数值分析(研究生)线性方程组的直接解法二省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第四章线性方程组直接解法（二）第五节向量和矩阵范数第六节方程组性态与误差分析第1页§5向量和矩阵范数一、向量范数定义

Rn空间向量范数||·||对任意满足条件：（正定性)对任意(齐次性)（三角不等式)惯用向量范数：

==niixx11||||||v

==niixx122||||||vpnipipxx/11||||||=

=v||max||||1inixx

=v注：第2页定义向量序列收敛于向量是指对每一个1

i

n都有.能够了解为定义若存在常数C>0

使得对任意有,则称范数||·||A比范数||·||B强.定义若范数||·||A比||·||B强，同时||·||B也比||·||A强，即存在常数C1、C2

>0使得，则称||·||A和||·||B等价.定理Rn上一切范数都等价.能够了解为对任何向量范数都成立.第3页二、矩阵范数定义

Rm

n空间矩阵范数||·||对任意满足：（正定性)对任意(齐次性)（三角不等式)(4)*||AB||||A||·||B||

（相容

当

m=n

时)第4页惯用矩阵范数：Frobenius范数—向量||·||2直接推广

对方阵以及有利用Cauchy不等式可证.算子范数

由向量范数||·||p导出关于矩阵A

Rn

n

p范数:则尤其有：（行和范数）（列和范数）（谱范数）矩阵ATA最大特征根第5页注：

Frobenius范数不是算子范数.

我们只关心有相容性范数，算子范数总是相容.

即使A中元素全为实数，其特征根和对应特征向量仍可能是复数.将上述定义中绝对值换成复数模均成立.若不然，则必存在某个向量范数||·||v使得对任意A成立.反例?三、谱半径定义矩阵A谱半径记为

(A)=，其中

i

为

A特征根.ReIm

(A)第6页定理对任意算子范数||·||有证实：由算子范数相容性，得到将任意一个特征根

所对应特征向量代入定理若A对称，则有证实：A对称若

是A一个特征根，则

2必是A2特征根.又：对称矩阵特征根为实数，即

2(A)为非负实数，故得证.对某个

A特征根

成立所以2-范数亦称为谱范数.第7页定理若矩阵B对某个算子范数满足||B||<1，则必有①可逆②证实：①若不然，则有非零解，即存在非零向量使得

②第8页§6方程组性态与误差分析求解时，A和误差对解有何影响？

设A准确，有误差，得到解为，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子第9页

设准确，A有误差，得到解为，即(只要A充分小，使得是关键误差放大因子，称为A条件数，记为cond(A),越则A越病态，难得准确解.大第10页注:

cond(A)详细大小与||·||取法相关，但相对大小一致.

cond(A)取决于A，与解题方法无关.

惯用条件数有：cond(A)1cond(A)

cond(A)2尤其地，若A对称，则条件数性质：

A可逆，则cond(A)p

1；

A可逆，

R

则cond(

A)

=cond(A)；

A正交，则cond(A)2=1；

A可逆，R正交，则cond(RA)2

=cond(AR)2

=cond(A)2.第11页准确解为例1计算cond(A)2.A1=解：考查A特征根39206>>1

测试病态程度：给一个扰动，其相对误差为此时准确解为2.0102>200%第12页例2Hilbert阵cond(H2)

=27cond(H3)

748cond(H6)

=2.9106cond(Hn)

asn

注：普通判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出.

行列式很大或很小（如一些行、列近似相关）；

元素间相差大数量级，且无规则；

主元消去过程中出现小主元；

特征值相差大数量级.第13页

近似解误差预计及改进：设近似解为，则普通有cond(A)误差上限

改进方法：Step1: