离散数学 第五六七讲 群环域

1、离散数学 第五六七讲 群环域1第1页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义2： 如果G是有限集合, 则称G, *是有限群; 如果G 是无限集合, 则称G, *是无限群。有限群G的 基数|G|称为群的阶数。 如 1, 是有限群，阶数为1； I, +是无限群。定义3：如果群G , * 中的运算* 是可交换的,则称 该群为可交换群, 或称阿贝尔群。 如 I, +是阿贝尔群。一、群的定义和性质2 *第2页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五例1：Q+, , 1 设A是任一集合, P表示A上的双射函数集合,”。” 表示函数合成，“-1”表示求逆运算， P, 。, -

2、1, IA N,max 代数Nk, +k, -1, 0 代数Nk, k一、群的定义和性质是Abel群是一个群, 通常这个群不是阿贝尔群。是群, 这里x-1 =k-x不是群, 因为0元素没有逆元 不是群。运算max和min一般地不能用作群的二元运 算, 因为如果载体多于一个元素, 逆运算不能定义。3 *第3页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五 群是半群和独异点的特定情况, 有关半群和独异点的性质在群中也成立, 群的性质还有：定理1: 如果G , *是一个群, 则对于任何a、bG, (a) 存在一个唯一的元素x, 使得a * x=b。 (b) 存在一个唯一的元素y, 使得y *

3、 a=b。证：(a) 至少有一个x满足a * x=b, 即x= a-1 * b, 因为 a * (a-1 * b)=(a * a-1) * b= e * b=b 如果x是G中满足a * x=b的任意元素, 则 x=e * x=(a-1 * a) * x = a-1 * (a * x) = a-1 * b 所以, x= a-1 * b是满足a * x=b的唯一元素。 (b) 同理可证。 一、群的定义和性质4 *第4页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理 2： 如果G, *是一个群, 则对于任何a、b、 cG,证： 因为群的每一元素都有逆元, 本定理显然成立。定理3：么元是群

4、中唯一等幂元素。证：如果x是等幂元素, 则 么元是群中唯一等幂元素。一、群的定义和性质5 *第5页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理4：群G , *的运算表中的每一行或每一列都是G中 元素的一个置换。 证：i)首先, 证明运算表中的行或列所含G的一个元素不可 能多于一次。（反证法） 如果对应于元素a的那一行中有两个元素都是k, 即a * b1=a * b2=k,根据定理2有b1=b2, 而b1b2,矛盾。 对于列也一样可以证明。 一、群的定义和性质6 *第6页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理4：群G , *的运算表中的每一行或每一列都是G中 元

5、素的一个置换。 证： ii)其次, 要证明G的每一个元素都在运算表的每一行 和每一列中出现。 考察对应于元素a的那一行,设b是G中的任一元素, 由于b=a * (a-1 * b), 所以b必定出现在对应于a的那一行中。 对于列也可同样证明。 一、群的定义和性质7 *第7页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理4：群G ,*的运算表中的每一行或每一列都是G中 元素的一个置换。 证： iii)最后, 因为G, *中含有么元, 所以没有两行 或两列是完全相同的。 综合以上结果便得出: 运算表中每一行都是G的元素的 一个置换, 并且每一行都是不同的置换。同样的结论适合 于列。证毕。

6、 定理5：群中没有零元。 一、群的定义和性质8 *第8页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理6: 如果G ,*是一个群, 则对于任何a、bG, (a * b)-1= b-1 * a-1证: 由于 (a * b) * (b-1 * a-1) = a * (b * b-1) * a-1 = a * a-1 = e 而这里逆元是唯一的, 所以(a * b) -1=b-1 * a-1。推论： 思考：一阶群、二阶群、三阶群各有几个？ 一、群的定义和性质9 *第9页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五 为了继续介绍群的性质, 我们首先定义群G, *的 任意元素a的幂

7、。 如果nN, 则 由以上定义可知, 对任意m、kI, am, ak都是有意义 的,另外群中结合律成立, 不难证明以下指数定律成立: (m、kI) (m、kI) 一、群的定义和性质10 *第10页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义4:设G ,*是一个群, 且aG, 如果存在正整数n使 an=e, 则称元素的阶是有限的, 最小的正整数n称为元 素a的阶。 如果不存在这样的正整数n, 则称元素a具 有无限阶。 如： 群的么元e的阶？ 群I,+中各元素的阶？一、群的定义和性质1么元0的阶为1，非零元素有无限阶。11 *第11页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星

