人教版九年级数学上册第二十四章圆全章总复习及知识梳理课件

全章总复习及知识梳理人教版九年级数学上册第二十四章圆全章总复习及知识梳理人教版九年级数学上册第二十四章圆1知识框架第二十四章圆特殊平行四边形基本性质菱形直线与圆的位置关系点与圆的位置关系正多边形与圆弧长与扇形面积知识框架第二十四章圆特殊平行四边形基本性质菱形直线与圆的点2第二十四章圆圆弧弦有关概念确定圆的要素弦与直径的关系优弧、劣弧的表示圆心半径第二十四章圆圆弧弦有关概念确定圆的要素弦与直径的关系优弧3第二十四章圆三角形的外接圆点与圆的位置关系不在同一条直线上的三个点确定一个圆反证法三角形外心的位置三种类型第二十四章圆三角形的外接圆点与圆的位置关系不在同一条直线上4第二十四章圆对称性垂径定理及其推论(注意推论中“不是直径的弦”的条件)基本性质圆周角定理及其推论弧、弦、圆心角关系定理及其推论旋转对称、中心对称、轴对称前提条件：在同圆或等圆中第二十四章圆对称性垂径定理及其推论(注意推论中“不是直径基5第二十四章圆等分圆周正多边形与圆有关计算第二十四章圆等分圆周正多边形与圆有关计算6第二十四章圆位置关系切线的性质切线的判定直线与圆的位置关系切线的作用第二十四章圆位置关系切线的性质切线的判定直线与圆的位置关系7第二十四章圆位置关系第二十四章圆位置关系8第二十四章圆切线的性质与圆有唯一公共点d=r垂直于半径第二十四章圆切线的性质与圆有唯一公共点d=r垂直于半径9第二十四章圆切线的判定与圆有唯一公共点经过半径的外端,且垂直于这条半径d=r第二十四章圆切线的判定与圆有唯一公共点经过半径的外端,且垂10第二十四章圆切线的作用切线长的概念三角形的内切圆切线长定理第二十四章圆切线的作用切线长的概念三角形的内切圆切线长定理11专题一利用圆周角与圆心角进行推理计算

第二十四章圆【要点指导】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,在解有关圆的问题时常常借助这个定理进行角度转化.归纳整合专题一利用圆周角与圆心角进行推理计算第二十四章圆【要点12第二十四章圆例1如图24-Z-1,某珠宝店有一圆形货柜,为了增加珠宝的光彩,在其圆形边缘上的点A处安装了一台小灯,它所发出的光线形成的最大张角是65°.为了使整个货柜里的珠宝都能被灯光照射到,最少需在圆形边缘上安装这样的小灯(

)．A．3台B．4台C．5台D．6台A第二十四章圆例1如图24-Z-1,某珠宝店有一圆形13第二十四章圆分析∵∠A=65°,∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°.∵360°÷130°≈2.8,∴至少要安装3台这样的小灯.故选A.第二十四章圆分析∵∠A=65°,14第二十四章圆相关题1如图24-Z-2,B,C是⊙A上的两点,AB的垂直平分线与⊙A交于E,F两点,与线段AC交于点D．若∠BFC=20°,则∠DBC的度数为(

).A．30°B．29°C．28°D．20°A

第二十四章圆相关题1如图24-Z-2,B,C是⊙A15第二十四章圆解析

∵∠BFC＝20°，∴∠BAC＝2∠BFC＝40°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－40°)÷2＝70°.又EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.第二十四章圆解析∵∠BFC＝20°，∴∠BAC＝2∠B16专题二利用垂径定理进行计算

第二十四章圆【要点指导】垂径定理是解决线段相等、垂直关系等问题的重要依据．由半径、弦长的一半和圆心到弦的垂线段可组成直角三角形的三边,在此直角三角形中,利用勾股定理可求半径、弦长、弦心距等.专题二利用垂径定理进行计算第二十四章圆【要点指导】垂径17第二十四章圆例2如图24-Z-3,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的半径为(

