二次函数的教材分析

1、二次函数二次函数教材分析教材分析一、本章教学内容及一、本章教学内容及课时安排课时安排二、本章知识结构二、本章知识结构实际问题实际问题二次函数二次函数二次函数的图象二次函数的图象二次函数的性质二次函数的性质二次函数的应二次函数的应用用目标目标三、本章的地位和作用三、本章的地位和作用 “ “二次函数二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数、反比例函数之后学习二次函函数、一次函数、反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提数，这是对函数及其应用知识学习的深化和

2、提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。题的能力有着一定的作用。 四、本章编写特点四、本章编写特点（一）（一） 注重结论的探索注重结论的探索 在本章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次在本章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探讨的。教科书通过设置观察、思

3、考、函数出发逐步深入地探讨的。教科书通过设置观察、思考、讨论等栏目，引导学生探索相关的结论。讨论等栏目，引导学生探索相关的结论。（二）（二） 注重知识之间的联系注重知识之间的联系 学生在学生在“一次函数一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组的联系。本方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组的联系。本章专设一个专题，探讨二次函数与一元二次方程的关系，再章专设一个专题，探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程

4、的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。决二次函数的有关问题。（三）（三） 注重联系实际注重联系实际 二次函数与实际生活联系紧密。本章引言选取正方体表面积、二次函数与实际生活联系紧密。本章引言选取正方体表面积、最优化、拱桥、喷水等问题展示这种联系。在介绍二次函数最优化、拱桥、喷水等问题展示这种联系。在介绍二次函数的图象和性质时也穿插安排了一些实际问题。的图象和性质时也穿插安排了一些实际问题。 课程学习目标：课程学习目标：1 1 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，

5、并体会二次函数的意义；体会二次函数的意义；2 2 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；函数的性质；3 3会用配方法确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式会用配方法确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4 4会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。六、本章教学目标六、本章教学目标五、本章重要的数学思想方法五、本章重要的数学思想方法 (1)数形结合思想数形结合思想 (2) 建模思想建模思想 (3

6、)函数思想函数思想 (4) 化归思想化归思想 (5)配方法配方法中考考试说明中考考试说明对对七、七、本章重点、难点本章重点、难点1 1重点重点: :了解二次函数的含义了解二次函数的含义理解二次函数的图象及其性质理解二次函数的图象及其性质, ,抛物线图象的平移问题抛物线图象的平移问题. .体会一元二次方程与二次函数的关系体会一元二次方程与二次函数的关系能用二次函数解决实际问题能用二次函数解决实际问题2 2难点难点: :二次函数图象特征及其性质二次函数图象特征及其性质对二次函数与一元二次方程的关系理解与应用对二次函数与一元二次方程的关系理解与应用. .应用二次函数解决实际问题能解决与其他函数结合应

7、用二次函数解决实际问题能解决与其他函数结合的问题的问题1 1在利用函数图像讨论二次函数的性质时，要放慢节奏，逐在利用函数图像讨论二次函数的性质时，要放慢节奏，逐步理解、完善要充分结合点的坐标的意义及实际问题中步理解、完善要充分结合点的坐标的意义及实际问题中包含的特定意义，来理解函数的图象与性质包含的特定意义，来理解函数的图象与性质. .2 2加强数形结合的思想，加强数形结合的思想，达到数形互补达到数形互补，从而提高学生的分，从而提高学生的分析能力析能力 3 3在讨论二次函数图象的对称轴和顶点坐标时，要尽量引导在讨论二次函数图象的对称轴和顶点坐标时，要尽量引导学生进行学生进行图象与图象之间的比较

8、，表达式与表达式之间的图象与图象之间的比较，表达式与表达式之间的比较，建立图形和表达式之间的联系，比较，建立图形和表达式之间的联系，以达到学生对二次以达到学生对二次函数图象的对称轴、顶点坐标公式的理解函数图象的对称轴、顶点坐标公式的理解4 4注意规律的理解与总结注意规律的理解与总结, ,强调解决实际问题的注意事项强调解决实际问题的注意事项. .（如平面直角坐标系的建立，横轴、纵轴的实际意义，自变（如平面直角坐标系的建立，横轴、纵轴的实际意义，自变量的取值范围等）量的取值范围等）八、教学建议八、教学建议(一一)本章教学建议本章教学建议5. 5.注意与学生已有知识的联系，减少对新概念、注意与学生已