8、期五定理7：如果群G , *的元素a拥有一个有限阶n, 则ak =e, 当且仅当k是n的倍数。证: 充分性： 设k、m、n是整数。如果k=mn, 则ak = amn = (an) m = e m = e 必要性： 假定ak =e, 且k=mn+t, 0tn, 于是 at = ak-mn = ak * a-mn = e *(an)-m = e *e-m =e 由定义可知, n是使an =e的最小正整数, 而0tn, 所以t=0, 得k=mn。证毕。这样, 如果an =e, 并且没有n的因子d(1dn)能使ad =e,则n是元素a的阶。例如, 如果a8 =e, 但a2 e, a4 e, 则8必定是

9、a的阶。 一、群的定义和性质12 *第12页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理8: 群中的任一元素和它的逆元具有同样的阶。证: 设aG具有有限阶n, 即an =e, 因此 (a-1)n = a-1n = (an)-1 = e-1= e 如果(a-1)的阶是m, 则mn。 另一方面 am = (a-1)m -1= e -1 = e 因而nm, 故m=n。 一、群的定义和性质13 *第13页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理9: 在有限群G , * 中, 每一个元素具有一有限阶, 且阶数至多是|G|。证: 设a是G , * 中任一元素。 在序列a,

10、a2 , a3, , a|G|+1中至少有两元素是相等的, 不妨设ar = as, 这里1sr|G|+1。 因为 ar-s = ar * a-s = ar * a-r = ar-r = a0 = e 所以, a的阶数至多是r-s|G|。 证毕。一、群的定义和性质14 *第14页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义5：给定n个元素组成的集合A, A上的置换所构成的群 称为n次置换群; A上所有置换构成的群称为n次对 称群。定义6：在群G, *中,如果存在一个元素gG, 对于每 一个元素aG都有一个相应的iI, 能把a表示成 gi形式,则称G , *是一个循环群，g是该循环

11、群的生成元。 例： I,+ A=0,1,2,3,A,+4定理10：每个循环群是可交换的。二、置换群和循环群是循环群，生成元为1，-1是循环群，生成元为1和315 *第15页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理11：设G, *是由gG生成的有限循环群, 如果 |G|=n,则gn =e,G = g, g2, g3, , gn = e 且n是使gn =e的最小正整数。证: (1)先证 n是使gn =e的最小正整数。 假定有正整数mn使 gm=e, 则对G中任一元素gk, 设k=mq+r, 0rm, 于是 gk = gmq+r = (gm)q * gr = e* gr = gr

12、这意味着G中每一元素都可写成gr形式, 但rm, 所以G中至多有m个不同元素, 这与|G|=n矛盾。 所以gm=e而mn是不可能的。 二、置换群和循环群16 *第16页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理11：设G, *是由gG生成的有限循环群, 如果 |G|=n,则gn =e,G = g, g2, g3, , gn = e 且n是使gn =e的最小正整数。证: (2) 再证g, g2, g3, , gn中的元素全不相同。 若有gi= gj, 不妨设ij, 于是gj-i=e。 但j-in, 这与n是使gn =e的最小正整数矛盾。 由于G , *是群, 所以G= g, g2

13、, g3, , gn, 又由(1)得gn =e。 证毕。 二、置换群和循环群17 *第17页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义7: 设G , *是一个群, S是G的非空子集, 并满足以 下条件: (1) 对任意a、bS有a * bS ; (2) 对任意aS有a-1 S; (3) eS, e是G ,*的么元, 则称S ,*是G ,*的子群。 如 I ,+是R ,+的子群， N ,+不是。 任意群G ,*均有两个平凡子群：e,*和G ,*。三、子群18 *第18页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理12：设G , *是个群, SG, 如果(1)若a、b

14、S, 则a * bS, (2)若aS, 则a-1 S。那么S , * 是G, *的子群。证： 对任意元素aS, 由(2)得a-1 S, 再由(1)得a * a-1 =eS。 所以, S , *是G , *的子群。 三、子群19 *第19页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理13：设G, *是一个有限群, 如果对任意元素a、 bS, 有a * bS, 那么S , *是G , * 的子群。证: 设a是S 的任一元素, 则aG, 根据定理“有限群中每一个元素有一有限阶”可知 a具有阶数r, 由于S 对运算*的封闭性, 所以a1, a2, , ar全在S中, 即 ar-1 = a

15、r * a-1 = e * a-1 = a-1 也在S中, 这就证明了若aS, 则a-1S。 根据上面定理12, 得出S, *是G , *的子群。三、子群20 *第20页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理14：设G, *是一个群, S是G的非空子集，如果对于 S中的任意元素a、b, 有a * b-1S, 那么S , * 是G , *的子群。证: (1)S 非空，存在aS, a * a-1 S , 又 a * a-1 = e, e S ； (2)对任意 aS, eS, 又 e * a-1 S ； a-1 S ； (3)对任意 a、bS, b-1 S , a *(b-1 )

