连续时间美式期权定价模型

关于连续时间美式期权定价模型第1页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六因为美式期权没有固定的执行时间，学者很难用解析模型为美式期权定价。本章主要介绍作者2008年提出的连续时间美式期权定价模型。内容包括股票价格行为模型，连续时间美式期权定价模型。第2页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六16.1美式期权定价模型概述1973年，FischerBlack、MyronScholes和RobertMerton在欧式股票期权定价模型研究中，取得突破性进展。提出不派息（和派息）股票期权定价模型，又称为Black-Scholes模型。该模型的提出为股票期权定价提供了理论依据，同时也促进了20世界80年代和90年代金融工程的发展。为了表彰他们对人类所做出的贡献，MyronScholes和RobertMerton于1997年获得诺贝尔经济学奖。遗憾的是FischerBlack于1995年逝世。Cox、Ross和Rubinstein(1979)提出的二叉树模型，成为美式期权定价的主流模型。为了提高二叉树的收敛速度，Hull和White（1994）提出三叉树模型。Boyle(1977)提出蒙特卡罗模拟模型。Brennan和Schwartz(1978)提出有限差分模型。Duan(1995)提出GARCH（广义自回归条件异方差）模型。第3页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六经过多年的研究，作者已经研制出不派息连续时间美式期权定价模型（2008）,在此基础上又提出连续时间美式外汇期权定价模型（2009），这两个模型的复杂程度与BS模型相似。通过实证研究，这两个模型的计算结果与二叉树模型相比，看涨期权的最大相对误差仅为2.47%，看跌期权的最大误差仅为-0.6545%。第4页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六16.2股票价格行为模型假设股票的价格波动为零，而且不派息。如果投资者的期望收益率为，零时刻的股票价格为，则持股年股票价格的期望值应为：（16-1）公式（16-1）与银行存款本金和利息的计算公式完全相同。为本金；为银行存款利率；为存款年限；为年后的本金和利息。为了数学处理上的方便，我们采用连续复利形式，则模型（16-1）变为：（16-2）从公式（16-2）中我们可以看出，当股票的价格波动为零时，股票价格的期望值以年利率为的复利形式增长，与银行存款有相同的增长方式。

第5页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六由此可见，用公式（16-2）表示t时刻股票价格的期望值是合理的。把式（16-2）两边同除以

，并取对数得到：（16-3）其中是持股年的对数收益率，而不是年收益率，年收益率为。假设

是单位时间内股票对数收益率的方差，则

为

年内收益率

的方差。只有在公式（16-3）中加入随机项，才能真实全面地反映股票价格的变化。第6页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六通过上面的分析，股票价格过程可以用下列形式的随机过程来描述（16-4）或（16-5）其中：为测度下的标准维纳（Wiener）过程，。（16-6）其中：为标准正态分布变量，。第7页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六公式（16-5）两边同除以，并取对数得到：（16-7）对数收益率服从下列形式的正态分布（16-9）方程（16-5）是描述股票价格变化的合理模型。

第8页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六16.3无套利机会股票价格模型

一般情况下，国库券以政府为担保，价格受随机因素的影响较少，波动也较少，因此，买国库券属于无风险投资。而股票的价格受随机因素的影响较大，波动也较大，因此，买股票属于风险投资。单位国库券的价格和股票的价格分别用下列模型表示：（16-10）（16-11）其中：为时刻单位国债的价格；为时刻股票的价格，元/股；为零时刻股票的价格，元/股；为国债利率，又称为无风险利率；第9页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六对股票价格贴现后得到时刻股票价格的现值：即（16-12）其中：随机变量零时刻的值等于随机变量零时刻的值，即。下面推导式（16-12）的微分形式。我们可以把式（16-12）写成下列形式：其中:第10页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六令伊滕公式的一般形式为：因为第11页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六高级无穷小项和，另外，因此分别把上述公式代入伊滕公式，可以求出随机过程（16-12）的随机微分方程：

（16-13）公式（16-12）和（16-13）表示同一随机过程，前者是该过程的积分形式，表示时刻股票价格的现值，而后者为该过程的微分形式，表示时刻股票价格现值的变化。假设债券市场和股票市场允许买空卖空。第12页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六当任意时刻股票价格现值变化的期望值等于零时，即，为鞅过程，这时，市场没有套利机会。当时，股票的利润比国债高，投资者纷纷抛售国债，投资股票，国债的价格越来越低，而股票的价格越来越高，直到套利机会消失为止。当时，股票的利润比国债低，投资者纷纷抛售股票，投资国债，国债的价格越来越高，而股票的价格越来越低，直到套利机会消失为止。由此可见，在套利者的作用下，市场中的套利机会很少，一旦出现，套利者就会蜂拥而至，套利机会立即就会消失。由此可见，套利者的作用并不是一无是处，对金融市场有纠偏的作用。第13页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六在方程（16-13）中，包括两项，第一项为非随机项，期望值不等于零，第二项为随机项，期望值为零。如果漂移率，则，，这时，市场存在套利机会。根据CMG测度变换定理，为了把股票价格现值过程变为鞅过程，令（16-14）则或（16-15）第14页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六把公式（16-15）代入公式（16-13），得到鞅过程：（16-16）其中：为测度下的布朗运动，；为测度下的布朗运动，。在方程（16-16）中，因为，则为测度下鞅过程，这时，市场没有套利机会。利用伊滕定理，可以猜出随机微分方程（16-16）的解：

