高二上学期数学寒假作业-3.2.1双曲线及其标准方程 综合练习

高二年级寒假数学作业3.2.1双曲线及其标准方程综合练习一、单选题1．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A． B． C． D．4．如图，在圆D中，AB为其一条弦，∠ADB＝120°，C，O是弦AB的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T．若T的方程为，则圆D的半径为（

）A． B． C． D．5．已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知双曲线与轴交于两点，点，则△面积的最大值为A． B． C． D．7．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过且倾斜角为锐角的直线与双曲线的右支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则的值为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为（）A． B．C． D．二、多选题9．方程表示的曲线可能是（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线10．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（

）A．两个椭圆 B．两个双曲线C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线11．已知曲线，则下列结论正确的是（

）A．若曲线C是椭圆，则其长轴长为 B．若，则曲线C表示双曲线C．曲线C可能表示一个圆 D．若，则曲线C中过焦点的最短弦长为12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线为，直线过点且与双曲线的右支交于两点，分别为和的内心，则（

）A．直线倾斜角的取值范围为 B．点与点始终关于轴对称C．三角形为直角三角形 D．三角形面积的最小值为三、填空题13．已知焦点､，双曲线上的一点P到､的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.14．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______.15．已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.16．如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的异侧，在移动过程中，当取得最大值时，的面积为___________.四、解答题17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点，；(2)焦点为，，经过点；(3)，经过点；(4)经过和两点．18．年月日，四川汶川发生里氏级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路、送到矩形灾民区中去，若，，，，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路送药较近，而另一侧的点沿道路送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.19．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.(1)求双曲线C的标准方程.(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？21．已知，，点满足，记点的轨迹为曲线.斜率为的直线过点，且与曲线相交于，两点.(1)求曲线的方程；(2)求斜率的取值范围；(3)在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.22．已知双曲线经过点，，，，中的3个点.(1)求双曲线C的方程；(2)已知点M，N是双曲线C上与其顶点不重合的两个动点，过点M，N的直线，都经过双曲线C的右顶点，若直线，的斜率分别为，，且，判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由。参考答案1--8ACCCABDB9．ABD10．BC11．BD12．ACD13．14．15．16．17．（1）根据题意，双曲线经过点，，则双曲线的焦点在轴上，且，设双曲线的标准方程为：，双曲线经过，则有，解可得，则双曲线的标准方程为：；（2）根据题意，焦点为，，则双曲线的焦点在轴上，且，∵双曲线过点，故根据双曲线的定义可知：，则，则，则双曲线的标准方程为：；（3）根据题意，双曲线中，设双曲线的方程为：，又由双曲线经过点，则有，则双曲线的方程为，则双曲线的标准方程为：；（4）根据题意，设双曲线的方程为，双曲线经过和，两点，则有，解可得：，，则双曲线的标准方程为：．18．矩形灾民区中的点可分为三类，第一类沿道路送药较近，第二类沿道路送药较近，第三类沿道路和送药一样远近，依题意，界线是第三类点的轨迹，设为界线上的任一点，则，，∴界线是以、为焦点的双曲线的右支的一部分，如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为(，)，∵，，∴，，故双曲线的标准方程为，注意到点的坐标为，故的最大值为，此时，故界线的曲线方程为(，).19．（1）由题意得，，渐近线方程为，则到渐近线的距离为，又因为，所以，，，故双曲线的标准方程为.（2）设直线：，，，，联立方程组得，所以，.因为直线的方程为，所以的坐标为，同理可得的坐标为.因为，，所以，即为定值.20．（1）设机器鼠位置为点P，由题意，，，由题意可得，即，可得点P的轨迹以A，B为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线的右支，则点P的轨迹方程为C：，时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为．（2）由题意知直线l：，设直线l的平行线的方程为，联立，可得，令，解得，此时与双曲线的右支相切，∴，∴：．此时l与的距离为，即机器鼠距离l的最小距离为，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．21．（1）由可知，的轨迹为以，为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，虚轴长为，所以曲线的方程为：；（2）设直线的方程为：，联立方程，整理得，因为直线与曲线有两个交点，设，，所以，解得或，故斜率的取值范围为；（3）由轴平分可知，由（2）可得，又，，则，，假设在轴上存在定点，则，，即，展开可得因为斜率的取值范围为，所以，即，整理可得：，即，得，所以轴上存在定点，且22．（1）由于关于轴对称，所以要么都在双曲线上，要么