).A．10B．8C．5D．2C第二十四章圆例2如图24-Z-3,⊙O的弦AB=8,18第二十四章圆分析第二十四章圆分析19第二十四章圆相关题2如图24-Z-4,已知AB是⊙O的直径,且AB=12.弦CD⊥AB于点M,且M是半径OB的中点,则弦CD的长是______(结果保留根号).第二十四章圆相关题2如图24-Z-4,已知AB是⊙O的20第二十四章圆第二十四章圆21专题三切线的判定和性质的综合应用第二十四章圆【要点指导】(1)证明切线时通常运用下面两种方法：①当已知直线和圆有公共点时,通常可作出经过该点的半径,然后证明这条半径和直线垂直；②当未明确说明已知直线和圆有公共点时,通常过圆心作这条直线的垂线段,然后证明这条垂线段的长等于半径.(2)运用切线的性质时常“作过切点的半径”解决问题.专题三切线的判定和性质的综合应用第二十四章圆【要点指22第二十四章圆例3如图24-Z-5,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,E为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2,DF=4,求⊙O的直径．第二十四章圆例3如图24-Z-5,在Rt△ACB中,23第二十四章圆分析第二十四章圆分析24第二十四章圆解

(1)证明：如图24-Z-6,连接OD,CD.∵AC为⊙O的直径,∴△BCD是直角三角形.∵E为BC的中点,∴BE=CE=DE,∴∠CDE=∠DCE.∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∵∠ACB=90°,∴∠OCD+∠DCE=90°,∴∠ODC+∠CDE=90°,即OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线.第二十四章圆解(1)证明：如图24-Z-6,连接OD25第二十四章圆(2)设⊙O的半径为r.∵∠ODF=90°,∴OD2+DF2=OF2,即r2+42=(r+2)2解得r=3,∴⊙O的直径为6．第二十四章圆(2)设⊙O的半径为r.26第二十四章圆相关题3-1如图24-Z-7,直线l是⊙O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交⊙O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为(

).A．5B．6C．7D．8D第二十四章圆相关题3-1如图24-Z-7,直线l是27第二十四章圆相关题3-2如图24-Z-8,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C,D为AP的中点,连AC．求证：(1)∠P=∠BAC；(2)直线CD是⊙O的切线.第二十四章圆相关题3-2如图24-Z-8,AB是⊙O的直28第二十四章圆证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACP＝90°，∴∠P＋∠CAP＝90°.∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°，即∠CAP＋∠BAC＝90°，∴∠P＝∠BAC.(2)连接OC.∵CD是Rt△PAC的斜边上的中线，∴CD＝AD，∴∠DCA＝∠DAC.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．第二十四章圆证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝929专题四正多边形的相关计算第二十四章圆【要点指导】在进行正n边形的相关计算时,通常利用正n边形的半径和边心距将正n边形的问题转化为直角三角形的问题解决.专题四正多边形的相关计算第二十四章圆【要点指导】在进行30第二十四章圆例4如图24-Z-9,正方形ABCD内接于⊙O,其边长为4,则⊙O的内接正三角形EFG的边长为________．第二十四章圆例4如图24-Z-9,正方形ABCD内接31第二十四章圆第二十四章圆32第二十四章圆相关题4如图24-Z-11,在边长为a的正六边形内有两个小三角形,相关数据如图所示.若图中阴影部分的面积为S1,两个空白三角形的面积和为S2.则S2/S1的值为(

).A．3

B．4C．5

D．6C第二十四章圆相关题4如图24-Z-11,在边长为a的33第二十四章圆第二十四章圆34专题五弧长与扇形面积的计算【要点指导】应用弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积公式及它们变形后的公式,可以求出扇形的弧长、圆心角、半径、面积等.第二十四章圆专题五弧长与扇形面积的计算【要点指导】应用弧长公式、扇35

1第二十四章圆例5在半径为的圆中,45°的圆心角所对的弧长等于____.分析将已知数据代入弧长公式,得1第二十四章圆例5在半径为的圆中,45°的圆36相关题5已知扇形的圆心角为150°,它所对的弧长为20πcm,则此扇形的半径是______cm,面积是_______cm2(结果保留π).第二十四章圆24

240π相关题5已知扇形的圆心角为150°,它所对的弧长为20π37专题六圆与一次函数、直角三角形等的综合应用【要点指导】一次函数与圆的综合问题是中考的热点,解答这些问题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化思想及方程思想等.第二十四章圆专题六圆与一次函数、直角三角形等的综合应用【要点指导】一38例6已知：如图24-Z-12所示,点D的坐标(0,1),⊙D交y轴于点A,B,交x轴负半轴于点C,过点C的直线y=-2x-8与y轴交于点P.(1)试判断直线PC与⊙D的位置关系.(2)判断直线PC上是否存在点E,使得S三角形EOP=4S三角形CDO

？若存在,求出点E的坐标；若不存在,请说明理由.

