《高等数学》单元测试题及详细解答

1、高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第一单元函数与极限2第一单元函数与极限测试题详细解答6第二单元导数与微分12第二单元导数与微分测试题详细解答15第三单元微分中值定理与导数应用21第三单元微分中值定理与导数应用测试题详细解答25第四单元不定积分31第四单元不定积分测试题详细解答34第五单元定积分39第五单元定积分测试题详细解答42第六单元定积分的应用47第六单元定积分的应用测试题详细解答50第七单元空间解析几何与向量代数39第七单元空间解析几何与向量代数测试题详细解答42第八单元多元函数微分法及其应用47第八单元多元函数微分法及其应用测试题详细解答50第九单元重积分81第九单元重积

2、分测试题详细解答86第十章曲线积分与曲面积分91第十单元曲线积分与曲面积分测试题详细解答96第十一章无穷级数91第十一单元无穷级数测试题详细解答96第十二单元微分方程104第十二单元微分方程单元测试题详细解答121第22页第一单元函数与极限一、填空题X、,一一1、已知“sin)1cosx,则f(cosx)，一、22、lim)_。xx(1x)3、x0时，tanxsinx是x的阶无穷小。L14、limxsin0成乂的k为。x0x5、limexarctanx。xe1x0.6、f(x)e,x0在x0处连续，则b。xb,x0丁ln(3x1)7、lim-。x06x8、设f(x)的定义域是0,1,则f(ln

3、x)的定义域是9、函数y1ln(x2)的反函数为10、设a是非零常数，则lim(a)x。xxa1则常数a11、已知当x0时，(1ax2)31与cosx1是等价无穷小,3x12、函数f(x)arcsin的定义域是。1x13、limJx22Jx22nx2a14、设lim(工a)x8,则a。xxa15、lim(VnVn1)(n27n)=n、选择题1、设“*)3仪)是l,l上的偶函数，八屋)是l,l上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。(A) f (x) g(X);(B) f (x)h(x)；(C)f(x)g(x)h(x)；(D)f(x)g(x)h(x)。.1x2、(x),(x)13/x,则当x1时有

4、1x(A) 是比高阶的无穷小;(B) 是比低阶的无穷小;(C)与是同阶无穷小；(D)3、函数f (x)x 0(x1)在x 0处连续，则k x 032(A) - ;(B);23(C) 1;(D) 0。4、数列极限 lim nln( n 1) In n(A) 1;(B)1;5、 f(x)sin x x x01 xcos- x(C);0是f (x)的(D)不存在但非(A)连续点；(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)振荡间断点。6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是()(A) f(x)lgx.2,g(x)2lgx；(B) f(x)x,g(x)Jx2;(C)f(x)vx4x3,g(x)xVx1；

5、(D)f(x)sinx/、7、 lim=()x0|x|(C)0;(D) 不存在。(A)1;(B)-1;18、 lim(1x)x()x0(A)1;(B)-1;(C)e；(D)e9、f(x)在xq的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的()xxq(A)充分必要条件；(B)充分条件;(C)必要条件；(D)既不充分也不必要条件10、limx(.x21x)x(A)1；(B)2;(C)(D)0。11、设an，bn，Cn均为非负数歹U,且limann0,limbnn1,limcn，则必有(n(A)anbn对任意n成立;(B)bncn对任意n成立;(C)极限limancn不存在；n(D)极限limbncn不

6、存在。n12、当X1时,x21函数x一1ex1177的极限()(A)等于2;三、计算解答1、计算下列极限(C)为；(D)不存在但不为(1)limncn2sin(2)cscxlimx0cotX(3)limx1x(ex1);(4)limx2x(5)lim28cosx2cosx1xi2cosxcosxlim0limn12n(n1)(8)limx23、试确定a,b之值，使limxax4、利用极限存在准则求极限(1)limn1231n_1o13x设x1xnn1期(ri1,2,2x11xsinxxtanxln(132x),3,2°arctan.4x),证明limxn存在，并求此极限值。nxx5、