9、有知识的联系，减少对新概念、 新知识接受的困难。新知识接受的困难。 ( (一次函数知识、待定系数法和整式配方、方一次函数知识、待定系数法和整式配方、方程和不等式的知识等）程和不等式的知识等）6. 6. 创设丰富的现实情境，重视解决实际问题的创设丰富的现实情境，重视解决实际问题的教学，引导学生感受数学的价值教学，引导学生感受数学的价值. . （重视学生对基本概念的理解和接受，防止形（重视学生对基本概念的理解和接受，防止形式化的罗列概念，再举例说明的做法式化的罗列概念，再举例说明的做法, ,注意让注意让学生叙述和交流，在应用和问题解决中加深学生叙述和交流，在应用和问题解决中加深理解，正确使用）理解

10、，正确使用）7. 7.充分利用教材的空间，积极组织和实施对不同充分利用教材的空间，积极组织和实施对不同学生、不同班级的多样化教学学生、不同班级的多样化教学. . 概念的学习尽量结合本地的具体情境概念的学习尽量结合本地的具体情境, ,突出学生的突出学生的直观感知直观感知, ,引导学生通过探求不同实例中两个变量引导学生通过探求不同实例中两个变量之间的关系之间的关系, ,总结概括得出二次函数的定义总结概括得出二次函数的定义, ,并对二并对二次函数的定义进行辨析次函数的定义进行辨析, ,加深认识。加深认识。（二）各小节具体教学建议（二）各小节具体教学建议22.122.1 二次函数二次函数22.2 二次

11、函数的图象与性质二次函数的图象与性质cbxaxykhxayhxaykaxyaxy22222)()(2.用描点法作图用描点法作图,过程要明确规范过程要明确规范,注重全体学注重全体学生的动手参与生的动手参与,注意加强新旧知识的联系注意加强新旧知识的联系 。3.每学完一种类型的函数每学完一种类型的函数,要引导学生不断总要引导学生不断总结结,使其掌握方法。多描多画使其掌握方法。多描多画 、交流或教师、交流或教师主动呈现辨析，数形结合。主动呈现辨析，数形结合。1.重视重视由简到繁由简到繁,从特殊到一般的探索过程；从特殊到一般的探索过程；通过通过喷泉的水流、标枪的投掷，最优化，抛物线形状拱桥等问题的探喷泉

12、的水流、标枪的投掷，最优化，抛物线形状拱桥等问题的探究，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以究，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解要注意解的范围、解的利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解要注意解的范围、解的精确度以及如何达到所要求的精确度等。精确度以及如何达到所要求的精确度等。2 22 2.3 .3 实践与探索实践与探索(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的列出二次函数的解析式，并根据自变量的

13、实际意义，确定自变量的取值范围；取值范围；(2)在在自变量的取值范围自变量的取值范围内，运用内，运用公式法公式法或或通过配方通过配方求出二次函数的最求出二次函数的最大值或最小值。大值或最小值。2 2、函数有四种表示形式：、函数有四种表示形式：语言表示、表格表示、语言表示、表格表示、图象表示、代数式表示。其中后三种是数学的形式图象表示、代数式表示。其中后三种是数学的形式。九、本章知识点归纳1 1、一般地，、一般地，y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数，是常数，a0)a0)称为称为y y是是x x的二次函数，它的图象是抛物线的二次函数，它的图象是抛物线. . 3

14、 3、“五点一线法五点一线法”作二次函数的图象步骤：作二次函数的图象步骤：（1 1）找出开口方向，求出顶点坐标、对称轴方程）找出开口方向，求出顶点坐标、对称轴方程（2 2）根据图象的对称性，从顶点）根据图象的对称性，从顶点 开始，开始， 左右各取四个对称的点（通常取左右各取四个对称的点（通常取(0,c)，(x1,0)， (x2,0) ， 四点）（四点）（列表、描点）列表、描点）（3 3）用平滑的曲线连接（连线）用平滑的曲线连接（连线）),(cab)44,2(2abacababacab44,22abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当4、类比归纳二次函

15、数五种类型的图象性质、类比归纳二次函数五种类型的图象性质2yaxk2()ya xh2()ya xhk00向上（ ）、下（ ）平移个单位00向上（ ）、下（ ）平移个单位向右（向右（0）、左（）、左（0）平移个单位平移个单位向右（向右（0）、左（）、左（0）平移个单位平移个单位2yax向右（向右（0 0）、左（）、左（0 0）平移个单位）平移个单位向上（向上（0 0）、下（）、下（0 0）平移个单位）平移个单位5 5、二次函数五种类型的图象平移规律、二次函数五种类型的图象平移规律（一般式）（一般式）y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k（顶点式）（顶点式）配方配方展开展开y=ax2平平 移