第二十四章圆例6已知：如图24-Z-12所示,点D的坐标(0,1),39第二十四章圆分析第二十四章圆分析40第二十四章圆第二十四章圆41相关题6如图24-Z-13,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,-2),以点A为圆心,AO为半径画圆,直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点B,C,E是x轴上的一个动点.(1)求B,C两点的坐标；(2)直线CE与⊙A有哪几种位置关系？第二十四章圆相关题6如图24-Z-13,在平面直角坐标系中,点A的42第二十四章圆解：(1)在直线y＝－x＋4中，令y＝0，则x＝4，∴点B的坐标为(4，0)．令x＝0，则y＝4，∴点C的坐标为(0，4)．(2)直线CE与⊙A有相离、相切、相交三种位置关系．第二十四章圆解：(1)在直线y＝－x＋4中，43素养提升专题一方程思想在圆中的应用【要点指导】在圆中,如果同类量(如角的度数、线段的长度等)较多,且它们之间具有某种等量关系时,那么可以通过列方程来解答．在圆中,常用勾股定理列方程．第二十四章圆素养提升专题一方程思想在圆中的应用【要点指导】在圆中,44例1如图24-Z-14,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上,AP=2.若⊙O的圆心在线段BP上,且⊙O与AB,AC都相切,切点分别为E,D.求⊙O的半径.第二十四章圆例1如图24-Z-14,在△ABC中,∠C=90°,45第二十四章圆第二十四章圆46相关题1如图24-Z-16,AB是⊙O的直径,BC是弦,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,DE⊥BC,交BC的延长线于点E,BD交AC于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CE=1,DE=2,求⊙O的半径.第二十四章圆相关题1如图24-Z-16,AB是⊙O的直径,BC是弦,47第二十四章圆第二十四章圆48专题二分类讨论思想【要点指导】分类讨论思想主要是针对数学问题的共性和差异性将其分为不同种类,从而克服思维的片面性,防止漏解的一种思想方法.在圆中,如果不给出图形,而满足条件的图形又具有多样性和变通性,那么解题时一般根据不同图形或图形的位置不同,分别求解和证明.第二十四章圆专题二分类讨论思想【要点指导】分类讨论思想主要是针对数学49例2已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,点O到BC的距离为2cm,求AB的长.第二十四章圆分析例2已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等50第二十四章圆解如果△ABC是锐角三角形,如图24-Z-17.连接AO并延长交BC于点D,连接OB.∵AB=AC,∴AD⊥BC且BD=CD.又∵OD=2cm,OB=6cm,第二十四章圆解如果△ABC是锐角三角形,如图24-Z51第二十四章圆第二十四章圆52相关题2-1若圆的弦长恰好等于该圆的半径,则这条弦所对的圆周角是_________.第二十四章圆30°或150°解析

如图，设AB＝OA＝OB，弦AB所对的圆周角可能为∠AMB或∠ANB.∵AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°，∴∠AMB＝30°，∠ANB＝150°.综上可知，这条弦所对的圆周角是30°或150°.相关题2-1若圆的弦长恰好等于该圆的半径,则这条弦所对的53相关题2-2弦AB把⊙O的圆周分成1∶2的两部分,则弦AB所对的圆周角的度数是__________.第二十四章圆60°或120°相关题2-2弦AB把⊙O的圆周分成1∶2的两部分,则弦A54相关题2-3已知⊙O的半径为1,AB,AC是⊙O的弦,AB=3,AC=2,则∠BAC的度数为__________.第二十四章圆75°或15°相关题2-3已知⊙O的半径为1,AB,AC是⊙O的弦,55母题1垂径定理(教材P83练习第1题)如图24-Z-19,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径.第二十四章圆中考链接母题1垂径定理(教材P83练习第1题)第二十四章圆中考链56考点：垂径定理及其推论.考情：利用垂径定理求圆的半径、弦心距、弦长是中考的重要考点,考查形式以填空题或选择题为主,但在解答题中也经常用到.策略：添加辅助线构造直角三角形,然后利用勾股定理求解.第二十四章圆考点：垂径定理及其推论.第二十四章圆57链接1[六盘水中考]当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆的两个交点处的读数如图24-Z-20所示(单位：cm),那么该圆的半径为______cm.第二十四章圆链接1[六盘水中考]当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时58第二十四章圆第二十四章圆59母题2圆周角定理及其推论(教材P89习24.1第5题)如图24-Z-21,⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=50°.求∠ADC的度数.第二十四章圆母题2圆周角定理及其推论(教材P89习24.1第5题)第二60考点：圆周角定理及其推论.考情：利用圆周角定理及其推论进行角度计算是中考的重要考点.策略：利用转化思想把相关的圆周角、圆心角进行转化.第二十四章圆考点：圆周角定理及其推论.第二十四章圆61链接2[扬州中考]如图24-Z-22,⊙O的弦CD与直径AB相交.若∠BAD=50°,则∠ACD=______°.40第二十四章圆链接2[扬州中考]如图24-Z-22,⊙O的弦CD与直径62解∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠BAD=50°,∴∠B=40°,∴∠ACD=∠B=40°.第二十四章圆解∵AB是⊙O的直径,第二十四章圆63母题3点和圆的位置关系(教材P101习题24.2第1题)⊙O的半径为10cm,根据下列点P到圆心O的距离,判断点P和⊙O的位置关系：(1)8cm；(2)10cm；(3)12cm.第二十四章圆母题3点和圆的位置关系(教材P101习题24.2第1题)第64考点：点和圆的位置关系.考情：点和圆的位置关系在中考中一般以填空题和选择题的形式出现.策略：利用d与r的大小关系进行推理判断.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：点P在⊙O内d<r；点P在⊙O上d=r；点P在⊙O外d>r.第二十四章圆考点：点和圆的位置关系.第二十四章圆65链接3[娄底中考]若⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为4cm,则点A与⊙O的位置关系是(

