高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版

第第页高一数学(必修一)《第五章任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．3二、单选题2．终边与直线重合的角可表示为（

）A． B．C． D．3．下列角中与终边相同的角是（

）A． B． C． D．4．下列说法正确的是（

）A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B．若，则C．若角的终边过点，则D．当时，则5．已知一个母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：和）（

）A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m三、填空题7．化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为，面积为，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______．10．设地球半径为R，地球上北纬30°圈上有A，B两点，点A在西经10°，点B在东经110°，则点A和B两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）；（2）；（3）；（4）．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：(1)把表示成的形式；(2)求，使与的终边相同，且．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？15．已知扇形的周长为c，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A处乘Ⅰ到达二楼的点B处后，沿着二楼地面上的弧逆时针步行至点C处，且C为弧的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m，相邻楼层的间距为4m，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程；(2)求异面直线AB和CD所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，则的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，解得和或和，则或1．故C，D错误.故选：AB．2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线重合的角可表示为．故选：A.3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到，结合终边相同角的表示，即可求解.【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得与角终边相同的角的集合为令，可得所以与角终边相同的角是.故选：D.4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可.【详解】对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，A错误；对于B，若，则，B错误；对于C，若角的终边过点，则，C错误；对于D，当时，则，D正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解.【详解】解：将圆心角化为弧度为：，设圆锥底面圆的半径为由圆心角、弧长和半径的公式得：，即由扇形面积公式得：所以圆锥的侧面积为.故选：D.6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧的长，其所对圆心角则两手之间的距离．故选：B．7．【解析】根据角度制与弧度制的关系，转化即可.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题.8．cm【分析】由题意设扇形的半径为cm，弧长为cm，由扇形的周长、面积可得，解出后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为cm，弧长为cm，圆心角为∵，∴∴，即，解得或当时，则，则，不合题意，舍去；当时，则，则，符合题意.故答案为：cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意，所以，所以；故答案为：10．【分析】求出的长度，确定的大小，再由弧长公式求得A,B两地的东西方向的距离.【详解】如图示，设为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则,故,即北纬30°圈的圆的半径为由题意可知故点A和B两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的的长故的长为故答案为：11．（1），第三象限；（2），第一象限；（3），第一象限；（4），第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1），因为的角终边在第三象限，所以是第三象限角；（2），因为的角终边在第一象限，所以是第一象限角；（3），因为的角终边在第一象限，所以是第一象限角；（4），因为的终边在第三象限，所以是第三象限角.12．(1)；(2).【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式.(2)由(1)可得，再按给定范围求出k值作答.(1)依题意，所以.(2)由(1)知，，而，则，解得所以.13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解.【详解】设扇形弧长为l，因为圆心角rad所以扇形弧长于是，扇形的面积S＝l·r＝×8π×20＝80π.14．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解（3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可．【详解】(1)α＝60°＝rad，∴l＝α·R＝×10＝(cm).(2)由题意得解得(舍去)，故扇形圆心角为.(3)由已知得，l＋2R＝20.所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，则S取得最大值25此时l＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为，弧长为，利用周长公式，求得，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为，弧长为则，即由扇形的面积公式，代入可得当时，则即时，则面积取得最小值此时，面积的最小值为.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．(1)(2)【分析】（1）过点B作一楼地面的垂线，垂足为，则落在圆柱底面圆上，结合题意计算出的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB和CD的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案.（1）如图，过点B作一楼地面的垂线，垂足为，则落在圆柱底面圆上连接，则即为BA在圆柱下底面上的射影故即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以.因为，所以在中，所以是等腰直角三角形连接，B，，则因为，所以的长为故此顾客在二楼地面上步行的路程为.（2）连接，由（1）可知OA，，所在直线两两互相垂直.以O为原点，和的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则与和，