7、讨论函数f(x)limnxnx的连续性，若有间断点，指出其类型。nnn6、设f(x)在a,b上连续，且af(x)b,证明在(a,b)内至少有一点，使f()、填空题1、八.22sinx。f(x)2、3、高阶。4、5、6、7、8、9、第一单元函数与极限测试题详细解答xf(sin-)12-22xf(cosx)-2.(43x)lim2xx(1x2)2x(12sin-)22sin22c222cosx2sinx。-2_-9x24x16lim3xxxtanxsinxlimlxm00。tanx(1cosx)lim(1cosx)x00,tanx,1，sin一为有界函数,xlimx10、e2a11、asinx是x

8、的高阶无穷小。所以要使limxkx0exarctanx0Pmf（x）河依f(0)b,b06x根据题意2。xey原式=lim(1x.1sin一x(limxb)b3xlimx06xln(x2),2,只要limx00,即k0。0,arctanxlimx0f(x)!im(e1)2,”)a1由(1ax2)3lnx(yax2a2axa1)ln(x2ae。11ax2与cosx3所以ln(x2),ey2）的反函数为2。以及112(1ax2)31r3ax2dlimlim3-a1,x0cosx1 x a x x a0123x23可信ao2“11，一A-，一12、-x-由反三角函数的定义域要求可得42汽1解不等式组

9、可得x 011x -42，x 1，、一，11f(x)的定义域为-x-o4213、limx22x22nlimn(,x22_x22)(x22x2_2)x22x22limnx2_2_(x2_2)_x22x220。14、 ln 23a ln81 , c a ln 83ln23ln2。15、2lim (、. n , n 1)(. n 2 n、n)limn(n n 1) 2(.n 2 . n)xa3axlim(Xa)Xmoa)右转3a12(11)lim三nn2Jn1二、选择题1、选(D)令 F(x)f(x)g(x)h(x),由f(x),g(x)是l,l上的偶函数,h(x)是l,l上的奇函数,F(x)f(x

10、)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)F(x)。(x)1x1x2、选(c)limlimlimx1(x)x1(1x)(13x)x1(1x)131(1x)(11x1x)(1x)33、选(A)limf(x)x0limx01x31x4、选(B)limnln(n1)Innlim1xlim-2x01x31ln(1一)n5、选(C)f(0)1,f(0)0,f(0)06、选（C）在（A）中f(x).2.、lnx的定乂域为x0,而g(x)21nx的定义域为x0,f(x)g（x）故不正确在(B)f（x）x的值域为（2),g(x)vx的值域为x0,故错在（C）中f（x）1的定义域为Rg(x)sec2xtanx的

11、定义域为xR,xf(x)g(x),故错7、选（D）limx0sinx|x|sinxlimlimsinx|x|limx0sinx-lim不存在x0|x|8、选（D）1lim(1x)xx0呵1(x)x1)9、选（C）由函数极限的局部有界性定理知,limf(x)存在,xXo则必有Xo的某一去心邻域使f（x）有界，而f（x）在Xo的某一去心邻域有界不一定有limf(x)存在,例如xXo1-，limsin一,函数x0x10、选(C)1sin_1有界，但在x0点极限不存在x(limx(x21xX)limxC"21少x21x)x-x1xlimxlimx121x11、选（D）充分大时”(A)、(B)

12、显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当的情况，不可能得出“对任意（C）也明显不对，因为“无穷小无穷大”n成立”的性质。是未定型，极限可能存在也可能不存在。12、选（D）limx1ex11lim(x1威x12xlimx1x1xnPm(x11)ex-i当x1时函数没有极限,三、计算解答1、计算下列极限：也不是(1)解:n.xlim2sinn2n,lim2nn(2)解:cscxcotxlimx2n1sinx2Xocosxsinx(3)解:1limx(exx(4)解:limx2x(5)1cosxxsinx2xlim-22x0x22x11)3xlim1x4)x212解:lim8cos2x-