).A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．不能确定C第二十四章圆链接3[娄底中考]若⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的66分析

第二十四章圆分析第二十四章圆67母题4直线和圆的位置关系(教材P101习题24.2第2题)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,判断以点C为圆心,下列r为半径的⊙C与AB的位置关系：(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm.第二十四章圆母题4直线和圆的位置关系(教材P101习题24.2第2题)68考点：直线和圆的位置关系.考情：判断直线和圆的位置关系是中考中常见的考点,多以填空题和选择题的形式出现.策略：利用d(圆心到直线的距离)与r(圆的半径)的大小关系进行推理判断.第二十四章圆考点：直线和圆的位置关系.第二十四章圆69链接5[杭州中考]在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆(

).A．与x轴相交,与y轴相切B．与x轴相离,与y轴相交C．与x轴相切,与y轴相交D．与x轴相切,与y轴相离C第二十四章圆链接5[杭州中考]在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,70分析第二十四章圆分析第二十四章圆71母题5切线的性质(教材P102习题24.2第12题)如图24-Z-23,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证：AC平分∠DAB.第二十四章圆母题5切线的性质(教材P102习题24.2第12题)第二十72考点：切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.考情：切线的性质是中考中重要的考点.策略：过切点的半径是解答此类问题常作的辅助线.第二十四章圆考点：切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.第二十四章圆73B第二十四章圆链接5

[台州中考]如图24-Z-24,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的长的最小值是(

).B第二十四章圆链接5[台州中考]如图24-Z-24,⊙74第二十四章圆分析∵PQ是⊙O的切线,∴△OPQ是直角三角形.又∵OQ的长为定值,∴当OP的长最小时,PQ的长最小.根据垂线段最短,知OP=3时PQ的长最小.在Rt△OPQ中,PQ=第二十四章圆分析∵PQ是⊙O的切线,∴△OPQ是直角75母题6切线的判定(教材P98例1)如图24-Z-25,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.第二十四章圆母题6切线的判定(教材P98例1)第二十四章圆76考点：切线的证明方法：(1)经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)利用d=r(d是圆心到直线的距离,r是圆的半径)证明.考情：切线的证明是中考中重要的考点,常以解答题的形式出现.策略：作半径,证垂直或作垂直,证半径.第二十四章圆考点：切线的证明方法：(1)经过半径外端并且垂直于这条半径的77链接6[铜仁中考]如图24-Z-26,AB是⊙O的直径,AF是⊙O的切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F,CD=43,BE=2.求证：(1)四边形FADC是菱形；(2)FC是⊙O的切线.第二十四章圆链接6[铜仁中考]如图24-Z-26,AB是⊙O的直径78第二十四章圆证明

(1)如图24-Z-26,连接OC.∵AF是⊙O的切线,∴AF⊥AB.又∵CD⊥AB,∴AF∥CD.∵CF∥AD,∴四边形FADC是平行四边形.由垂径定理,得CE=DE=设⊙O的半径为R,则OC=R,OE=OB-BE=R-2.在Rt△ECO中,由勾股定理,得R2=(R-2)2+解得R=4,∴AD=CD,∴平行四边形FADC是菱形.

