微分方程模型在实际中的应用浅析 2

1、 引 言微分方程（differential equation）指含有自变量、未知函数及其导数的方程，是常微分方程和偏微分方程的总称。 在17-18世纪社会生产力发展的需求与科学数学化进程的影响下，微积分本身进一步深入发展并在力学、物理学、声学和几何学等方面广泛应用，刺激和推动了一系列应用分支的形成。微分方程理论正是在这一时代背景下产生的。 同期出现的还有微分几何、变分法、无穷级数等，它们与微分方程理论相互影响，相互促进。微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科，从诞生之日起很快就显示出它在应用上的重要作用，特别是作为牛顿力学的得力助手，在天体力学和其它力学领域显示出巨大

2、的功能。牛顿通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆；海王星的存在是天文学家先通过微分方程的方法推算出来，然后才实际观测到的。随着科学技术的发展和社会的进步，微分方程的应用不断扩大和深入。时至今日，可以说微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用。在数学学科内部的许多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成部分。微分方程每一步进展都离不开其它数学分支的支援；反过来，微分方程进一步发展，又推动着其它数学分支的发展。微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，自 1693 年微分方程概念的提出到动力系统的长足发展，常微分方程经历漫长而又迅速的

3、发展，极大丰富了数学家园的内容。随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展，比如偏微分方程的迅速发展。有理由预测：随着依赖数学为基础的其它学科的发展 ,微分方程还会继续扩展。 本文主要介绍以常微分方程作为工具，对一些实际问题建立微分方程模型，然后求出微分方程的解，从而解决相应的实际问题，进一步了解微分方程在描述客观世界中的作用。一、微分方程模型在经济学中的应用141.经济增长分析模型 3 模型基本假设有:(1)全社会只生产一种产品，可以是投资品，也可以是消费品；（2）生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本，且这两种要素之间相互不能替代；（3）储蓄是国民收入的函数；（4）不存在技术进步

4、，也不存在资本折旧问题；（5）生产规模报酬不变；（6）劳动力按照一个固定不变的比率增长。解：设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t时刻的国民收入，可以建立如下的简单经济增长模型： ,上式中、均为正常数，为初期国民收入，0。 方程(1)表示储蓄与国民收入成正比（ 称为储蓄率）， 方程(2)表示投资与国民收入的变化率成正比（称为加速数）， 方程(3)表示储蓄等于投资。 由前三个方程消去S(t)和I(t)，可得关于Y(t)的微分方程: ,即 ,两边同时积分得到 ,其通解为 ， （c为任意常数）由出初始条件 , 得，所以 。于是 。由0可知， 都是关于t的单增函数。 此模型

5、提出经济增长的决定性变量是资本或储蓄的形成，一个经济增长的能力依赖于一个经济的储蓄能力，政府可以通过刺激资本积累、调节储蓄水平来实现经济的长期增长。2.市场均衡价格分析模型13模型：设某种商品，其价格主要由市场供求关系来决定，且该商品的市场价格 P= P( t)一般会随时间的变化而变动,该商品的需求量，供给量，都只与该商品的价格P有关。解：设需求函数与供给函数分别为： ，当需求量与供给量相等时，即时，由(1)（2）式可得价格 （此时称为该商品的均衡价格）。一般地，当市场上该商品供过于求()时，价格将下跌；供不应求()时，价格将上涨。因此，该商品的价格将随着时间的变化而围绕着均衡价格 上下波动。

6、假设t时刻价格P(t )的变化率与t时刻的超额需求量 成正比，即设 ， 其中K为正常数，反映了价格的调整速度。将（1）（2）代入（3）得 ，为一阶可分离变量的微分方程，可化为： ， 分离变量得： ，两边同时积分，有： （为常数） ，解得： 。假设初始价格，代入上式得 ， 于是， ， 。该模型的结果说明，实际价格最终趋向于均衡价格。3. 广告效果分析模型模型：信息时代使广告成为提升商品销售量的一种强有力手段，因此有必要研究销售量与广告之间具有什么样的内在联系。下面借助微分方程来进行研究。以销售速度为研究对象，设s(t)为t时刻的产品销售速度，认为广告对产品的销售速度有直接的促进作用并作以下假设：

