高考数学总复习第53讲立体几何综合应用

第53讲立体几何的综合应用1．(2016·新课标卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，极点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延伸交AB于点G.证明：G是AB的中点；在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及原因)，并求四周体PDEF的体积．证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中点．在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．原因以下：由已知可得

PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以

EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，所以

EF⊥平面

PAC，即点

F为

E在平面

PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝2CG.3由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，21所以DE∥PC，所以PE＝3PG，DE＝3PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝22.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四周体的体积114＝××2×2×2＝.PDEFV3232．(2017·新课标卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面1ABCD，AB＝BC＝2AD,∠BAD＝∠ABC＝90°.证明：直线BC∥平面PAD；若△PCD的面积为27，求四棱锥P-ABCD的体积．在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.如图，取AD的中点M，连结PM，CM.1由AB＝BC＝2AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x.如图，取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，14所以PN＝2x.114因为△PCD的面积为27，所以2×2x×2x＝27，解得x＝－2(舍去)或x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23.所以四棱锥-的体积122＋4×23＝43.＝×2PABCDV33．(2014·新课标卷Ⅰ)如图，三棱柱-111中，侧面11为菱形，1的中点为ABCABCBBCCBC11O，且AO⊥平面BBCC.证明：B1C⊥AB；若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．证明：连结BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.因为AB?平面ABO，故B1C⊥AB.作OD⊥BC，垂足为D，连结AD.作OH⊥AD，垂足为H.因为BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD,0.n所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，3又BC＝1，可得OD＝4.1因为AC⊥AB1，所以OA＝2B1C＝2.227由OH·AD＝OD·OA，且AD＝OD＋OA＝4，21得OH＝.14又O为B1C的中点，所以点B到平面ABC的距离为21.111121故三棱柱ABC-ABC的高为7.4．(2017·新课标卷Ⅲ)如图，四周体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.证明：AC⊥BD；已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四周体ABCE与四周体ACDE的体积比．如图，取AC的中点O，连结DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又因为△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.BO∩DO＝O，进而AC⊥平面DOB，BD?平面DOB，故AC⊥BD.连结EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.222在Rt△AOB中，BO＋AO＝AB.222222又AB＝BD，所以BO＋DO＝BO＋AO＝AB＝BD，故∠DOB＝90°.1由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝2AC.又△ABC是正三角形，所以AC＝AB，1又AB＝B