第二十四章圆证明(1)如图24-Z-26,连接OC.79第二十四章圆(2)如图24-Z-26,连接OF.由(1)得FC=FA.又∵OC=OA,OF=OF,∴△FCO≌△FAO,∴∠FCO=∠FAO=90°,即OC⊥CF.∵OC是⊙O的半径,∴FC是⊙O的切线.第二十四章圆(2)如图24-Z-26,连接OF.由(180母题7正多边形和圆的有关计算(教材P108习题24.3第5题)如图24-Z-27,要拧开一个边长a=12mm的六角形螺帽,扳手张开的开口b至少要多少？第二十四章圆母题7正多边形和圆的有关计算(教材P108习题24.3第581考点：正多边形和圆．考情：求正多边形的中心角、边长、边心距、半径、周长及面积,常以选择题、填空题的形式出现.策略：通常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半将正多边形的问题转化为直角三角形的问题解决.第二十四章圆考点：正多边形和圆．第二十四章圆82A第二十四章圆链接7

[滨州中考]若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为(

).A第二十四章圆链接7[滨州中考]若正方形的外接圆半径为83第二十四章圆分析如图24-Z-28所示,连接OA,OE.∵AB是小圆的切线,∴OE⊥AB.∵四边形ABCD是正方形,∴AE=OE,∴△AOE是等腰直角三角形,∴OE=第二十四章圆分析如图24-Z-28所示,连接OA,OE84母题8弧长与扇形面积的计算(教材P114练习第1题)圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm.求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积.第二十四章圆母题8弧长与扇形面积的计算(教材P114练习第1题)第二85考点：弧长公式l=(nπR)\180,扇形的面积公式S=(nπR2)\360=lR\2,其中n°为扇形的圆心角的度数,R为半径.考情：弧长与扇形的面积公式是重要的考点,常以填空题、选择题的形式出现,求不规则图形的面积也是常见的考题.策略：解答与圆锥有关的计算问题,要注意圆锥的侧面与其展开图(扇形)的对应关系,即圆锥的侧面积对应扇形的面积；圆锥的母线对应扇形的半径；圆锥底面圆的周长对应扇形的弧长．第二十四章圆考点：弧长公式l=(nπR)\180,扇形的面积公式S86若一个圆锥的底面圆半径为2,母线长为6,则该圆锥侧面展开图的圆心角是_____.第二十四章圆120°若一个圆锥的底面圆半径为2,母线长为6,则该圆锥侧面展开图87分析第二十四章圆分析第二十四章圆88全章总复习及知识梳理人教版九年级数学上册第二十四章圆全章总复习及知识梳理人教版九年级数学上册第二十四章圆89知识框架第二十四章圆特殊平行四边形基本性质菱形直线与圆的位置关系点与圆的位置关系正多边形与圆弧长与扇形面积知识框架第二十四章圆特殊平行四边形基本性质菱形直线与圆的点90第二十四章圆圆弧弦有关概念确定圆的要素弦与直径的关系优弧、劣弧的表示圆心半径第二十四章圆圆弧弦有关概念确定圆的要素弦与直径的关系优弧91第二十四章圆三角形的外接圆点与圆的位置关系不在同一条直线上的三个点确定一个圆反证法三角形外心的位置三种类型第二十四章圆三角形的外接圆点与圆的位置关系不在同一条直线上92第二十四章圆对称性垂径定理及其推论(注意推论中“不是直径的弦”的条件)基本性质圆周角定理及其推论弧、弦、圆心角关系定理及其推论旋转对称、中心对称、轴对称前提条件：在同圆或等圆中第二十四章圆对称性垂径定理及其推论(注意推论中“不是直径基93第二十四章圆等分圆周正多边形与圆有关计算第二十四章圆等分圆周正多边形与圆有关计算94第二十四章圆位置关系切线的性质切线的判定直线与圆的位置关系切线的作用第二十四章圆位置关系切线的性质切线的判定直线与圆的位置关系95第二十四章圆位置关系第二十四章圆位置关系96第二十四章圆切线的性质与圆有唯一公共点d=r垂直于半径第二十四章圆切线的性质与圆有唯一公共点d=r垂直于半径97第二十四章圆切线的判定与圆有唯一公共点经过半径的外端,且垂直于这条半径d=r第二十四章圆切线的判定与圆有唯一公共点经过半径的外端,且垂98第二十四章圆切线的作用切线长的概念三角形的内切圆切线长定理第二十四章圆切线的作用切线长的概念三角形的内切圆切线长定理99专题一利用圆周角与圆心角进行推理计算

第二十四章圆【要点指导】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,在解有关圆的问题时常常借助这个定理进行角度转化.归纳整合专题一利用圆周角与圆心角进行推理计算第二十四章圆【要点100第二十四章圆例1如图24-Z-1,某珠宝店有一圆形货柜,为了增加珠宝的光彩,在其圆形边缘上的点A处安装了一台小灯,它所发出的光线形成的最大张角是65°.为了使整个货柜里的珠宝都能被灯光照射到,最少需在圆形边缘上安装这样的小灯(

