高三立体几何复习第四讲

1、学习必备欢迎下载高三数学立几复习第四讲（一）空间的角基础过关1 两异面直线所成的角：直线a、b 是异面直线，经过空间一点O 分别引直线a'a，b'b，把直线a'和 b'所成的或叫做两条异面直线a、 b 所成的角，其范围是2 直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角规定： 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是角其范围是公式： cos coscos ，其中， 是， 是， 是12123二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角4二面角的平面角：以二面角的棱上一点为

2、端点， 在两个面内分别作棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是典型例题例 1. 如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P， PA 平面 ABCD ， E、 F 分别是 AB 、PC的中点（ 1）求 EF 与平面 PAD 所成角的大小；（ 2）求 EF 与 CD 所成角的大小；（ 3）若 PDA 45°，求：二面角 F AB D 的大小PFADEBC变式训练 1：如图， ABCD A 1B 1C1D 1 是正四棱柱，若二面角C1 BD C 的大小为 60°，求异面直线BC1与 AC 所成的角的正弦值大小D1C1A 1B 1DCAB例 2. 在等腰梯形 A

3、BCD 中， AB 20， CD 12，它的高为 2MN 为15 ，以底边的中垂线折痕，将梯形 MBCN 折至 MB 1 C1N 位置，使折叠后的图形成120 °的二面角，求： AC1的长；DN C AC1与 MN 所成的角；C AC1与平面 ADMN 所成的角AMBB学习必备欢迎下载变式训练2：已知四边形ABCD 内接于半径为R 的 O，AC 为 O 的直径，点ABCD 外一点，且SA平面 ABCD ，若 DAC ACB SCA 30°，求： 二面角 S CB A 的正切值大小； 直线 SC 与 AB 所成角的余弦值大小DS 为平面SCOAB例 3. ABC 和 DBC

4、所在平面互相垂直，且AB BC BD ， ABC DBC 120°求： AD 与平面 DBC 所成的角； 二面角 ABD C 的正切值ABDC变式训练3：正三棱柱 ABC A 1B 1C1 中， E 是 AC 中点 求证：平面 BEC 1平面 ACC 1A 1； 求证： AB 1平面 BEC1 ；BB若A1A2 ，求二面角 E BC1 C 的大小AB2AAECC例 4: 已知直三棱柱 ABC A 1B1C1 中， ABC 90°， AB BC a， AA 1 2AB ，M 为 CC1上的点 .(1) 当 M 在 C1C 上的什么位置时， B 1M 与平面 AA 1C1C 所

5、成的角为(2) 在 (1) 的条件下，求 AM 与 A 1B 所成的角的余弦值CBA变式训练 4：已知正方形 ABCD ， E、 F 分别是边 AB 、 CD 的中点，将 ADE 沿 DE 折起，如图所示，记二面角 A DE C 的大小为(0) ，若 ACD为正三角形，试判断点A 在平面 BCDE 内的射影G是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角的余弦值30 °；MC1B 1A 1ABCEFD学习必备欢迎下载小结归纳1两异面直线所成角的作法： 平移法：在异面直线中的一条直线上选择 “特殊点 ”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线； 补形法：把空间图形补成熟悉的

6、或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角2作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影3平面角的作法： 定义法；三垂线法；垂面法4二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式 S' Scos来求5空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成（二）空间距离基础过关1 点与点的距离：两点间的长2点与线的距离：点到直线的的长3平行线间的距离： 从两条平行线中一条上一点向另一条引垂线， 这点到之间的线段长4 点与面的距离：点到平面的的长5平行于平面的直线与平面的距离：直线上6 两个平行平面间的距离：从其中一个平面上一

7、点到平面的 的长一点向另一个平面引垂线，这点到之间的线段长7 两条异面直线的距离：与两条异面直线都的直线夹在两间线段的长典型例题例 1. 已知正六边形 ABCDEF 的边长为 a， PA平面 AC ，PA a求： P 到直线 BC 的距离； P 到直线 CD 的距离变式训练1：已知平面等求证：存在ABC提示：分 A 、B、C 在外不共线的三点的一条中位线平行的同侧与异侧讨论A 、B 、 C 到 的距离相或在 内例 2 如图， 直线 l 上有两定点 A 、 B， 线段 AC l ， BD l，lAC BD a，且 AC 与 BD 成 120 °角，求 AB 与 CD 间的距离ACBD学

8、习必备欢迎下载变式训练 2：ABCD 是边长为 a 的正方形， M 、 N 分别为 DA 、 BC 边上的点，且 MN AB 交 AC 于 O 点，沿 MN 折成直二面角 求证：不论 MN 怎样平行移动 (AB MN) ， AOC 的大小不变； 当 MN 在怎样的位置时，点 M 到平面 ACD 的距离最大？DC并求出这个最大值MO NAB例 3. 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形， E、 F 分别是 AB 、 AD 的中点， GC平面 ABCD ，GC 2，求点 B 到平面 EFG 的距离GDFCAEB变式训练3：正方体 ABCD A 1B1C1D 1 的棱长为a，、 F 分别是 BB

9、1、 CD 的中点 . 求证： AD D1F； 求证： AE 与 D 1F 所成的角； 求点 F 到平面 A 1D 1E 的距离例 4在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为 100 千米 /小时， 一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为1007 千米 /小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角为30°，在 36 秒后，又看见飞机在北偏西 30°、仰角为 30°处，求飞机飞行的高度 .CDF30°30°E30°南ABG北南北变式训练 4：如图，四面体ABCD 中， ABC 与 DBC 都是边长为4 的正三角形（1）若点 D 到平面 ABC 的距离不小于3，求二面角 A BC D 的取值范围；（2）当二面角 A BC D 的平面角为时，求点 C 到平面 ABD 的距离31对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段