线性代数试题及答案(同名20634)

2023-2023-2线性代数46学时期末试卷(A)考试方式：闭卷考试时间：一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（A）．()列向量组线性无关，（）列向量组线性相关，（）行向量组线性无关，（）行向量组线性相关．2．向量线性无关，而线性相关，则（C）。()必可由线性表出，（）必不可由线性表出，（）必可由线性表出，（）必不可由线性表出.3.二次型，当满足（C）时，是正定二次型．()；（）；（）；（）．4．初等矩阵（A）；()都可以经过初等变换化为单位矩阵；（）所对应的行列式的值都等于1；（）相乘仍为初等矩阵；（）相加仍为初等矩阵5．已知线性无关，则（C）A.必线性无关；B.若为奇数，则必有线性相关；C.若为偶数，则必有线性相关；D.以上都不对。二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型秩为2，则7．设矩阵，则8．设是阶方阵，是的伴随矩阵，已知，则的特征值为。9．行列式=__________;10.设A是4×3矩阵，，若，则=_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式的值。12．设矩阵，矩阵满足，求。13．求线性方程组的通解。14．已知，求出它的秩及其一个最大无关组。15.设为三阶矩阵，有三个不同特征值依次是属于特征值的特征向量，令,若，求的特征值并计算行列式.四、解答题（10分）16.已知，求五、证明题（每小题5分，共10分）17.设是非齐次线性方程组的一个特解，为对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：向量组线性无关。18.已知与都是阶正定矩阵，判定是否为正定矩阵，说明理由.2023-2023-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为阶矩阵，下列运算正确的是（）。A.B.C.D.若可逆，，则；2．下列不是向量组线性无关的必要条件的是（）。A．都不是零向量;B.中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C.中任意两个向量都不成比例;D.中任一部分组线性无关;3.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（）。A．列向量组线性无关；B.列向量组线性相关；C.行向量组线性无关；D.行向量组线性相关；4．如果（），则矩阵A与矩阵B相似。A.；B.；C.与有相同的特征多项式；D.阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同；5．二次型，当满足（）时，是正定二次型。A.；B.；C.；D.。二、填空题（每小题3分，共15分）6．设，则＝；7．设为行列式中元素的代数余子式，则；8．=；9．已知向量组线性无关，则向量组的秩为；10.设为阶方阵，，且，则的一个特征值；三、计算题（每小题10分，共50分）11．设，求。12．设三阶方阵，满足方程，试求矩阵以及行列式，其中。13．已知，且满足，其中为单位矩阵，求矩阵。14．取何值时，线性方程组无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。15.设，求该向量组的秩和一个极大无关组。四、解答题（10分）16．已知三阶方阵的特征值1，2，3对应的特征向量分别为，，。其中：，，，。（1）将向量用，，线性表示；（2）求，为自然数。证明题（每小题5分，共10分）17．设是阶方阵，且，；证明：有非零解。18．已知向量组(I)的秩为3，向量组(II)的秩为3，向量组(III)的秩为4，证明向量组的秩为4。2023-2023-1线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（）。(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B）行列式中有两行（列）元素完全相同;（C）行列式中有两行（列）元素成比例;（D）行列式中等于零的个数大于个.2．下列矩阵中（）不满足。(A）;（B）;（C）;（D）.3.设为同阶可逆方阵,则()。(A)；(B)存在可逆矩阵；(C)存在可逆矩阵；(D)存在可逆矩阵.4．向量组QUOTE线性无关的充分必要条件是（）（A）QUOTE均不为零向量；（B）QUOTE中有一部分向量组线性无关；（C）QUOTE中任意两个向量的分量不对应成比例；（D）QUOTE中任意一个向量都不能由其余QUOTE个向量线性表示。5．零为方阵A的特征值是A不可逆的（）。（A）充分条件；（B）充要条件;（C）必要条件;（D）无关条件;二、填空题（每小题3分，共15分）6．设，则=；7．已知设则；8．设是三阶方阵，且，则；9．已知向量组则该向量组的秩为;10.已知，，且于相似，则。三、计算题（每小题10分，共50分）12．已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组的解.①求的值；②证明.13．设3阶矩阵满足等式,其中求矩阵。14．求向量组的秩及最大无关组。15.设1.求二次型所对应的矩阵；2.求的特征值和对应的特征向量。四、解答题（10分）16．，试讨论为何值时（1）不能用线性表示；（2）可由唯一地表示，并求出表示式；（3）可由表示，但表示式不唯一，并求出表示式。五、证明题（每小题5分，共10分）17．设QUOTE是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一QUOTE维向量都可由它们线性表示。18．设为对称矩阵，为反对称矩阵，且可交换，可逆，证明：是正交矩阵。。武汉科技大学2023-2023-2线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为阶矩阵，下列运算正确的是（D）。A.B.C.D.若可逆，，则；2．下列不是向量组线性无关的必要条件的是（B）。A．都不是零向量;B.