)．A．3台B．4台C．5台D．6台A第二十四章圆例1如图24-Z-1,某珠宝店有一圆形101第二十四章圆分析∵∠A=65°,∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°.∵360°÷130°≈2.8,∴至少要安装3台这样的小灯.故选A.第二十四章圆分析∵∠A=65°,102第二十四章圆相关题1如图24-Z-2,B,C是⊙A上的两点,AB的垂直平分线与⊙A交于E,F两点,与线段AC交于点D．若∠BFC=20°,则∠DBC的度数为(

).A．30°B．29°C．28°D．20°A

第二十四章圆相关题1如图24-Z-2,B,C是⊙A103第二十四章圆解析

∵∠BFC＝20°，∴∠BAC＝2∠BFC＝40°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－40°)÷2＝70°.又EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.第二十四章圆解析∵∠BFC＝20°，∴∠BAC＝2∠B104专题二利用垂径定理进行计算

第二十四章圆【要点指导】垂径定理是解决线段相等、垂直关系等问题的重要依据．由半径、弦长的一半和圆心到弦的垂线段可组成直角三角形的三边,在此直角三角形中,利用勾股定理可求半径、弦长、弦心距等.专题二利用垂径定理进行计算第二十四章圆【要点指导】垂径105第二十四章圆例2如图24-Z-3,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的半径为(

).A．10B．8C．5D．2C第二十四章圆例2如图24-Z-3,⊙O的弦AB=8,106第二十四章圆分析第二十四章圆分析107第二十四章圆相关题2如图24-Z-4,已知AB是⊙O的直径,且AB=12.弦CD⊥AB于点M,且M是半径OB的中点,则弦CD的长是______(结果保留根号).第二十四章圆相关题2如图24-Z-4,已知AB是⊙O的108第二十四章圆第二十四章圆109专题三切线的判定和性质的综合应用第二十四章圆【要点指导】(1)证明切线时通常运用下面两种方法：①当已知直线和圆有公共点时,通常可作出经过该点的半径,然后证明这条半径和直线垂直；②当未明确说明已知直线和圆有公共点时,通常过圆心作这条直线的垂线段,然后证明这条垂线段的长等于半径.(2)运用切线的性质时常“作过切点的半径”解决问题.专题三切线的判定和性质的综合应用第二十四章圆【要点指110第二十四章圆例3如图24-Z-5,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,E为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2,DF=4,求⊙O的直径．第二十四章圆例3如图24-Z-5,在Rt△ACB中,111第二十四章圆分析第二十四章圆分析112第二十四章圆解

(1)证明：如图24-Z-6,连接OD,CD.∵AC为⊙O的直径,∴△BCD是直角三角形.∵E为BC的中点,∴BE=CE=DE,∴∠CDE=∠DCE.∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∵∠ACB=90°,∴∠OCD+∠DCE=90°,∴∠ODC+∠CDE=90°,即OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线.第二十四章圆解(1)证明：如图24-Z-6,连接OD113第二十四章圆(2)设⊙O的半径为r.∵∠ODF=90°,∴OD2+DF2=OF2,即r2+42=(r+2)2解得r=3,∴⊙O的直径为6．第二十四章圆(2)设⊙O的半径为r.114第二十四章圆相关题3-1如图24-Z-7,直线l是⊙O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交⊙O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为(

).A．5B．6C．7D．8D第二十四章圆相关题3-1如图24-Z-7,直线l是115第二十四章圆相关题3-2如图24-Z-8,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C,D为AP的中点,连AC．求证：(1)∠P=∠BAC；(2)直线CD是⊙O的切线.第二十四章圆相关题3-2如图24-Z-8,AB是⊙O的直116第二十四章圆证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACP＝90°，∴∠P＋∠CAP＝90°.∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°，即∠CAP＋∠BAC＝90°，∴∠P＝∠BAC.(2)连接OC.∵CD是Rt△PAC的斜边上的中线，∴CD＝AD，∴∠DCA＝∠DAC.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．第二十四章圆证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝9117专题四正多边形的相关计算第二十四章圆【要点指导】在进行正n边形的相关计算时,通常利用正n边形的半径和边心距将正n边形的问题转化为直角三角形的问题解决.专题四正多边形的相关计算第二十四章圆【要点指导】在进行118第二十四章圆例4如图24-Z-9,正方形ABCD内接于⊙O,其边长为4,则⊙O的内接正三角形EFG的边长为________．第二十四章圆例4如图24-Z-9,正方形ABCD内接119第二十四章圆第二十四章圆120第二十四章圆相关题4如图24-Z-11,在边长为a的正六边形内有两个小三角形,相关数据如图所示.若图中阴影部分的面积为S1,两个空白三角形的面积和为S2.则S2/S1的值为(

