专升本辅导-第3讲导数与微分

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解左导数与右导数的定义，理解可导性与连续性的关系，会求函数在一点处的导数．（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．（3）熟记导数的基本公式、会运用函数的四则运算求导法则，复合函数求导法则和求反函数求导法则求导数，会求分段函数的导数．（4）会求隐函数的导数、掌握对数求导法和参数方程求导法．（5）理解高阶导数的概念，会求一些简单函数的n阶导数．（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则和一阶微分形式不变性，理解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．

第3讲导数与微分一、复习要求和某个邻域内有定义，当自变量在在点(1)定义：设函数取得相应的改变量处取得改变量时，函数时，，如果当的极限存在，即存在，则称此极限为函数在点处的导数，并称函数在点处可导．，或二、内容提要1．导数概念记作（2）左导数和右导数处的左导数，记作处的右导数，记作，称之为函数若存在在点在点函数在点处可导的充分必要条件是处的左、右数都存在且相等．

存在，称之为函数在点若（3）导数与导函数在一点函数处的导数是导函数在该点处的函数值，记作内可导，则对于该区间内每一点在区间如果函数，都有对应的导数值，故是的函数，称这个函数为的导函数．（4）导数的几何意义在点处切线的斜率，即过曲线上点处的切线方程为处的导数在点表示曲线函数（5）利用导数的定义求导数（导函数）的步骤b．作比值c．取极限分段函数在分段点的导数的求法是：用导数定义求出分段点的左、右导数后确定．

a．求增量（6）可导与连续的关系在点处可导，则它在点若函数处必连续；若函数在点处连续，但在该点未必可导．即函数连续是可导的必要条件．

2.导数的基本公式与运算法则（c为常数）．（为任意实数）．．特例：．特例：（1）基本导数公式（2）导数的四则运算法则b．c．d．在某区域内的导数均存在，则有：和若a．（3）复合函数求导法则

即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．

法则适用于有限次复合的函数．确定的可导函数，则其导数可由方程是由方程求得．（4）隐函数的求导法则及均可导，则若函数复合函数在x处可导，且若分别可导，则幂指函数可两边取对数化成隐函数求导数．则它有连续的反函数，其导数为（5）对数求导法则（6）反函数求导法则在若函数内的导数存在且不等于零，函数的导数一般仍是x的函数，它的导数称为此函数的二阶导数，记为，或即或一般地，函数n-1阶导（函）数的导数称为n阶导数，即（7）高阶导数在点处的微分，记为，即（1）定义：对于自变量在点处的改变量，如果的相应改变量可表示为，其中A为不依赖于的常数，则称函数在点处可微．称为函数自变量的微分就是它的改变量：3.函数的微分处可导，且，即因此求微分，只要求出导数，再乘以（3）微分形式的不变性函数微分的形式是完全一样的，这就叫微分形式的不变性．

（2）函数可微的充要条件函数在点处可微的充分必要条件是它在该点来说，不论对函数是自变量还是中间变量，函数的微分，在几何上就是过点的切线的纵坐标的改变量．

（4）微分的几何意义a．求函数增量的近似公式b．求函数在某点附近的函数值的近似公式（5）微分在近似计算中的应用在点处的导数．例1

用定义求函数时导数值解先求出导函数，再计算指定点所以则三、例题及说明1.导数概念解

切线斜率，切线方程为，即法线斜率为，法线方程为，即例2

已知曲线上一点，求：P点的切线方程和法线方程．例3

判定下列说法哪些是正确的？处可导．在点（2）如果函数处连续，则它在点在点（3）设是可导函数，且，则．

处可导．在点

处有导数，则称函数（1）如果函数在点（3）错的．导数解（1）是正确的，函数可导即表明函数在点处可导，如果在开区间内每一点都可导，则称在区间内可导．在点（2）错的．定理成立的条件是：函数处可导，结论是处连续，逆定理不一定成立．例4

证明函数在点，则证设在自变量有一个改变量因为因为所以，函数在处不可导．

处连续但不可导．在所以，函数处连续．，当时，极限不存在．2.求导法则的应用（2）解（1），求，求（2）例1

（1）例1

求下列函数的导数（2）设，求，求（4）设（3），求（5）设，求3.复合函数求导法则的应用，求（1）已知解（1）因为所以

（2）

（3）

（4）因为所以(5)

所以4.隐函数求导、取对数求导求导，注意到解隐函数不必化成显函数，只要从方程两端对的函数（符合复合函数求导法则），因此可得：是解方程，得例1

求由方程所确定的隐函数的导数．解两边对求导，得例2

设，求，移项，得所以，由原式当时，所以例3

求函数的导数对求导，得移项，整理得所以解

两边取对数得例4

设，求两边求导数整理得解两边取对数5.参数方程求导方法，则求导）（注意：分子分母都是对例1

若，求解

6．高阶导数例1

证明：函数满足关系式证将求导，得

于是例2

求对数函数的n阶导数．

一般地，可得即通常规定，所以这个公式当时也成立．

解

7.