7、 （i）在不考虑广告作用的情况下，销售速度具有自然衰减的性质，即随着时间的推移，产品销售速度在减少，满足这一性质的销售速度:， 其中为衰减因子。 (ii)广告会使产品的销售速度增加，但增加具有一定限度，当产品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于极限值。这时无论采取哪种形式做广告(不包括其他的促销手段)，销售速度都不会增加。当销售速度达到饱和水平后，广告已不起作用，销售速度随时间增加而自然衰减。假设M为销售饱和水平，即市场对产品的最大容纳能力，它对应着销售速度的上限。同样为衰减因子， > 0且为常数。 (iii) 广告的投入水平与产品的销售速度有关，设A(t)为t时刻的广告投入水平(以费用表

8、示)，p为投入的响应系数，即投入水平A(t)对销售速度的影响力，p为常数。解：据以上假设，有： ，(1)式右边的第一项反映出广告投入对销售速度的影响，显然当A(t)=0或s=M 时，都有 ，而(1)式右边第二项表明销售速度自然衰减的特征。 为确定A(t)的形式，假设选择如下广告策略： ，即在时间内平均投入常数A 的资金来做广告，在此条件下求解(1)式。 在时间段(0，)内，假设已知用于广告的总投入为a，那么单位时间投入，代人(1)式，有： ， ， ，令：，则有 ，其通解为： ，为积分常数。 由于初始时刻销售速度，那么： .(3)当时，根据(2)式，A=0，则(1)式便为： ，其解为： ， .

9、(4)结合(3)式和(4)式，在(2)式下，销售速度广告模型的解为： 。二、微分方程模型在运动学中的应用21.自由落体运动模型9模型：在万有引力的作用下，一质点从离地很高的地方从静止开始下落。假设相对于质点来说，地球是固定的，且忽略空气阻力等其它因素对质点的影响，试求质点的速度对距离的依赖关系；如果开始时质点离地心的距离为 ，那么质点到达地面的时间是多少?解：取地心为原点，X表示质点到地心的距离，作用在质点上的力F按万有引力定律为： (m、M分别表质点、地球的质量)它在地面上就等于物体所受的重力，即其中R是地球的平均半径。 由牛顿第二定律有： ，即 。 . (1）设，由于(1)式中a为向心加速

10、度，则 ，代入（1）式得一阶微分方程： ，变量分离得： ，两边同时积分得： （C为常数），解得速度与距离的依赖关系： （为常数）。假设质点初始离地心的距离为，而初始时速度为0，则：，解得： ，则： ，即： ，分离变量得： ，积分有： ， ，由此可得：质点到达地面的时间为： 。.(2)2.飞机安全降落模型1模型：飞机在跑道上下降时先要滑跑一段时间，飞机的尾部会张开一幅降落伞， 目的是为了在机场跑道长度不够时，用此降落伞装置作为飞机的减速器。张开的减速伞，利用空气对降落伞的阻力来减少飞机的滑行距离，从而使飞机在较短的跑道上也可以安全的着陆而不至于冲出跑道。利用此原理解决下面的问题：把阻力系数为kg

11、h的减速降落伞设备安装在质量为9（T）的飞机上。已知该飞机降落的机场跑道长为1500m，该飞机的着陆速度为700km每小时，忽略飞机所受的其它外力。那么在这样的跑道长度的情况下飞机能否安全着陆?解：由已知条件知道飞机降落到跑道上滑落过程中只受到降落伞所带来的阻力，根据牛顿第二运动定律有F=ma，这里的F是飞机滑跑过程中所受到的合力。设从飞机一开始接触跑道时开始计时，且设飞机的滑跑距离函数为X（t)；飞机的质量为m ；飞机滑跑过程中的阻力系数为k，加速度为a ；飞机的速度函数为,那么飞机所受合力，从而我们也可以得到：，由加速度a和速度的关系我们知道，所以我们有： 。判断飞机是否能安全着陆就是要判