).A．3

B．4C．5

D．6C第二十四章圆相关题4如图24-Z-11,在边长为a的121第二十四章圆第二十四章圆122专题五弧长与扇形面积的计算【要点指导】应用弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积公式及它们变形后的公式,可以求出扇形的弧长、圆心角、半径、面积等.第二十四章圆专题五弧长与扇形面积的计算【要点指导】应用弧长公式、扇123

1第二十四章圆例5在半径为的圆中,45°的圆心角所对的弧长等于____.分析将已知数据代入弧长公式,得1第二十四章圆例5在半径为的圆中,45°的圆124相关题5已知扇形的圆心角为150°,它所对的弧长为20πcm,则此扇形的半径是______cm,面积是_______cm2(结果保留π).第二十四章圆24

240π相关题5已知扇形的圆心角为150°,它所对的弧长为20π125专题六圆与一次函数、直角三角形等的综合应用【要点指导】一次函数与圆的综合问题是中考的热点,解答这些问题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化思想及方程思想等.第二十四章圆专题六圆与一次函数、直角三角形等的综合应用【要点指导】一126例6已知：如图24-Z-12所示,点D的坐标(0,1),⊙D交y轴于点A,B,交x轴负半轴于点C,过点C的直线y=-2x-8与y轴交于点P.(1)试判断直线PC与⊙D的位置关系.(2)判断直线PC上是否存在点E,使得S三角形EOP=4S三角形CDO

？若存在,求出点E的坐标；若不存在,请说明理由.

第二十四章圆例6已知：如图24-Z-12所示,点D的坐标(0,1),127第二十四章圆分析第二十四章圆分析128第二十四章圆第二十四章圆129相关题6如图24-Z-13,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,-2),以点A为圆心,AO为半径画圆,直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点B,C,E是x轴上的一个动点.(1)求B,C两点的坐标；(2)直线CE与⊙A有哪几种位置关系？第二十四章圆相关题6如图24-Z-13,在平面直角坐标系中,点A的130第二十四章圆解：(1)在直线y＝－x＋4中，令y＝0，则x＝4，∴点B的坐标为(4，0)．令x＝0，则y＝4，∴点C的坐标为(0，4)．(2)直线CE与⊙A有相离、相切、相交三种位置关系．第二十四章圆解：(1)在直线y＝－x＋4中，131素养提升专题一方程思想在圆中的应用【要点指导】在圆中,如果同类量(如角的度数、线段的长度等)较多,且它们之间具有某种等量关系时,那么可以通过列方程来解答．在圆中,常用勾股定理列方程．第二十四章圆素养提升专题一方程思想在圆中的应用【要点指导】在圆中,132例1如图24-Z-14,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上,AP=2.若⊙O的圆心在线段BP上,且⊙O与AB,AC都相切,切点分别为E,D.求⊙O的半径.第二十四章圆例1如图24-Z-14,在△ABC中,∠C=90°,133第二十四章圆第二十四章圆134相关题1如图24-Z-16,AB是⊙O的直径,BC是弦,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,DE⊥BC,交BC的延长线于点E,BD交AC于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CE=1,DE=2,求⊙O的半径.第二十四章圆相关题1如图24-Z-16,AB是⊙O的直径,BC是弦,135第二十四章圆第二十四章圆136专题二分类讨论思想【要点指导】分类讨论思想主要是针对数学问题的共性和差异性将其分为不同种类,从而克服思维的片面性,防止漏解的一种思想方法.在圆中,如果不给出图形,而满足条件的图形又具有多样性和变通性,那么解题时一般根据不同图形或图形的位置不同,分别求解和证明.第二十四章圆专题二分类讨论思想【要点指导】分类讨论思想主要是针对数学137例2已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,点O到BC的距离为2cm,求AB的长.第二十四章圆分析例2已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等138第二十四章圆解如果△ABC是锐角三角形,如图24-Z-17.连接AO并延长交BC于点D,连接OB.∵AB=AC,∴AD⊥BC且BD=CD.又∵OD=2cm,OB=6cm,第二十四章圆解如果△ABC是锐角三角形,如图24-Z139第二十四章圆第二十四章圆140相关题2-1若圆的弦长恰好等于该圆的半径,则这条弦所对的圆周角是_________.第二十四章圆30°或150°解析