（16-17）推导过程如下：令第15页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六令伊滕公式的一般形式为：因为第16页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六分别把上述公式代入伊滕公式，可以求出随机过程（16-17）的随机微分方程（16-16）。用随机过程（16-17）表示股票价格的现值，没有套利机会。根据模型（16-17），可以反推出股票t时刻的价格过程：即（16-18）用随机过程（16-18）表示t时刻股票的价格没有套利机会。而方程（16-5）则有套利机会。因此，方程（16-18）将作为建立美式股票期权定价模型的基础。第17页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六16.4美式看涨期权定价模型

欧式看涨期权只有在到期日才能执行。期权的执行价格在签署期权和约时就已经确定，因此，股票的到期价格决定期权到期时的价值。另外，看涨期权的买方支付期权费后，就获得了一项权利，买方有权执行期权，也有权不执行期权，因此，期权的价值总是大于零。每股看涨期权在执行日的价值可以表示为：（16-19）其中：为期权的到期时间，年；为股票的到期价格，元/股；为期权的执行价格，元/股；求测度下的期望值运算符。第18页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六

式（16-19）是期权在执行时的价值，而看涨期权的买方在签署和约时支付期权费，因此必须对式（16-19）贴现后才能得到每股欧式看涨期权的当前价值：（16-20）其中：为期限为的无风险零利率；为折现因子。对于美式期权，投资者可以在到期日之前任何时刻执行。假设美式期权的投资者，买入美式期权后立即执行，投资者可以把投资收益购买国债获得无风险收益。因此，美式期权应该是欧式期权的倍。（16-21）第19页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六如果投资者购买股票看涨期权后，股票价格波动很大，立即执行看涨期权对投资者有利，投资者就可能立即执行看涨期权。这时美式看涨期权的执行时间为零。美式看涨期权的当前价值为：（16-22）根据公式（16-18），我们知道，在到期日股票的价格为：（16-23）把式（16-23）代入式（16-22），则得到美式期权的当前价值：（16-24）第20页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六因为维纳过程的数学表达式为：其中：

为标准正态分布变量,。因为期权的价值又必须大于零，因此从中得到随机变量

的取值范围：第21页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六对公式（16-24）求数学期望，就得到期权的当前价值：（16-25）或者（16-26）因为式（16-26）可以写成

(16-27)第22页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六令

(16-28)交换积分上下限，并改变积分上下限的符号。

(16-29)可以把式(16-29)简写成式（16-30）（16-30）第23页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六令,，则（16-30）式变成式（16-31）（16-31）其中同理，我们可以得到欧式看涨期权定价模型。（16-32）第24页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六例题16-1美式看涨期权定价

假设股票的当前价格为20元，期权的执行价格为20元，期权的期限为6个月，无风险年利率为5%，股票的年波动率为20%。求美式看涨期权的价值。解：因为

第25页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六美式看涨期权的当前价值为：该股票美式看涨期权当前的价值为1.46元/股。第26页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六欧式看涨期权的当前价值为：该股票欧式看涨期权当前的价值为1.43元/股。因为美式期权又灵活的执行时间，因此，美式期权的价值大于欧式期权的价值。第27页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六16.5美式看跌期权定价模型如果投资者预测股票的价格将会下跌，为了保值或投机，买入看跌期权。欧式看跌期权在到期日执行。期权的执行价格在签署期权和约时就已经确定，因此，股票的到期价格决定看跌期权到期时的价值。另外，看跌期权的买方支付期权费后，就获得了一项权利，当看跌期权的价值大于零时就执行期权，否则就不执行期权，因此，期权的价值总是大于零。在到期日每股看跌期权的价值为：（16-33）看跌期权的买方在签署和约时支付期权费，因此必须对公式（16-33）贴现后才能得到每股欧式看跌期权的当前价值为：（16-34）第28页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六投资者购买美式股票看跌期权后，如果股票价格急剧下跌，投资者可以立即执行期权，获得的收益可以购买国债，获得无风险。这时，美式看跌期权的当前价值为：（16-35）把式（16-23）代入式（16-35），则得到看跌期权的当前价值：（16-36）把维纳过程，，代入（16-36），而且期权的价值又必须大于零，因此第29页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六从中得到随机变量的取值范围：对公式（16-36）求数学期望，就得到美式看跌期权的当前价值为：（16-37）为了方便积分，我们把式（16-37）分成两项（16-38）第30页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六在式（16-38）中，第一项就是标准正态密度函数积分。为了方便积分，我们可以变换第二项的指数形式：（16-39）（16-40）在（16-40）中，令，得：（16-41）第31页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六在式（16-41）中，第二项又变成标准正态密度函数的积分，我们可以把它写成如下形式：（16-42）在式（16-42）中，令，，则美式看跌期权的当前价值可以表示为：（16-43）第32页，共39页，2022年，5月20日，10点28分，星期六其中：（16-43）同理，我们可以得到欧式看跌期权定价模型。（16-44）下面举例说明美式看跌期权定价模型的用