12、断飞机停下时的滑行距离是否超过1500m,所以关键是求出滑行距离X（t)。由滑行距离和速度的关系有：，而且飞机刚接触跑道时的滑行距离为0，滑行速度为700km/h ,即 ，现在问题转化为了求以下两个微分方程： .（1）， .（2）。（1）式求解得： ，两边同时积分得： （为常数）， (c为常数），代入初值条件可得 。下面对（2）式进行求解：则有：，分离变量有： ，积分得： ，代入初值条件：得：，因此 ， 由此可得： 。 . (3)将已知数据代入(3)式可得，而1400m<1500m，所以飞机可以安全着陆。3.子弹穿钢板模型模型：在子弹穿透一块钢板的过程中，若已知子弹穿透钢板所用时间为，而

13、且子弹射入钢板时的速度为，子弹穿出钢板时的速度为，还已知子弹在钢板内的阻力与速度平方成正比，比例系数为k（k>0)，求钢板的厚度。解：由已知可得，若设子弹的速度为，则子弹在钢板内所受的阻力为，若设子弹的质量为m,加速度为a ,则由牛顿运动第二定律得：F=ma。 又由于加速度可以表示为速度对时间的一阶导数，所以：，从而有： . (1)，满足初始条件：，解（1）式有： 。积分得： 为常数）， 解得： ， . (2)(2)式代入初值得：, 所以： 。 . (3)当时, 。那么钢板厚度： 。 . (4) 三、微分方程模型在医学领域的应用1.血液中酒精含量的模型10模型假设：（i）讨论均以市场上常

14、见的啤酒为例，每瓶500 mL，其他酒类可折合成啤酒，并且酒是在很短时间内喝的，即瞬间喝的；（ii）在任何情况下，个人体内的血液体积不变，人体密度是均匀的，而且酒精进入体液的时候马上均匀分布，且血液和体液的酒精浓度是一样的。 解：通过t时刻吸收的酒精量和排出的酒精量来建立变量间的关系式。体液中的酒精量通过胃肠吸收而得，但又随着体液排出体外。() 设人在很短时间内喝下M (mL)的酒，则可根据酒的浓度计算酒精的质量，记为m (mg)；设酒精被吸收到体液中的速率与胃肠道中酒精质量成正比，比例常数为，同时假设喝酒后t时刻肠胃中的酒精质量为，由假设可得初值问题： ， . (1)解得 ， （c为常数）

15、， （为常数）代入初值 得： 。 . （2）() 在t时间内，吸收到体液中的酒精质量约为，因此从0到t时刻吸收到体液中的酒精质量约为。令体液中的酒精浓度在t时刻为mg100mL，又设单位时间内体排除体外的体液与人体体液比例为 ，则从0到t时刻排出体外的酒精质量为，而在t 时刻体液中酒精质量为，所以在t时刻体液中酒精浓度为： ，. (3)(3)式两边对t求导得： ， 令，那么结合（2）式可得到关于的微分方程： ， . （4）方程 ，变形得： ，利用积分因子法求解： ， ， ,则有： ，代入初值得： ，所以： 。 . （5） 分析(5)式可知，函数在 内单调递减；在内单调递增，且。表明开始时体液内

16、的酒精浓度以较快的速度增长，在 时浓度达到最大值，之后浓度又逐渐降低。随着时间的无限推移，体液中酒精的浓度越来越低，以至于最后完全消失。2.传染病模型8模型：假设在t时刻传染病人人数为，每天每个传染病人有效接触的平均人数是常数日接触率）。若被考察传染性疾病所在地在传播期内总人数N不变。解：模型1：将总人员分为已感染者和易感染者（即还没感染的人），设t时刻他们在总人数中所占的比例分别为和（其中）。那么在t时刻已感染者人数为,而每天每个已感染者可使个健康者患病，所以每天共有个健康者被感染而患病，于是我们可以得到病人的变化率方程： ，记初始时刻，即t=0 时刻，病人人数为，那么有： ， .（1）解得