16、-1 S, a *(b-1 )-1 = a *b , a *bS 。 得证。三、子群21 *第21页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义8:设G , *和H , *是两个群, 映射h:G H 称为从G , *到H, *的群同态, 如果对任 意a、bG, (1)h(a * b) = h(a) *h(b) (2)h(eG) =eH (3)h(a-1)=h(a)-1(2) h(eG)= h(eG * eG)=h(eG) *h(eG) 群中只有么元是等幂的, h(eG) =eH 。(3) h(a) *h(a-1) = h(a * a-1) = h(eG) = eH h(a-1)

17、*h(a) = h(a-1 * a) = h(eG) = eH h(a-1) = h(a)-1。四、群同态可以省略22 *第22页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义9:设h是从G , *到H , *的群同态,如果G的 一个子集K 的每一元素都被映入H的么元eH , 再没有 其它元素映入eH , 则K 称为同态h的核, 记为ker(h)。 定理15：从群G , *到群H, *的同态h的核ker(h) 形成群G , *的子群。证：(a) 如果a、bker(h), 那么h(a) = h(b)= eH 。 h(a * b) = h(a) *h(b) = eH *eH = eH

18、所以, a * bker(h), 即ker(h)对运算 * 封闭。 (b) 如果aker(h), 则h(a-1) =h(a)-1= eH-1= eH , 所以, a-1ker(h)。 证毕。 四、群同态23 *第23页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义10：设H , *是群G , *的子群, 我们称集合 aH = a * h|hH 为元素aG 所确定的子群 H , *的左陪集。元素a称为左陪集aH 的表示 元素。我们称集合Ha=h * a|hH 为元素aG 所确定的子群H , *的右陪集。元素a称为右 陪集Ha的表示元素。注意：表示元素一定在它所确定的陪集内。 表示元素

19、相同的左右陪集未必相等。 五、陪集和拉格朗日定理24 *第24页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五例：是的子群， 则 3I=I，5I=I，0.5I=+0.5, +1.5,+2.5,。例：设G=RR，R为实数集，G上的一个二元运算+定义为 +=，显然，是一个 具有么元的阿贝尔群。 设H= | y=2x，则是的子群。 对于G, H关于的左陪集为H。 几何意义为：G是笛卡尔平面，H是通过原点的直线 y=2x，陪集H是通过点的且平行于H的 直线。五、陪集和拉格朗日定理25 *第25页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理16：设H , *是群G , *的子群,a

20、H 和bH是任意 两个左陪集, 那么, 或 aH =bH 或 aHbH = 。证：假定 aHbH , 则存在元素c aHbH, 于是存在h1、h2H, 使c=a * h1=b * h2, 因此, a =b * h2 * h1-1。 设x是aH 中任一元素,于是存在h3H 使x =a * h3, 因而x =b * h2 * h1-1 * h3, 因为h2 * h1-1 * h3 H,所以x是bH中的一个元素。 同理可证bH 的任一元素是aH 中的一个元素。 这样, aH =bH。 又aH 和bH 都是非空集合,aH=bH和aHbH = 不可兼得。 所以定理得证。 五、陪集和拉格朗日定理26 *第

21、26页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理17：H的任意陪集的大小是相等的。证： 对任意aG, h1，h2 H, 若 h1h2 ，必有a* h1 a* h2 , aH中没有相同的元素， |aH|=|H|。 a是任意的， H的任意陪集的大小是相等的。注：H的左陪集集合构成G的一种划分，且划分块大小相同。 五、陪集和拉格朗日定理27 *第27页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理18：设H , *是群G , *的子群，于是baH, 当且仅当 a-1 * b H。证： baH iff 存在 hH,使 b = a * h iff h = a-1 * b if

22、f a-1 * b H五、陪集和拉格朗日定理28 *第28页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理19：（拉格朗日定理）设是群的一个子群， (1)R= | aG, bG且a-1*bH是G中的一个 等价关系。对于aG，若记aR=x | xG且 R,则aR=aH。 (2)如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，则 m|n(m整除n)。五、陪集和拉格朗日定理29 *第29页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理19：（拉格朗日定理）设是群的一个子群， (1)R= | aG, bG且a-1*bH是G中的一个 等价关系。对于aG，若记aR=x | xG且 R,则a

23、R=aH。五、陪集和拉格朗日定理30 *第30页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理19：（拉格朗日定理）设是群的一个子群， (1)R= | aG, bG且a-1*bH是G中的一个 等价关系。对于aG，若记aR=x | xG且 R,则aR=aH。五、陪集和拉格朗日定理31 *第31页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理19：（拉格朗日定理）设是群的一个子群， (2)如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，则 m|n(m整除n)。五、陪集和拉格朗日定理32 *第32页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五 推论1：任何质数阶的群不可能有