中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C.中任意两个向量都不成比例;D.中任一部分组线性无关;3.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（A）。A．列向量组线性无关；B.列向量组线性相关；C.行向量组线性无关；D.行向量组线性相关；4．如果（D），则矩阵A与矩阵B相似。A.；B.；C.与有相同的特征多项式；D.阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同；5．二次型，当满足（C）时，是正定二次型．A.；B.；C.；D.。二、填空题（每小题3分，共15分）6．设，则＝；7．设为行列式中元素的代数余子式，则-1；8．=；9．已知向量组线性无关，则向量组的秩为2；10.设为阶方阵，，且，则的一个特征值-3；三、计算题（每小题10分，共50分）11．设，求。解：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分12．设三阶方阵，满足方程，试求矩阵以及行列式，其中。解：由，得，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由于，，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分，．．．．8分所以。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分13．已知，且满足，其中为单位矩阵，求矩阵。解：因为，所以可逆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由，得，故，即，．．．．4分不难求出,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分因此。．．．．．．．．．．．．．．．10分14．取何值时，线性方程组无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分1.当时，有，，原方程组无解；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分2.当时，有，所以原方程的通解为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分3.当时，方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分15.设，求该向量组的秩和一个极大无关组。解：．6分所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分因为任意两个向量均不成比例，所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分四、解答题（10分）得分16．已知三阶方阵的特征值1，2，3对应的特征向量分别为，，。其中：，，，。（1）将向量用，，线性表示；（2）求，为自然数。解：（1）把用线性表示，即求解方程故。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）．．．．．．．．．．10分五、证明题（每小题5分，共10分）17．设是阶方阵，且，；证明：有非零解。证明：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分18．已知向量组(I)的秩为3，向量组(II)的秩为3，向量组(III)的秩为4，证明向量组的秩为4。证明：向量组的秩为3，向量组的秩为3，所以为向量组的一个极大无关组，因此可唯一的由线性表示；．．．．2分假设向量组的秩不为4，又因为向量组的秩为3，所以向量组的秩为3，因此也可唯一的由线性表示；．．．4分因此可唯一的由线性表示，而向量组的秩为4，即线性无关，因此不能由线性表示，矛盾，因此向量组的秩为4。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分武汉科技大学2023-2023-1线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（A）。(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B）行列式中有两行（列）元素完全相同;（C）行列式中有两行（列）元素成比例;（D）行列式中等于零的个数大于个.2．下列矩阵中（C）不满足。(A）;（B）;（C）;（D）.3.设为同阶可逆方阵,则(D)。(A)；(B)存在可逆矩阵；(C)存在可逆矩阵；(D)存在可逆矩阵.4．向量组QUOTE线性无关的充分必要条件是（D）（A）QUOTE均不为零向量；（B）QUOTE中有一部分向量组线性无关；（C）QUOTE中任意两个向量的分量不对应成比例；（D）QUOTE中任意一个向量都不能由其余QUOTE个向量线性表示。5．零为方阵A的特征值是A不可逆的（B）。（A）充分条件；（B）充要条件;（C）必要条件;（D）无关条件.二、填空题（每小题3分，共15分）6．设，则=0。7．已知设则；8．设是三阶方阵，且，则27；9．已知向量组则该向量组的秩为2;10.已知，，且于相似，则6。三、计算题（每小题10分，共50分）11．解：5分8分10分12．已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组的解.①求的值；②证明.解：①因为非零矩阵的每一列都是齐次方程组的解，所以齐次线性方程组有非零解，即5分②由题意可得，8分因为，所以，即不可逆，所以10分注：第二问也可以用反证法，方法对即可。13．设3阶矩阵满足等式,其中求矩阵。解：3分8分所以。10分14．求向量组的秩及最大无关组。解：，6分所以，任意两个不成比例的向量组均是的一个极大无关组。10分15.设1.求二次型所对应的矩阵；2.求的特征值和对应的特征向量。解：1.二次型所对应的矩阵，3分2．（二重）6分当时，，所以为对应的特征向量。8分当时，，所以为对应的特征向量。10分四、解答题（10分