17、： ， .（2）和的图形如下：由（1）式、（2）式及和的图形可知：() 当时， 达到最大值 ，该时刻为：。这时病人数量增加得最快，说明传染高峰的来临，需要采取严格的措施加以控制。()当时，这表明，最后所有人都会变成病人。显然，这样的结果是不符合实际情况的，所以要考虑病人被治愈或被隔离等情况。 模型2:有些传染病，即使治愈后也还可以被感染又变成病人。因此在模型1的基础上再假设每天被治愈人数占总病人数的（治愈率），则为平均传染周期， 而模型改进为： ， . （3）解(3)得 ： 。令，则是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，所以时： 。 . （4）分析(4)易知，是一个分界点：当时，病人比例越

18、来越小，最终趋于0；当时，的减小或增加取决于的大小，随的增大而增大。3.胰脏检查模型11模型：正常胰脏每分钟吸收染色的40，而常用医疗检测手段，就是利用这个原理把示踪染色注射到胰脏里去检查其功能。一医生给某人的胰脏注射了o3克染色，经过30分钟后该人胰脏中还剩下01克，问此人的胰脏是否正常？解：在人胰脏功能正常的情况下，假设在胰脏中注射染色后t分钟时人胰脏中的染色量表示为，那么胰脏每分钟吸收的染色为，又由初始条件可知，故该模型可表示为：，分离变量得： ，两边同时积分得： 为常数）， ，代入初值条件，得：。所以： ，那么30分钟后正常人剩余染色量为：。而由已知条件得知此人经过30分钟后还剩下0.

19、1克，所以此人胰脏不正常，应及时接受治疗。4、 微分方程模型在社会学中的应用1、腐败人数的预测模型15模型：由于某个官员因腐败而被撤职时，一般又会牵连出一批的涉案分子。下面在已牵连出的涉案人数的基础之上，通过建立一个微分方程模型，预测一下总的涉案人数。 设时间为t；涉案总人数关于时间t的函数为，其中t=0时牵连的人数为，为腐败事件所牵连的人数的最大值；牵连人数的增长率为，为固有增长率，即 时的牵连人数的增长率；为追查过程中的阻力系数；为已被揪出的每个涉案人员每个月所供出的平均人数；为腐败所牵连的人数在总人数中所占的比例，为t=O时刻腐败所牵连的人数在总人数中所占的比例。 解：伴随已经牵连出的涉

20、案人数的增加，潜在的涉案人数在逐步减少。涉案总人数关于时间t的函数为，而牵连人数的增长率与有一定的函数关系。假设是关于t的连续函数，其上界为 。 由假设知，为x 的线性函数，设为斜率），则当 时，人数增长率为0，因此，故可确定出 ，那么牵连人数增长率函数就可以表示为： 。 在不考虑困难程度和其他因素的影响时，建立如下的微分方程： , . （1）分离变量得：,可变形为： ,两边同时积分得： 为常数）,即： , ,代入初始值可得：，所以： ，解得： 。 . （2） 考虑追查过程中的其阻力时，建立如下的微分方程： , . （3）解得： 。 . （4）2、确定嫌疑犯模型5模型：一天下午一桩凶案发生在某

21、小镇上，警方立即展开调查。经过反复排查，李某和张某被划定为两名犯罪嫌疑人。可是两人都辩解说自己没有杀人，都详细说了自己当日下午活动的具体情况。李某说他下午一直在公司上班，4点30分左右接到 后才离开。张某说他下午一直在办公室，直到5点下班后才离开。经警方调查，二人所说都被证实，都没说谎。但从他们两人上班地点到案发现场都只需要10分钟。法医在下午6点到达凶案现场，立即测得此时死者的温度为34度，经过1小时后再次测得尸体的温度为32度。若室温为常温21度，现在分析两人能否都排除嫌疑。解：若假设死者的体温在t时刻为，那么由牛顿冷却定律（一个高温物体在外界温度恒定的系统中自然冷却时，冷却的速率与它的温