如图，设AB＝OA＝OB，弦AB所对的圆周角可能为∠AMB或∠ANB.∵AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°，∴∠AMB＝30°，∠ANB＝150°.综上可知，这条弦所对的圆周角是30°或150°.相关题2-1若圆的弦长恰好等于该圆的半径,则这条弦所对的141相关题2-2弦AB把⊙O的圆周分成1∶2的两部分,则弦AB所对的圆周角的度数是__________.第二十四章圆60°或120°相关题2-2弦AB把⊙O的圆周分成1∶2的两部分,则弦A142相关题2-3已知⊙O的半径为1,AB,AC是⊙O的弦,AB=3,AC=2,则∠BAC的度数为__________.第二十四章圆75°或15°相关题2-3已知⊙O的半径为1,AB,AC是⊙O的弦,143母题1垂径定理(教材P83练习第1题)如图24-Z-19,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径.第二十四章圆中考链接母题1垂径定理(教材P83练习第1题)第二十四章圆中考链144考点：垂径定理及其推论.考情：利用垂径定理求圆的半径、弦心距、弦长是中考的重要考点,考查形式以填空题或选择题为主,但在解答题中也经常用到.策略：添加辅助线构造直角三角形,然后利用勾股定理求解.第二十四章圆考点：垂径定理及其推论.第二十四章圆145链接1[六盘水中考]当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆的两个交点处的读数如图24-Z-20所示(单位：cm),那么该圆的半径为______cm.第二十四章圆链接1[六盘水中考]当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时146第二十四章圆第二十四章圆147母题2圆周角定理及其推论(教材P89习24.1第5题)如图24-Z-21,⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=50°.求∠ADC的度数.第二十四章圆母题2圆周角定理及其推论(教材P89习24.1第5题)第二148考点：圆周角定理及其推论.考情：利用圆周角定理及其推论进行角度计算是中考的重要考点.策略：利用转化思想把相关的圆周角、圆心角进行转化.第二十四章圆考点：圆周角定理及其推论.第二十四章圆149链接2[扬州中考]如图24-Z-22,⊙O的弦CD与直径AB相交.若∠BAD=50°,则∠ACD=______°.40第二十四章圆链接2[扬州中考]如图24-Z-22,⊙O的弦CD与直径150解∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠BAD=50°,∴∠B=40°,∴∠ACD=∠B=40°.第二十四章圆解∵AB是⊙O的直径,第二十四章圆151母题3点和圆的位置关系(教材P101习题24.2第1题)⊙O的半径为10cm,根据下列点P到圆心O的距离,判断点P和⊙O的位置关系：(1)8cm；(2)10cm；(3)12cm.第二十四章圆母题3点和圆的位置关系(教材P101习题24.2第1题)第152考点：点和圆的位置关系.考情：点和圆的位置关系在中考中一般以填空题和选择题的形式出现.策略：利用d与r的大小关系进行推理判断.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：点P在⊙O内d<r；点P在⊙O上d=r；点P在⊙O外d>r.第二十四章圆考点：点和圆的位置关系.第二十四章圆153链接3[娄底中考]若⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为4cm,则点A与⊙O的位置关系是(

).A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．不能确定C第二十四章圆链接3[娄底中考]若⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的154分析

第二十四章圆分析第二十四章圆155母题4直线和圆的位置关系(教材P101习题24.2第2题)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,判断以点C为圆心,下列r为半径的⊙C与AB的位置关系：(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm.第二十四章圆母题4直线和圆的位置关系(教材P101习题24.2第2题)156考点：直线和圆的位置关系.考情：判断直线和圆的位置关系是中考中常见的考点,多以填空题和选择题的形式出现.策略：利用d(圆心到直线的距离)与r(圆的半径)的大小关系进行推理判断.第二十四章圆考点：直线和圆的位置关系.第二十四章圆157链接5[杭州中考]在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆(

).A．与x轴相交,与y轴相切B．与x轴相离,与y轴相交C．与x轴相切,与y轴相交D．与x轴相切,与y轴相离C第二十四章圆链接5[杭州中考]在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,158分析第二十四章圆分析第二十四章圆159母题5切线的性质(教材P102习题24.2第12题)如图24-Z-23,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证：AC平分∠DAB.第二十四章圆母题5切线的性质(教材P102习题24.2第12题)第二十160考点：切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.考情：切线的性质是中考中重要的考点.策略：过切点的半径是解答此类问题常作的辅助线.第二十四章圆考点：切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.第二十四章圆161B第二十四章圆链接5

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