矩阵论、数值分析复习_2014

1、矩阵论复习一、线性空间（子空间）的基与维数的求法、直和的概念二、两个基之间过渡矩阵的求法线性变换的特征值、特征向量的计算四、特征多项式与最小多项式、Cayley-Hamilton定理六、向量与矩阵的范数、条件数的概念与计算七、矩阵的三角分解五、会求可逆矩阵将方阵化为Jordan标准型三、线性变换的概念及其矩阵表示的简单应用12.B B 中的向量中的向量)1 (nii称为第称为第i个个基向量基向量. 定义定义 nV中给定顺序的中给定顺序的n个线性无关向量个线性无关向量n,21所成的向量组称为所成的向量组称为nV的一个的一个基基,21n(或或基底基底), 记为记为B B =nV定理定理 设设B B

2、是是的一个基的一个基,则则Vn中任一向量都中任一向量都可由可由B B 唯一表示。唯一表示。,21nB,21nB是是nV的两个基的两个基,则每个则每个)1 (njj都可由都可由B线性表出线性表出:., 2 , 1,21211njppppnjjjnniiijj一、线性空间（子空间）的基与维数的求法、直和的概念3.pppppppppnnnnnnnn 2122221112112121 将将njj1 ,按顺序排列按顺序排列,并使用矩阵记号并使用矩阵记号,则得则得TnjjjjpppP21就是就是B中第中第j个基向量个基向量j在基在基B 其中其中 n 阶方阵阶方阵ijpP 称为由基称为由基B到到B(或或过渡

3、矩阵过渡矩阵).显然显然,基变换矩阵基变换矩阵P中的第中的第j个列向量个列向量的的变换矩阵变换矩阵下的坐标下的坐标.PBB简记为简记为4 解解 ,111101011111100101P故故.2120111121111001011111010111P 例例 已知已知3R的两个基是的两个基是,111,100,101,110,101,11121BB求由求由1B到到2B的变换矩阵的变换矩阵P.二、两个基之间过渡矩阵的求法5例例 4R中的两个子空间是中的两个子空间是,0110,0011 span211TTaaW234span0 0 1 1 ,1 0 0 1 ,TTWaa求求2121WWWW及的基和维数。

4、的基和维数。.,span432121WW但由于但由于,3214且且32, 1,线性无关，所以线性无关，所以21WW 的一个基为的一个基为,0011 1T. 3)dim(, 1100,01102132WWTT解解维数公式（维数公式（*）给出）给出. 1)dim(dimdim)dim(212121WWWWWW 21,WW.dimdim)dim()dim(212121WWWWWW定理定理 设设是是V的两个子空间，则的两个子空间，则为了求为了求21WW 的基，设的基，设21WW ，则由，则由1W知，存在知，存在21,kk使使2211kk，又由，又由2W知，存在知，存在43,kk使使4433kk因而，因

5、而，4321,kkkk应满足方程。应满足方程。,44332211kkkk即即. 0)()(44332211kkkk用矩阵表示则为用矩阵表示则为011000110001110014321kkkk解得解得, 1111 4321TTckkkk其中其中c为任意为任意非零非零实数，从而实数，从而.0101 )(21Tcc 因此，因此，,0101span21TWW即即T0101 是是21WW 的一个基。的一个基。 7定义定义 若若21WW 中任一向量只能唯一地分解为中任一向量只能唯一地分解为1W中的一个向量与中的一个向量与2W中的一个向量之和，则中的一个向量之和，则21WW 称为称为21,WW的直和，记为

6、的直和，记为.21WW （2）; 0),2 , 1(, 02121则若iWii（3）.dimdim)dim(2121WWWW定理定理 2121WWWW的充分必要条件是下列条件的充分必要条件是下列条件的之一满足：的之一满足：;021WW （1）例例 设设 是是 R4的一个基，的一个基， ， ，证明：，证明： ,4321,21211 spanV,41432spanV214VVR8在在T下的下的像像，定义定义 mnVV 到的变换的变换T T 称为线性的，如果对任意的称为线性的，如果对任意的nVk及中的任意向量中的任意向量,恒有恒有.)(,)(kTkTTTT特别，当特别，当T是是nV到自身的一个线性变

