信号分析与处理 ：第八章 IIR滤波器设计

1、第八章第八章 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计电气工程学院电力工程系电气工程学院电力工程系第八章第八章 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 8.1 IIR数字滤波器的设计思想数字滤波器的设计思想 8.2 冲激响应不变法冲激响应不变法 8.3 双线性变换法双线性变换法 8.4 频带变换频带变换 8.5 数字滤波器设计实例数字滤波器设计实例 8.1 IIR数字滤波器设计思想数字滤波器设计思想数字滤波器设计指标数字滤波器设计指标通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 通带衰减通带衰减阻带衰减阻带衰减模拟滤波器设计指标模拟滤波器设计指标8.1 IIR数字滤波器设计思想数字滤波器设计

2、思想数字滤波器设计原理：数字滤波器设计原理： 数字滤波器的设计就是选择合适的数字滤波器的设计就是选择合适的 或或 ，使其，使其满足一定的滤波要求，而后用数字网络将其实现满足一定的滤波要求，而后用数字网络将其实现 )(nh)(zH确定滤波器性能指标确定滤波器性能指标数学方法逼近此指标，得到物理可实现的系统函数数学方法逼近此指标，得到物理可实现的系统函数 用有限精度的运算实现系统函数用有限精度的运算实现系统函数 用软件或硬件实现并验证此系统用软件或硬件实现并验证此系统不满足要求不满足要求8.1 IIR数字滤波器设计思想数字滤波器设计思想设计方法设计方法 借助模拟滤波器借助模拟滤波器 )()()(1

3、0inyarnxbnyNiiMrriNiirMrrzazbzXzYzH101)()()(iNiirMrrasasbsH101)(IIR-数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法借助模拟滤波器借助模拟滤波器 找到合适的找到合适的s平面和平面和z平面之间的变换平面之间的变换 使得使得s平面的左半平面与平面的左半平面与z平平面的单位圆内部相对应面的单位圆内部相对应使得使得s平面的虚轴与平面的虚轴与z平平面的单位圆相对应面的单位圆相对应物理可实现的模拟滤波物理可实现的模拟滤波器应转换成物理可实现器应转换成物理可实现的数字滤波器的数字滤波器 数字滤波器的频率特数字滤波器的频率特性应反映模拟滤波器性应反映模拟

4、滤波器的频率特性的频率特性 8.2 冲激响应不变法冲激响应不变法NpppssA1)(1tueANptsppNpnTspnueAsp1)()(sHa)(zH)(tha)(nh拉氏反变换拉氏反变换 基本思想基本思想 理想采样理想采样 NpTspzeAsp111z变换变换 ？8.2 冲激响应不变法：冲激响应不变法：11zeAspTspppssAs平面上平面上的极点的极点 z平面上平面上的极点的极点 spTspessz)1 (ssTez jrezjs数字角频率数字角频率 模拟角频率模拟角频率 s平面与平面与z平面的关系平面的关系 pss 只反映只反映s平面的极点与平面的极点与z平面的极点有平面的极点有

5、对应关系，零点之间无对应。对应关系，零点之间无对应。ssTjTjeere8.2 冲激响应不变法：冲激响应不变法：sTsTer时0时0时01r1r1rs平面与平面与z平面的关系平面的关系 频率关系频率关系 sT/sT/jS平面平面 1ReImjrz平面平面 sT/3sT/38.2 冲激响应不变法：冲激响应不变法：频谱混叠频谱混叠 模拟滤波器的幅频特性模拟滤波器的幅频特性数字滤波器的幅频特性数字滤波器的幅频特性 ksasjjkjHTeH)(1)(ssT2kssskjXTjX1zTsmsssjmsXTzXln1)(1)(sT18.2 冲激响应不变法：冲激响应不变法：频谱混叠频谱混叠 ksasjjkj

6、HTeH)(1)(范围内)(1)(sasjTjHTeH无频谱混叠时无频谱混叠时 NpTspszeATzHsp111 )(上式具有较高的增益，可以上式具有较高的增益，可以 对对进行采样，这进行采样，这样数字滤波器可以被修正为样数字滤波器可以被修正为: )(thTas幅频特性一致幅频特性一致8.2 冲激响应不变法：冲激响应不变法：特点特点 1、数字角频率与模拟角频率间是数字角频率与模拟角频率间是线性关系线性关系2、s平面与平面与z平面不是一一对应的，可能发生平面不是一一对应的，可能发生频频谱混叠谱混叠 3、用于对用于对时间特性时间特性要求严格的要求严格的低通低通滤波器设计，滤波器设计，或模拟滤波器

7、的频率范围满足或模拟滤波器的频率范围满足2/s4、冲激响应不变法不宜用于设计冲激响应不变法不宜用于设计高通和带阻数高通和带阻数字滤波器（高频部分会发生混叠）字滤波器（高频部分会发生混叠），一般仅适合，一般仅适合低通和带通数字滤波器低通和带通数字滤波器的设计。的设计。 8.2 冲激响应不变法：冲激响应不变法：例题例题 例例8-1：用冲激响应不变法将如下的模拟滤波器转换：用冲激响应不变法将如下的模拟滤波器转换为数字滤波器，其中采样时间间隔为为数字滤波器，其中采样时间间隔为0.1s。1323)(2ssssHa01322 ssS平面极点平面极点5 . 01s12s135 . 05 . 1)(sssHa