13、2cos2x4cosx1limx-cosx13limx1。lim(1xlimx2cosx2x1)3xlim(1)“1)x21T。cosx14112二121.)23(2cosxlim1)(4cosx1)x-(2cosx1)(cosx1)2。(6)1xsinxcosx解：limxtanx1xsinxcosxxtanx(x1xsinxcosx)(8)xsinx1cosx解：limxlim(1xlim(1x解:3、解:limx4、（1）.2x2(23)ln(13.2x)arctanV4limx(1(a而limxxsinxlim2x02xn(n%(1n1m)1cosx2x2lim一32-xlim(x2&

14、#39;21-rx心4。(=x1axb)limx2d2x1ax(ab)xb、2a)x(ab)x(1b)b)13。limx（2）先证有界（数学归纳法）n1时，x24axiJaa设nk时，xka,则xkaxk数列七有下界,a2再证1单调减,xn1xnaxna1xn：.：xn且xn0xnXn即4单调减,limxn存在，设limxnA,则有limnxn5、解:先求极限得f(x)2x.nlim-27nnlimf(x)x0limx0f(x)f(x)的连续区间为,0)(0,0为跳跃间断点.o6、解:令F(x)f(x)而F(a)f(a)F(b)f(b)由零点定理,即f()，亦即f(F(x)在f(0)a,b上连

15、续第二单元导数与微分一、填空题f (0)存在，有f(0)2、3、1、已知f(3)2,则limf(3h)一曲=h02hyxxarctan,贝Uyx)=4、f(x)二阶可导，yf(1$*),则丫=；y=5、曲线yex在点处切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。6、ylnarctan(1x),贝Udy=。2.24dydy7、ysinx,贝U=,T"=。dxdx8、若f(t)limt(1-)2tx,则f(t)=。xx9、曲线yx21于点处的切线斜率为2。10、设yxex,则y(0)。11、设函数yy(x)由方程exycos(xy)0确定，则dy。dx2212、设t则d4。yco

16、stdx二、单项选择1 一21、设曲线y一和yx在匕们交点处两切线的夹角为，则tan=()。x(A)1;(B)1;(C)2；(D)3。k>3、函数f(x)e，且f(一)e,则k()。41，、-(A)1;(B)1;(C);(D)2。24、已知f(x)为可导的偶函数，且limf(1x)f2,则曲线yf(x)在(1,2)x02x处切线的方程是(A)y4x6；(B)y4x2；(C)yx3;(D)yx5、设f(x)可导,则limx 0-2- 2f (x x) f (x)_(A)0;(B) 2f(x) ；(C)2f (x)；(D) 2f(x) f(x)。6、函数f(x)有任意阶导数，且f (x) f

17、(x)2,则f(x) =(A) nf(x)n1； (B) n!f(x)n1； (C) (n 1) f (x)n 1 ； (D) (n1)!f(x)2。7、若 f (x)x2,则 limx 0f(xo 2 x) f(xo)_(A)2xo ；(B) xo ；(C) 4xo ；(D) 4x o8、设函数f(x)在点xo处存在f (xo)和 f (xo),则 f (xo)f (xo)是导数 f (%)存在的(A)必要非充分条件；(C)充分必要条件;(B)充分非必要条件；(D)既非充分又非必要条件。9、设 f (x) x(x 1)(x2)(x99)则 f (o)(A) 99;(B)99(C) 99!;(

18、D)99。10、若f(u)可导，且yf(A) xf ( x2)dx ； (B)2xf，2、(x )dx ； (C)22、.2 f ( x )dx； (D) 2xf ( x )dx。11、设函数f(x)连续，且f'(o)0,使得(A) f (x)在(o,)内单调增加;(B)f(x)在(,o)内单调减少;(C)对任意的x (。，)有£仁)f (。)；(D)对任意的x(Q)有 f(x) f(。)。12、设 f(x)x2s”o在x o处可导，则(A)a 1,bax(B) a 0,b为任意常数;(C)a0,b0；(C)a1,b为任意常数。三、计算解答1、计算下列各题.212一、sinT

19、.xlnt-dy(1)ye，求dy；(2)3，求一2t1；ytdx(3)xarctanyy,dy;(4)ysinxcosx,求y(50)；dx(5)y(-x-)x，求y;1x(6)f(x)x(x1)(x2)(x2005),求f(0);f(x)(xa)(x),(x)在xa处有连续的一阶导数，求f(a)、f(a)；(8)设f (x)在x 1处有连续的一阶导数，且,df(1)2,求limf(cosvx1)。x1dx2、试确定常数a,b之值，使函数f(x)0处处可导。0b(1sinx)a2xaxe1x3、证明曲线x2y2a与xyb(a,b为常数)在交点处切线相互垂直。4、一气球从距离观察员500米处离

20、地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数f(x)对任意实数x1,x2有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)1,证明f(x)f(x)。6、求曲线yx33x25上过点(1,3)处的切线方程和法线方程。高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第二单元导数与微分测试题详细解答一、填空题1、12、f (0)3、 ln xlim f(3 h) f lim f(3 h) f(1)h 0 2hh 0 h2liiimf(x) f(0)f(0)x 0 x x 0 x 0 x1y in x y |x 1 in x11f (3)12

21、4、 f (1 sin x) cos x , f (1 sin x) cos2 x f (1 sin x) sin x2y f (1 sin x) cosx, y f (1 sinx) cos x f (1 sinx) sin x、e.一 e 15、(ln(e 1),e 1)弦的斜率 k J e 1 1 0_x、 _xy (e ) e e 1x ln(e 1),当 x ln(e 1)时，y e 1。6、dx2-arctan(1 x) 1 (1 x)dyarctan(1 x)darctan( 1x)arctan(1x)1 (12d(1 x) x)dxarctan(1x)1(1x)dxdydy24

22、2 2x sin 2xdx2xdx8、e2t2te2t f(t) lim t(1 1)2txte2t f(t)e2t2te2tx x9、(1,2)y 2x,由 2x02 x01,y0121 2y x 1在点(1,2)处的切线斜率为2x xx x xy e xe , y e e xe3424dy44334、4xsin2x,2xsin2x2sinxcosx4x4xsin2x10、2第23页高等数学单元测试及详细解答陆航学院数理教研室编第86页11、12、1、3、4、5、6、y(0)e02exyysin(xy)exyxsin(xy)解得方程两边对x求导得exyysin(xy)exyxsin(xy)x

23、y(1y')sin(xy)(yxy')0sinttcost4P由参数式求导公式得再对x求导，由复合函数求导法得d2ydx2选择题选（D）tand(yx')dx(Yx')t'xt'|tan(1)|11(x)f(4)(A)lim幺x0dydxYl'xt'sint2t，1tcostsint1sinttcostt22t3°4t3交点为k2k1Ik1k2tankxe由limx02x1x)f(1)切线方程为：y2选（D）(1,1),k1(-)|x1x.21,k2(x)|x12ktank1x2、，secxf(1)limf(1x)f(1

24、)1)(2x42f(1)44(x1)即y4x-2x)f(x)f2(x)2f(x)f(x)f(x)f(x)23(x)2f(x)22f(x)f(x)-2-3f(x)f(x)2f3(x)一一-423f(x)设f(x)n!fn1(x),则f(n1)(x)(n1)!fn(x)f(x)(n1)!fn2(x)f(n)(x)n!fn1(x)7、选(C)limf(x02x)一f-x0)lim2f(x02x)-f(2f(x0)x0xx02x又f(x)(x2)2x,2f(x0)4x08、选(C)f(x)在x0处可导的充分必'要条件是f(x)在x0点的左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在且相等。9、选(D

25、)f(x)(x1)(x2)(x99)x(x2)(x99)x(x1)(x3)(x99)x(x1)(x2)(x98)f(0)(01)(02)(099)(1)9999!99!另解：由定义，f(0)limf(x)f(0)lim(x1)(x2)(x99)x0x0x099(1) 99!99!10、选(B)f(x2)f(x2)(x2)2f(x2)dy2xf(x2)dx11、由导数定义知f'(0)limf(xf-(0)0,x0x再由极限的保号性知0,当x(,¥f(x)f(0)0,x从而当x(,0)(x(0,)时，f(x)f(0)0(0),因此C成立，应选Co12、由函数f(x)在x0处可导，

26、知函数在x0处连续-91limf(x)limxsin0,limf(x)lim(axb)b,所以b0。x0x0xx0x0又f(0)limx0f(x)f(0)所以a0。应选三、计算解答1、计算下列各题x0Colim(1)dy21d(sin-)x(2)dydx3t2彳3t3d2ydx2(3)两边对(4)设y(n)9t2丁tx求导:2y3y2ysinxcosx3(y1sin2x2cos2xsin(2x)2n12sin(2x则y(n1)n2cos(2x(50)y_49_2sin(2x502)(5)两边取对数:lnyxln两边求导:lnx2.1xsinx2sin-cos-0,f(0)lim1,2)dxxf

27、(x)f(0)ax9t31)12sin2-2sin-exdxxxd2ydx2|t1(士2cos(2x2nsin(2x(n_49.一2sin2xln(1x)ln(1x)1)2)2sin(2x2-)2y(广1x(6)利用定义：)xlnxln(1x)1f(x)f(0)xim°f(0)xm0(x1)(x2)(x3)(x2005)2005!f(x)(x)(xa)(x)f(a)(a)f(x)f(a)乂f(a)limxaxa(x)(a)lim-(x)xaxalimxa(a)(x)(xa)(x)(a)(a)2(a)注：因（x）在xa处是否二阶可导不知,故只能用定义求。(8)limf(cos.x1)l

28、imf(cos.xx1dxx11)(sinx1)12、xlimf(cos.x1)limsinx12.xf(1)1(2)12、易知当x0时，f（x）均可导，要使f(x)在x0处可导f(0)f(0),且f(x)在x0处连续。即limf(x)x0limx0f(x)f(0)limf(x)balimx0f(x)0(0)limx0f(x)f(0)lim(1sinx)(0)ax.elim3、证明：设交点坐标为对x2y2曲线limaxe1limx0axax又由x(x0,y0),则x0a两边求导：2x2y2y。x°y0a在（x0,y0）处切线斜率k1|xx0x0y0曲线xyb在（Xo,yO）处切线斜率

29、k2y|xX0b2x0又k1k2(2)y。x0两切线相互垂直。4、设t分钟后气球上升了两边对t求导：sec2ddt72cos25500m时,500m时,%y。x米，则tanddt5、证明：f顾°him01500dt252f(xh)f(x)f(x)f(h)f(x)f(0)f(x)f(0)f(x)6、解：由于y3x2k13x26x|x从而所求切线方程为又法线斜率为dxdt750x500140500725（弧度/分）f(x)f(h)f(x0)hf(h)f(0)6x,于是所求切线斜率为3,3(x3xy60k2ki所以所求法线方程为3(x3yx80第三单元微分中值定理与导数应用、填空题1、2、

30、函数2x cosx在区间单调增。3、函数4 8x3 3x4的极大值是4、曲线x46x2 3x在区间是凸的。5、函数cosx在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是6、曲线3xxe 3x的拐点坐标是7、在含x0的a, b(其中a b)内恒有二阶负的导数，且，则 f xoa,b上的最大值。8、y x3 2x 1 在内有个零点。-)xtan x9、11、limcotx(-)x0sinxx“，.，110、lim(二x0x211、曲线yx2的上凸区间是12、函数yexx1的单调增区间是二、单项选择1、函数f(x)有连续二阶导数且f(0)0,f(0)1,f(0)f(x)x(A)不存在；(B)0;(C)-1;(D

31、)-2。2、设f(x)(x1)(2x1),x(A)单调增凹的;(C)单调增凸的;1),则在(一,1)内曲线2(B)单调减凹的；(D)单调减凸的。f(x)(3、f(x)在(a,b)内连续，x0(a,b),f(x0)f(x0)0,则f(x)在xx0处(A)取得极大值；(B)取得极小值；(C)一定有拐点(Xo，f(Xo);(D)可能取得极值，也可能有拐点。4、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则I：在(a,b)内f(x)0与n：在(a,b)上f(x)f(a)之间关系是()(A) I是n的充分但非必要条件；(c) I是n的充分必要条件；5、设f(x)、g(x)在a,b连续可导,(B) I是

32、n的必要但非充分条件；(D) I不是n的充分条件，也不是必要条件。f (x)g(x) 0,且 f(x)g(x) f(x)g(x),则xb时，则有(A)f(x)g(x) f(a)g(a)；(B)f (x)g(x) f(b)g(b)；g(x) g(a)(D)g(x) g(a)丽而。6、方程x33x10在区间(，)内()(A)无实根；(B)有唯一实根；(C)有两个实根；(D)有三个实根。7、已知f(x)在x0的某个邻域内连续，且f(0)0,limf(x)2,则在点x0x01cosx处f(x)()(A)不可导；(B)可导，且f'(0)0;(C)取得极大值；(D)取得极小值。8、设f(x)有二阶

33、连续导数，且f'(0)0,limf31,则()x0|x|(A)f(0)是f(x)的极大值；(B)f(0)是f(x)的极小值;(D) f (0)不是f (x)的极值点。(C)(0,f(0)是曲线yf(x)的拐点;9、设a,b为方程f(x)0的二根，f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则f'(x)在(a,b)内(A)只有一实根;(B)至少有一实根;(Q没有实根；(D)至少有2个实根。10、在区间1,1上满足罗尔定理条件的函数是(A)f(x)；x(B)f(x)|x|；2(C)f(x)1x2；2(D)f(x)x2x1。11、函数f(x)在区间(a,b)内可导,则在(a,b)内f

34、'(x)0是函数f(x)在(a,b)内单调增加的(A)必要但非充分条件;(C)充分必要条件；(B)(C)充分但非必要条件;无关条件。12、设yf(x)是满足微分方程y'esinx0的解，且f'(x0)0,则f(x)在()(A)xo的某个邻域单调增加;(B)xo的某个邻域单调减少;(C)x0处取得极小值;(D)xo处取得极大值。三、计算解答1、计算下列极限limx1一arccosx(2)lncotxlim;xxsinxeelim;x0xln(1x)(4)0lnx11limx0xxln(1x)；xarctanxlim3;x0x3(6)lntan(ax)lim。x0lntan

35、(bx)2、证明以下不等式(1)、设b(2)、当0x一时，有不等式tanx22sinx3x。3、已知ysinx,利用泰勒公式求y(6)(0)。4、试确定常数a与n的一组数，使得当x0时，axn与ln(1x3)x3为等价无穷小。5、设f(x)在a,b上可导，试证存在(a.331babaf(a)f(b)223f()f()。6、作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V最小，并求出该体积最小值。7、若f(x)在0,1上有三阶导数，且f(0)f(1)0,设F(x)x3f(x),试证：在(0,1)内至少存在一个，使F"'()0。、填空题1、2、3、4、5、6、7、第三单

36、元微分中值定理与导数应用测试题详细解答0limxlnxx0limx0lnx!f(x)20f(x)24x2sinx012x3令f(x)0X0,x22当x2时,极大值为(1,1)y(x)0；当f(2)204x312x3,当x1时，y0.当x曲线在（1,1）上是凸的11x2工x42!4!(1)mlim(x)0x0f(x)在(12x2(x2时，f12x2）上单调增2)(x)121,1)时,y12mx(2m)!,2223x3x3x(,e)ye3xee333xy3e(1而当xf(x0)3x)3e3x3x/八e(9x12(x1)(x1)x(1,）时，y0(13x),6)9e3x(x二)3f"(x。

37、)2g一时，y30;22拐点为（一,一e332)limf(x)f(x0)xx0xx0lim小x%xx0f(x)xXo当xX0时,f(Xo)0,f(x)单调增加；当xXo时，f(x)0,f(x)单调减少8、y3x220,)上单调增加9、10、11、12、又limyxlimyx)内有i个零点。1一原式lim6x0cosx(xsinx).2xsinxxsinxlimcosxlim；x0x0x3lim1cosx3x21tanxx一原式=lim23x0xtanxlxm0tanxx2secx1lim2-x03x1lim3x0,2tanx2-x.22xx2(-2-<2-)y'2xex2.2x(

38、Tf)时y"0，上凸'(0,)且y'ex二、选择题1、选(C)2、选(B)2x22x)2e令y"其它区间y"函数yexx1的定义区间为(1,因为在(0,)内丫'0,所以函数0,上凹，故应填入(),在定义区间内连续、可导,x1在(0,)上单调增加。lxm0f(x)x2x1,、,(_,1)时,2limfLJx02xf(x)0,又f_1，一f(x)在(-,1)上单调减且为凹的。3、选(D)f(x)x3,则f'(0)f"(0)0,则f'(0)f"(0)0,而x0是f(x)(x)2(x)4x1x0是f(x)4x的极

39、值点。4、选(C)由f(x)在(a,b)内f(x)0的充分必要条件是在，1、C4(x)0x43x的拐点；设f(x)(a,b)内f(x)C(C为常数)，又因为f(x)在a,b内连续，所以Cf(a),即在(a,b)上f(x)f(a)。5、选(C)由f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)01M0上)单调减少，x(a,b)g(x)g(x)f(x)f(a).g(x)f(b)6、选(D)令f(x)x33x1,则f(x)3x233(x1)(x1)；当x1时，f(x)0,f(x)单调增加，当x(1,1)时，f(x)0,f(x)单调减少当x(1,)时，f(x)0,f(x)单调增加.而f

40、(1)3,f(1)1limf(x),limf(x)xxf(x)在(，1)上有一实根，在1,1上有一实根，在(1,)上有一实根。7、选(D)利用极限的保号性可以判定f(x)的正负号：-1 mo HXf(x)cosxf(x)1 cosx0 (在x 0的某空心邻域)；由1cosx0,有f(x)0f(0),即f(x)在x0取极小值。8、选(B)由极限的保号性：lim上二区10f30(在x0的某空心邻域)；由此f"(x)0(在x0|x|x|x0的某空心邻域)，f'(x)单调增，又由f'(0)0,f'(x)在x0由负变正，由极值第一充分条件，x0是f(x)的极小点。9、选

41、(B)由罗尔定理保证至少存在一点(a,b)使f'()0。10、选(C),A选项f(x)在x0不连续，B选项f(x)在x0处不可导，D选项f(1)f(1)。3.11、选(B),如yx在(,)单增，但f'(0)0,故非必要条件。12、选(C),由 f'(X0)0有 y"(X0) esinx0y'(x0)esinx00,所以f(x)在X0处取得极小值。三、计算解答1、计算极限(1)解：lim arccosxx 1(2)解:解:(4)解:解:(6)解:limx 1ximlim12、arccosx12、x 1ln cotxIn xlimcotxx sin x e

42、 ex2 ln(1limx)x)x arctanxlimlimx 11.arccosxcsc2 x)sin x x sin x (e3xlimln(1-2xlimx sin xcosx sin1。1)x)1lim 一x 00 3x12 x22 x23x2(1x sin x3x1_x2xx2)尸01 cosx3x22(1 x)ln tan(ax)ln tan(bx)limtan(ax)12/sec (ax) atan(bx)2八sec (bx) blimx 0tan(bx)sec2 (ax) a2tan(ax) sec (bx) bX1bxsec2(ax)a/lim21x0axsec(bx)b2

43、、(1)证明：abbablnaalnb令f(x)xlnaalnx,则f(x)在a,b上连续af(x)lna0xa,bxf(x)在a,b上单调增加，f(b)f(a)得blnaalnbalnaalna0,即abba(2)令f(x)tanx2sinx3x在x(0,)时2f(x)2secx2cosx31cosxcosxcosx133cos,cosxcosx30x3、解:4、解:f(x)f(x)在0,-)上单调增5、即证:(0,2)f(x)f(0)即tanx2sinx3x泰勒公式f(x)3而sinxx3!对比x6f(0)5x5!(0)xf(0)2x2!f(n)(0)n!xno(xn)1)m2m11x(2m1)!o(x2m)一一4sinxx的导数