≠x2都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＞0，你能说f(x)在I上一定是增函数吗？提示：能．因为当x2＞x1时都有f(x2)＞f(x1)；当x2＜x1时都有f(x2)＜f(x1)．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)．(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在M上单调递减).函数增函数减函数图示函数的单调性与单调区间1．单调函数一定有单调区间吗？提示：不一定．有些函数没有单调区间或者它的定义域根本就不是区间．如y＝2x，x∈{1，2，3，4，5}．2．“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的意义相同吗？区别是什么？提示：意义不同．单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．知识点三函数的最大(小)值1.观察函数f(x)＝x2－1的图像，你能说出该函数的最小值吗？并说明理由．提示：该函数的最小值为－1.因为对任意的x，都有f(x)≥f(0)＝－1.2．不等式x2＞－1一定成立吗？－1是不是函数f(x)＝x2的最小值？提示：不等式x2＞－1一定成立．－1不是函数f(x)＝x2的最小值，因为不存在实数x使x2＝－1.一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作fmax＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作fmin＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．eq\a\vs4\al([点睛])最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的所有元素，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立．三、核心例题题型1利用函数图像确定单调区间1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（

）A．是函数的增区间 B．是函数的减区间C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数【答案】C【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上是减函数，D正确，故选：C2．函数，的图象如图所示，则的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据图像易得单调增区间为，故选：C.3．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为.故选：B题型2用定义法证明(判断)函数的单调性4．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，当时；当时；所以函数在实数上单调递增，又，所以.故选：A5．下列函数在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确；对于B，函数在区间上是减函数，故B正确；对于C，函数在上是增函数，故C不正确；对于D，函数在上是增函数，故D不正确.故选：B．6．下列函数在上为增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数在上是减函数；在上是减函数；，当时，在上是增函数；在上是减函数.故选：C.题型3函数单调性的应用7．若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】开口向上，对称轴为，要想在区间上为单调减函数，则.故选：D8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意，，在中，函数单调递增，∴，解得：，故选：C.9．设函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】画出的图象如下图所示，结合图象可知在上递增，由得，解得.故选：B题型4图像法求函数的最值10．函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（

）A．－1，0 B．0，2C．－1，2 D．，2【答案】C【详解】根据图象观察知，故选：11．函数在上的图象如图所示，则此函数的最大值和最小值分别为（

）A．3，0 B．3，1C．3，无最小值 D．3，2【答案】C【详解】由图可知，在上的最大值为3，最小值取不到.故选：C12．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【详解】由题图可得，函数最大值对应图象中的最高点的纵坐标，同理，最小值对应.故选：C题型5利用单调性求函数的最值13．已知函数，则在上的最大值为（

）A．9 B．8 C．3 D．【答案】A【详解】函数的对称轴为，所以函数在上单调递减，.故选：A.14．已知函数，则在区间上的最大值为（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】在单调递减，.故选：C.15．关于函数的结论正确的是（

）A．值域是 B．单调递增区间是C．值域是 D．单调递增区间是【答案】D【详解】因为有意义，所以，解得，即函数的定义域为，函数，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，故B错误，D正确；在上有最大值4，最小值故的值域为，故A、C错误.故选：D.当堂达标一、单选题1．下列函数在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；对于B，函数在上单调递增，B是；对于C，函数在上单调递减，C不是；对于D，函数在上不单调，D不是.故选：B2．函数的值域是（）A．R B．C． D．【答案】B【详解】当时，；当时，，所以函数的值域是．故选：B3．函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，由此画出函数的图象如下图所示，由图可知，函数的一个单调递减区间为.故选：A4．已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】的对称轴为，若在上单调递增，则，解得，若在上单调递减，则，解得，所以实数k的取值范围为.故选：D.5．已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，所以，，因为在上是增函数，且，所以，即.故选：B.6．对于反比例函数，如果当时有最大值，则当时，有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【答案】A【详解】当时，函数在区间单调递减，由题意可知，当时，，得，不成立，当时，函数在区间单调递增，由当时有最大值，得时，.，反比例函数解析式为，当时，当时，最小值，无最大值.故选：A.7．函数的值域为（

）A．[0,1） B． C． D．【答案】D【详解】令，则，可得，且开口向上，对称轴为，可得在上单调递增，可知当时，取到最小值2，所以的值域为，即函数的值域为.故选：D.8．已知不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值之和为（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【详解】由题不等式的解集是，所以是方程的两根，，解得，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，，当时，，所以二次函数在区间上最大值与最小值之和为.故选：B.二、多选题9．已知函数，，则函数的最小值可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】函数，当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为.故选：ABC10．已知，则（

）A．最小值 B．最大值为C．无最小值 D．无最大值【答案】AD【详解】根据题意函数，在同一坐标系下画出两函数图象如下：根据可知，取的是两函数图象在上的部分，如上图中的粗直实线以及其两侧的向上的抛物线；由图可知有最小值，无最大值，BC错误，D正确；且最小值的横坐标是方程的正实根，即，所以最小值为，即可知A正确.故选：AD三、填空题11．已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为.【答案】【详解】由在区间上是单调减函数，有解得，则的取值范围为.故答案为:.12．函数的值域为．【答案】【详解】由对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值，又所以当时，函数有最大值，故函数的值域为．故答案为：．四、解答题13．证明：定义在R上的函数是增函数．【详解】证明：设和是任意两个实数，且，则．于是．由函数单调性的定义可知，函数是R上的增函数．14．已知函数，求函数的最大值和最小值．【详解】∴y在上单调递减，y在上单调递增．∴＝12－2×1＋2＝1，＝(－5)2－2×(－5)＋2＝37.15．已知(1)函数