7、换，则称到自身的一个线性变换，则称T是是nV的的线性变换线性变换。记记,mVT则称则称为称为的的原像原像。数数mnVV 和中分别取基中分别取基,2121mnBB和则则ja的像的像1 (jTa)nj 可由基可由基B唯一地线性表出：唯一地线性表出：mnVV 到的线性变换，在的线性变换，在设设T是是mimjjjmiijjaaaaT12121三、线性变换的概念及其矩阵表示那么上式可简写为那么上式可简写为 .2122221112112121mnmmnmnaaaaaaaaaTTTn为了简化记法和便于运算，令为了简化记法和便于运算，令,21naTTTTB 其中其中nm矩阵矩阵.212222111211mnm

8、mnaaaaaaaaaAn,ABTB（1.2-1）（1.2-1）式叫做）式叫做T的矩阵表示，称的矩阵表示，称A为为T在在基偶基偶下的矩阵。下的矩阵。,BB9如果把如果把njTj1 ,按顺序排列，并使用矩阵记号，按顺序排列，并使用矩阵记号，则有则有10则称则称0是是T的一个的一个特征值特征值，称为称为T关于关于0特征向量特征向量。的的定义定义 的一个线性变换，如果存在的一个线性变换，如果存在, 0)(,0且FVFn使使 ,0T（1.2-5）)(FVTn是设T的特征值问题与的特征值问题与 A 的特征值问题是一一对应的。由于相似矩的特征值问题是一一对应的。由于相似矩阵有相同的特征多项式，所以我们可以

9、把阵有相同的特征多项式，所以我们可以把A的特征多项式的特征多项式 nnnnnbbbAIf111)det()(称为称为T的的特征多项式特征多项式，于是，于是T的特征值就是的特征值就是T的特征多项式的根。的特征多项式的根。三、线性变换的特征值、特征向量的计算11为了求出为了求出T的特征值和特征向量，在的特征值和特征向量，在nV中取一个基中取一个基,21nB，且设，且设T在在B下的矩阵是下的矩阵是A。那么那么可由可由B的线性表出：的线性表出：,121niTniixxxxBxx是是 T 的一个特征向量，的一个特征向量，0是相应的特征值，即是相应的特征值，即, 0,0T如果如果.0 xAx可推得可推得解

10、解 取取)(2tP的一个基的一个基21, ,Bt t则则T在在B下的下的.300220011A矩阵是矩阵是A的特征值是的特征值是相应的特征向量相应的特征向量. 121 ,011 ,001 321TTTkkk, 3, 2, 1321分别为分别为, 3, 2, 1321因此，因此，T的特征的特征T关于关于321,的特征向量的特征向量),21 (),1 (,2321ttktkk上述的上述的321,kkk和可为任意非零实数。可为任意非零实数。值是值是分别是多项式分别是多项式12 例例 )(2tP的线性变换的线性变换T的定义为的定义为),() 1()()(tpdtdttptTp求求T的特征值和特征向量。

11、的特征值和特征向量。13nnnnnnnaaaaaaaaaAI212222111211)det(.)det()(111nnnnnbbbAIf这个多项式在复数域有这个多项式在复数域有n 个根个根.,21n 特征多项式和最小多项式特征多项式和最小多项式对于复数域上对于复数域上n 阶方阵阶方阵A=aij，它的特征多项式它的特征多项式 是是的的 n 次多项式次多项式四、特征多项式与最小多项式、Cayley-Hamilton定理的简单应用14nnnnbbbAIf111)det()(定理定理(Cayley-Hamilton) 设设n 阶方阵阶方阵A 的特征多项式为的特征多项式为则则f (A)=O,即即A 的

12、特征多项式是的特征多项式是A 的一个零化多项式的一个零化多项式.定义定义 设设A是一个是一个n 阶方阵阶方阵,g(t)是一多项式是一多项式,如果如果g(A)=O,则则称称g(t)是是A 的零化多项式的零化多项式.A的的最小多项式最小多项式，记为，记为 。)(Am定义定义A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为且且 是唯一的。是唯一的。定理定理A的最小多项式的最小多项式 可整除可整除A的任何零化多项式的任何零化多项式)(Am)(g)(Am,15)(Am定理定理 00是是A 的特征值的充分必要条件是的特征值的充分必要条件是 00是是A 的最小多项式的最小多