22、度和外界的温度之差成正比）可以把该模型表示为： ，. （1）(1)的微分方程是一个一阶线性非齐次的常微分方程，把它改写为： ， . （2）利用积分因子法求解(2)式： ，即： ，则有： ，所以： 为常数），解得： ，再由得： 即：c=13。再将，得： ，解得：，所以： 。 . （3）人的正常体温约为37度，因此假设死者死亡时体温为37度，那么T=37，所以死亡时间t满足： ， . （4）解得： 小时。由此可以推断出死者的死亡时间约为下午4:45左右，所以我们可以看出张某没有作案时间，可以排除嫌疑，而李某不能被排除嫌疑。3、人口增长模型6模型1：假设:(1)总人口的增长率与当时的人口数成正比，比

23、例系数为常数；(2)t时刻总人口数量为N(t)，由于N(t)的数量很大，可视为时间t的连续可微函数，且在t=O时刻人口数量为。解： 时刻人口数量减去t时刻人口数量即为时间内人口数量的增长量，那么： ，建立模型：， . （1）分离变量可得： ， 两边同时积分得： 为常数），为常数），代入初值条件：，得：，所以： 。 这种指数增长模型的结论在地广人稀的地方比较符合，且这个模型的结果与欧洲地区19世纪以前的人口统计数据相吻合，从而说明该模型的假设和模型本身具有一定的合理性。 但是该模型对于19世纪以后的人口统计数据有较大差异，说明模型存在一些不足，需要改进。因为伴随着人口数量的增加，环境因素、自然资

24、源等对人口数量的影响作用也随之加深明显，所以人口的自然增长率要改进，使之更符合实际情况。模型2：在模型1的基础之上，重新假设:(1)人口的自然增长率为关于总人口数的函数，这里假设；(2)令自然资源和环境条件下所能容纳的最大人口数量为 ，所以 ，从而得到,所以： ，从而模型转化为： ， . （2）解得： 。此模型结果同19世纪到本世纪30年代为止的美国人口统计数据吻合得相当好，说该模型比较符合实际。五、微分方程模型在其他方面的应用1.通风排二氧化碳模型4模型：经测定某地下室内空气中含有0.2%的，该地下室容积为，现启动通风设备，排出室内空气的同时以的速度输入新鲜空气，且已知新鲜空气中含0.05%

25、的 ，问三十分钟后该地下室内所含的百分比。解：假设地下室内所含的百分比在t时刻为 ，则其的含量经过时间后变为： ，即： , 。分离变量得： ,且初始条件为：。两边同时积分得：,解得： 。 当t=30分钟，即1800秒，代入上式得： ，所以通风30分钟后，地下室内的含量约为0.05%，也就是说地下室内基本上已经都是新鲜空气了。2、国民收入与债务模型12模型：在某段已知的时间内，某地区的国民收入增长率为，已知国民债务的增长率为国民收入的 ，还已知t=0时刻，国民债务为0.1（亿元），国民收入为5（亿元），试分析国民债务和国民收入与时间t的函数关系。解：设国民收入为，那么我们可以得到： ，解得： 为

26、常数）。代入初值条件，得c=5，所以： 。 假设国民债务为，那么我们可以得到： ， ，解得： 。代入初值条件，得到：。所以国民债务的函数为：。3.体重变化模型7模型：某位女士每天摄入2500卡路里的食物，1200卡路里用于基本的新陈代谢，而且她在日常锻炼中每公斤体重消耗16卡路里，剩余的热量转化为这位女士身体的脂肪（设10000卡可转化为1kg脂肪）。星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了3500卡的食物，星期天上午，这位女士的体重是57.1526kg。现在我们要建立一个预测体重随时间变化的数学模型，并用它来预测估计：（a） 这位女士在星期六的体重；（b） 为了能不增重，她每天最多能摄入多少卡路里的