24、非平凡子群。证明：如果有非平凡子群，则该子群的阶必定是原来群的阶 的一个因子，这就与原来群的阶是质数相矛盾。推论2：在有限群G，*中，任何元素的阶必是|G|的一个 因子。证明：设任意aG, r是a的阶， 则 e,a1,a2,ar-1，*是G，*的子群。 所以 r 必是|G|的一个因子。五、陪集和拉格朗日定理33 *第33页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五推论3：一个质数阶的群必定是循环群，并且任一与么元不 同的元素都是生成元。 证明： 对任意aG,ae, 因为该群为质数阶的群，故a的阶必为|G|， 所以 G=e,a1,a2,a|G|-1 即该群必是循环群且任一与么元不同的

25、元素都是生成元。五、陪集和拉格朗日定理34 *第34页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义11：设H , *是群G , *的子群, 对任意元素 aG, 如果aH =Ha, 则H , *称为正规子群。注意:(1)定义中的aH =Ha是指对每一h1H, 都存在h2H, 使a * h1=h2 * a, 并不要求对每一 h H 有 a * h =h * a。 (2)所有阿贝尔群的子群都是正规子群; 所有平凡子群都是正规子群。六、正规子群和商群35 *第35页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理20：正规子群的不同陪集都是G的同余类。证明：设aH 和bH是两个

26、陪集, a1是aH中任一元素, b1是bh 中任一元素, 现证明a1 * b1全都在H的同一陪集中。 设 a1 = a * h1 ，b1 = b * h2， hiHa1*b1 =(a*h1)*(b*h2) =(a*h1)*(h3*b) =a*(h1*h3)*b =a*(h4*b) =a*b*h5 因此, 所有a1 * b1都在陪集(a * b)H 中。 再者, 容易证明a1、a2aH 时有a1-1、 a2-1 a-1H 。 因此由正规子群H诱导出的陪集关系是同余关系。 六、正规子群和商群36 *第36页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义12：设H, *, -1, e是群

27、A=G, *, -1, e的正规 子群。H 的陪集关系记为。则A/ = G/, *, -1, H,这里 G/ = aH |aG aH *bH = (a*b)H aH-1 = a-1H 称为群G , *关于正规子群H , *的商群。 习惯记为A/H =G/H, *六、正规子群和商群37 *第37页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五作业：P206 1，2，3，7，9，11，1638 *第38页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五一、环的定义及性质定义1：若代数系统R, +, 的二元运算+和具有下列 三个性质: (1)R, +是阿贝尔群(加法群), (2)R,

28、是半群, (3)乘法在加法+上可分配。 即对任意元素a、b、cR, 有 a(b+c) = ab+ac, (b+c)a = ba+ca 则称R, +, 是个环。例1 ： (1) I, +, (2) R(x), +, ,R(x)是所有实系数的x的多 项式集合。6.8 环和域是环是环39 *第39页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理1：设R, +, 是个环, 0是加法么元, 则对任意 元素a, b, cR有(a) a0 = 0a = 0(b) (-a)b = a(-b) = -(ab)(c) (-a)(-b) = ab(d) a(b-c) = ab-ac(e) (b-c)a=

29、ba-ca一、环的定义及性质40 *第40页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义2 ：R, +,是一个环, 如果对于某些非零元素 a,bR, 能使ab=0, 则称R, +, 是含零 因子环, a、b称为零因子, 无零因子的环称为无 零因子环。 如N8 , +8 ,8是含零因子环。一、环的定义及性质41 *第41页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定理2：环R, +, 无零因子, 当且仅当R, +, 满足 可约律。证： 设a, b, cR是任意元素, 且a0。 (1)必要性。 如果ab=ac, 那么ab -ac=0, a(b-c)=0, 由于无零因子,

30、所以b-c=0, 即b=c。 所以R, +, 满足可约律。 (2)充分性。 如果bc=0且b0, 那么bc=b0, 由于满足可约 律, 所以c=0。 又如果bc=0且c0, 那么bc=0c, 由于满足 可约律, 所以, b=0。可见R, +, 无零因子。一、环的定义及性质42 *第42页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义3：给定环R, +,如果R, 是可交换的, 称 R, +, 是可交换环; 如果R, 是含么半 群, 称R, +, 是含么环。如果R, +, 是可交换的, 含么而无零因子环, 则称它是整环。 例2: (1)I, +, (2)N7 , +7 ,7 (3)N8 , +8 ,8 一、环的定义及性质是整环是整环不是整环43 *第43页，共49页，2022年，5月20日，11点8分，星期五定义4： 如果F, +, 是整环, |F|1,F -0, 是群, 则F, +, 是域。域的定义也可这样叙述: 满足 (1)F, +是阿贝尔群, (2)F -0, 是阿贝尔群, (3) 乘法对加法可分配的代数系统F, +, 称为域。 例3: (1)Q, +, (2)R