13、项式 的根。的根。42112012A例例求求的最小多项式。的最小多项式。32)2)(3(;)2)(3();2)(3(解解 由于由于 所以所以A的最小多项式只能的最小多项式只能3)2)(3()det(AI有下列三种可能：有下列三种可能：,00000010O2211001012121011)2)(3(IAIA但但.)2)(3()(,)2)(3(22AmOIAIA故而而04168212416)2(xxIA例如，例如， 725,54411zxT6168412414A例例 设设求可逆矩阵求可逆矩阵P使使P1AP为为Jordan矩阵。矩阵。2,)2()det(3AI解解 是是A的三重特征值。齐次线性方程组

14、的三重特征值。齐次线性方程组的系数矩阵的系数矩阵 A2I 的秩是的秩是1，因而基础解系有两个解向量，因而基础解系有两个解向量，16sixIAi, 2 , 1, 0)(征值的各级根向量征值的各级根向量.1.1级根向量可以解齐次线性方程组级根向量可以解齐次线性方程组把把 相似简化为相似简化为JordanJordan矩阵的关键是矩阵的关键是, ,寻找寻找 关于其特关于其特AA注：注：五、会求可逆矩阵将方阵化为Jordan标准型Tcccccczcxcy21212112117524542121217524544168212416ccccccx2121212121212000)2( 40005441675

15、41624821254416cccccccccccc且通解的表达式为且通解的表达式为对它的增广矩阵施行行初等变换：对它的增广矩阵施行行初等变换：17代入代入 式式 得得, yxIAi）（由此可见由此可见,当且仅当当且仅当 时这个非齐次方程组才有解。时这个非齐次方程组才有解。0221 cc3232xxAxTxycc121, 3/1,32221这时若取若取性方程组的一个解是性方程组的一个解是 ，且有，且有 ，即，即Tx010323)2(xxIA, 上述非齐次上述非齐次线线015124014321xxxP因此，取因此，取21221APP18数值分析复习一一 误差分析1 舍入误差、截断误差、有效数字；

16、2 数值计算的一些原则；如：P10-例1.3、例1.6。3 数值计算的稳定性。19二.插值法1.插值的概念：（1）问题的引出；（2）唯一性：待定系数法；反证法。2.构造插值多项式的方法：（1）待定系数法；（2）基函数法；（3）承袭性思想。203 插值的分类：（1）不含导数插值条件（Lagrange型插值）； Lagrange插值公式、Newton插值公式。（2）含导数插值条件（Hermite插值）；构造法、 带重节点的Newton插值法。4 余项表达式、截断误差估计、总的误差界。5 差商的定义、基本性质。6 例.21三、函数逼近221 最小二乘拟合问题：给出数据能求出拟合曲线；教P69.例3.

17、4，3.5，3.7四、数值积分1、基本概念： (1) 代数精度； (2)插值型求积公式； (3)复化求积公式； (4)Gauss型求积公式； (5)收敛阶(复化)； (6)计算的稳定性。232、构造求积公式的方法： (1)待定系数(利用代精)； (2)插值型求积公式； (3)Newton-Cotes公式； (节点等距)，几种低阶， 及余项。梯梯形形simpsonbadxxklkA)(;.求积节点给定求积节点给定定定求积节点、系数均未给求积节点、系数均未给nkjjjxkxjxxxkl1)(教P91,例4.2P101例：P96例4.4243、提高求积公式精度的方法： (1)增加求积节点及采用Gau

18、ss型求积公式； (2)构造复化求积公式； 误差的 (3)线性外推公式、Romberg算法。先验误差事后误差估计P92,93例：P94.例4.5P95,96254、Gauss型求积公式： (1)Gauss点的概念及其有关定理； (2)利用正交多项式构造Gauss求积公式； (3)利用Gauss型求积公式构造奇异积分的数值方法。例：P109 例4.11例：P111例4.12系数特点稳定、收敛例：P113 例4.14、例。26五、常微分方程数值解将方程离散化的三种方法。掌握Euler法和改进的Euler法、隐式Euler法和梯形法的基本公式和构造。领会R-K方法的基本思想，会进行二阶R-K方法的推导。会求差分格式的局部截断误差及方法的阶。能利用单步法收敛定理判断方法的收敛性。能给出一般单步法的绝对稳定性区域（区间）。p13727掌握线性多步法的构造原理，能构造线性多步格式。8. 例P147.例5.1028六 、线性代