27、食物；（c） 在不进食的情况下，她的体重在N周后会是多少；（d） 她每日的饮食应如何安排才可以使她的体重在N周后减为50.80kg解：假设表示t天时该女士的体重（单位kg），并且忽略呼吸所消耗的卡路里。令该女士每日纯摄入卡路里数量为，所以他每日净摄入卡路里的数量为：，那么每日她的脂肪的增加量便为：。 （i) 当0<t<3时，=1300，该女士体重的变化为： ， ，积分得： ，解得： ， . （1）代入 ，得： 。将和t=3代入（1），得到：。 （ii)当3<t<4时，（星期四），由1300变为2300，可求得： ， . (2)将和t=3为初值代入（2）式，得 ，从而可求

28、出 。 （iii)当后，食物摄入量又恢复正常，即=1300，此时， ， . (3)将和 t=4 代入(3)式，可得：=23.9968。 综合（i)、(ii)、(iii)可得： 。因此：（a） 将t = 6代入 ，可得：；（b） 体重不增加也就是，则可得：卡路里，所以最多摄入1200+914=2114卡路里；（c）该女士每天都没有能量摄入，那么 ，解得：所以N周后该女士的体重为： ；（d)为纯摄入量，那么。又因为，所以，那么该女士想在N周后将体重减为50.80kg，就有： ，把和的表达式代入： 。所以把具体的N代入上式就可以得到每日最高可摄入的卡路里量。总结与体会2011年10月，我开始了我的毕

29、业论文工作，时至今日，论文基本完成。从最初的茫然，到慢慢的进入状态，再到对思路逐渐的清晰，整个写作过程难以用语言来表达。历经了几个月的奋战，紧张而又充实的毕业论文终于落下了帷幕。回想这段日子的经历和感受，我感慨万千，在这次毕业设计的过程中，我拥有了无数难忘的回忆和收获。 在与导师的交流讨论中我的题目定了下来，是：微分方程模型在实际中的应用浅析。我当时便立刻着手资料的收集工作中，当时面对浩瀚的书海真是有些茫然，不知如何下手。我将这一困难告诉了导师，在导师细心的指导下，终于使我对自己现在的工作方向和方法有了掌握。 我首先把大二学习的常微分方程的书和以前上课的笔记本找出来复习了一遍，再次了解微分方程

30、。然后我便开始收集微分方程在各个领域的应用，我在学校图书馆查阅各类图书，还在网上查找各类相关资料，将这些宝贵的资料全部记录下来，尽量使我的资料完整、精确、数量多，这有利于论文的撰写。然后我将收集到的资料仔细整理分类，及时拿给导师进行沟通。2012年4月底，论文的定稿已基本完成。在这几个月中，我的论文导师夏安银老师细心指导，耐心讲解，再加上自己对相关资料文献的查阅，了解到微分方程在实际中的应用是非常广泛的，为各个领域的发展做出了巨大的贡献。所以，我就以微分方程在经济学、运动学、医学、社会学以及其他方面的应用为例简单说明微分方程模型在实际中的应用。我不会忘记这难忘的几个月的时间。毕业论文的制作给了我难忘的回忆。在我徜徉书海查找资料的日子里，面对无数书本的罗列，最难忘的是每次找到资料时的激动和兴奋；为了论文我曾赶稿到深夜，但看着亲手打出的一字一句，心里满满的只有喜悦毫无疲惫。在今后的日子里，我仍然要不断地充实自己，争取在所学领域有所作为。脚踏实地，认真严谨，实事求是的学习态度，不怕困难、坚持不懈、吃苦耐劳的精神是我在这次设计中最大的收益。我想这是一次意志的磨练，是对我实际能力的一次提升，也会对我未来的学习和工作有很大的帮助。   致谢词毕业论文暂告收尾，这也意味着我在西华大学四年的学习生活既将结束。回首既往，自己一生最宝贵的时光能于