16、移平平 移移6. 6.常用的二次函数解析式的求法：常用的二次函数解析式的求法： (1)(1)一般式：一般式：y=axy=ax2 2+bx+c (+bx+c (回避三元一次方程组回避三元一次方程组) ) (2) (2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k (3) (3)交点式：交点式：y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) )说明: 已知任意三点坐标选用一般式；已知任意三点坐标选用一般式； ( (若已知与若已知与y y轴的交点轴的交点, , 可先将可先将c c值直接代入函数解析式值直接代入函数解析式, ,使三元使三元方程组变为二元方程组变为二元,

17、 ,从而简化运算从而简化运算) ) 已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式；已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式； 已知抛物线与已知抛物线与x x轴的两个交点坐标常选用交点式轴的两个交点坐标常选用交点式. .一看二次项系数一看二次项系数a .(a决定抛物线的开口方向决定抛物线的开口方向) 开口向上开口向上 a a 0 0 开口向下开口向下 a a 0 0 三看常数项三看常数项 c. (c决定抛物线与决定抛物线与y轴交点位置轴交点位置)6.二次函数的图象二次函数的图象“六看六看” :（依形判数，由数思形）依形判数，由数思形） 轴的负半轴上交点在交点在原点轴正半轴上交点在yccyc, 0,

18、0, 0二看二看a a与与b b的符号的符号:(a:(a与与b b决定对称轴位置决定对称轴位置) ) （左同右异）轴右侧；异号，在轴左侧，同号，在ybayba, 五看图象的走向定函数的增减性：（以对称轴为界）五看图象的走向定函数的增减性：（以对称轴为界） 左低右高左低右高 y y 随随 x x 增大而增大增大而增大, , 左高右低左高右低 y y 随随 x x 增大而减小增大而减小 六看部分图象对应的取值范围：六看部分图象对应的取值范围： 图象端点向图象端点向 x x 轴引垂线，由垂足对应的数看轴引垂线，由垂足对应的数看x x的的取值范围取值范围; ; 图象端点向图象端点向 y y 轴引垂线，

19、由垂足对应的数看轴引垂线，由垂足对应的数看y y的的取值范围取值范围. .四看四看b2-4ac的符号的符号(b2-4ac决定抛物线与决定抛物线与 x 轴交点的个数轴交点的个数) 抛物线与抛物线与 x x 轴有两个交点，轴有两个交点， b2-4ac 0 0； 抛物线与抛物线与 x x 轴有一个交点，轴有一个交点， b2-4ac 0 0； 抛物线与抛物线与 x x 轴无交点，轴无交点， b2-4ac 0.0.学生画图象中容易出现的问题学生画图象中容易出现的问题 1.“1.“三角三角”型型原因：只取了原因：只取了3 3个点，取点太少个点，取点太少 2.“2.“对勾对勾”型型原因：因为顶点坐标不明确，

20、左右取点不对称原因：因为顶点坐标不明确，左右取点不对称 3.“3.“怪异怪异”型型原因：（原因：（1 1）坐标计算错误）坐标计算错误 （2 2）描点时）描点时, ,位置不对位置不对 （3 3）连线时顺序不对）连线时顺序不对-2二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的几个特例：的几个特例： 1 1、当、当x=1 x=1 时，时， 2 2、当、当x=-1x=-1时，时， 3 3、当、当x=2x=2时，时， 4 4、当、当x=-2x=-2时，时，y=a+b+c y=a-b+cy=4a+2b+cy=4a-2b+cxyo 1-12练习：二次函数练习：二次函数y=axy

21、=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象如上图所示，的图象如上图所示，那么下列判断正确的有（填序号）那么下列判断正确的有（填序号） . .abc0, abc0, b b2 2-4ac0, -4ac0, 2a+b0, a+b+c0,a+b+c0, a-b+c0, 4a+2b+c0, 4a+2b+c0, 4a-2b+c0. 4a-2b+c 0b2 4ac= 0b2 4acoa0 抛物线开口向上抛物线开口向上a0时时a0时时当当-，随的增大而增大，随的增大而增大当当?，最小最小当当-，随的增大而增大，随的增大而增大当当?，最大最大2ab2ab2ab4a4ac-b2ab2ab2ab4a4ac-b1 1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设），通常设抛物线解析式为抛物线解析式为_3、已知抛物线与、已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_4 4、已知二次函数图像上的两点（、已知二次函数图像上的两点（x x1 1,h,h）(x(x2 2,h),h)，通常设解析式为通常设解析式为_5 5、当已知图象与、当已知图象与x x轴两交点的距离为轴两交点的距离为d d时，时，通