8、115 . 01315 . 1)(zeTzeTzHssTsTs2117214. 17121. 329928. 23zzTzsZ平面极点平面极点sTez5 . 01sTez2不能保证零点的不能保证零点的对应对应 7214. 17121. 3229928. 03 . 022zzzz8.2 冲激响应不变法：冲激响应不变法：例题例题 Hzfsradss10,/20Hzfsradss20,/40Hzfsradss5,/10MATLAB: ex_8_1 MATLAB: impinvar_ex.m -20.4dB-18.8dB-19.8dB-15.3dBHzfsradHzfsradscscc5,/1025

9、. 2,/510%8.3 双线性变换法双线性变换法 变换方法变换方法由于采用冲激响应不变法易发生频谱混叠（多对由于采用冲激响应不变法易发生频谱混叠（多对一映射），我们试图寻找一种一一对应关系。一映射），我们试图寻找一种一一对应关系。平面的水平带）平面一宽度为（全平面zTssss2111112)2tan(21ssjTjTssseeTjTT11112ssjTjTseeTj11112sTsTssseeTssTsez1利用利用S1平面与平面与Z平面之间的变换关系平面之间的变换关系 11211211zzTzzTsss复频率拓广复频率拓广双线性变换，又称线性分式变换双线性变换，又称线性分式变换 8.3 双

10、线性变换法双线性变换法 11211211zzTzzTssssTsTzss22或者或者 112)()(zzTsassHzH由模拟滤波器的系统函数得到数字滤波器的系统函数由模拟滤波器的系统函数得到数字滤波器的系统函数 8.3 双线性变换法双线性变换法 s平面与平面与z平面的对应平面的对应关系关系 jssrejTjTz222222)2()2(22ssssTTjTjTzr时01r时0时01r1r8.3 双线性变换法双线性变换法 s平面与平面与z平面的对应平面的对应关系关系 2arctan2sT2tan2sT0 0 频率关系频率关系 jTjssreejTjTzs2arctan222 非线性非线性 8.3

11、 双线性变换法双线性变换法 s平面与平面与z平面的对应平面的对应关系关系 8.3 双线性变换法双线性变换法 预畸变补偿预畸变补偿 )2tan(2pspT)2tan(2sssT因频率间的非因频率间的非线性关系，发线性关系，发生频率畸变生频率畸变例题例题8-3：用双线性变换法将模拟滤波器的：用双线性变换法将模拟滤波器的系统函数变换为数字滤波器的系统函数，其系统函数变换为数字滤波器的系统函数，其中采样时间为中采样时间为 。8.3 双线性变换法双线性变换法 sTs1 . 039. 798.1561. 86 . 06 . 039. 798.1561. 86 . 06 . 0)86()216()68(66

12、11123)112(21123)()(22212221222112111111211zzzzzzzTTzTTTzTTzzTzzTzzTsHzHsssssssssszzTsas8.3 双线性变换法双线性变换法 幅频特性幅频特性 sradrads/2,sradrads/102,MATLAB: ex_8_3 MATLAB: impinvar_vs_bilinear_butter.m MATLAB: bilinear_ex1.m8.3 双线性变换法双线性变换法 特点特点与冲激响应不变法的比较与冲激响应不变法的比较1、冲激响应不变法中，数字角频率与模拟角频率间是、冲激响应不变法中，数字角频率与模拟角频率

13、间是线性关系线性关系2、冲激响应不变法得到的数字滤波器会发生频谱混叠、冲激响应不变法得到的数字滤波器会发生频谱混叠（多对一映射）（多对一映射） 3、双线性变换法计算过程简单，易于实现，应用较广、双线性变换法计算过程简单，易于实现，应用较广sT2、性能指标变换为非线性，有频率失真、性能指标变换为非线性，有频率失真 ，需要预畸变进行补偿需要预畸变进行补偿 2arctan2sT1、不存在频率混叠（一一映射）；、不存在频率混叠（一一映射）；8.4 频带变换频带变换 基本思想基本思想要设计带通、带阻、高通等选频滤波器，首先设计满足要要设计带通、带阻、高通等选频滤波器，首先设计满足要求的模拟低通滤波器，然

14、后采用频带变换的方法，得到最求的模拟低通滤波器，然后采用频带变换的方法，得到最终所要求的选频数字滤波器终所要求的选频数字滤波器 模拟频带变换是高度非线性的变换，易产生混叠现象。模拟频带变换是高度非线性的变换，易产生混叠现象。数字频带变换属于全通型变换，可较好地保持低通滤波数字频带变换属于全通型变换，可较好地保持低通滤波器原型的幅度响应器原型的幅度响应表表2-1变换原理变换原理 )(11zG数字低通滤数字低通滤波器波器 )(LH数字选频滤数字选频滤波器波器 )(zH)(11)()(zGLHzHG是有理函数是有理函数 平面单位圆内的极点应变换到平面单位圆内的极点应变换到z域单位圆内域单位圆内 G应

15、满足一定的选频特性应满足一定的选频特性 G是全通函数是全通函数 8.4 频带变换频带变换 两个平面上的单位圆必须一一对应两个平面上的单位圆必须一一对应 8.4 频带变换频带变换 )(jjeGe1)(jeG映射关系映射关系G应是一个全通函数。应是一个全通函数。 1cos21cos21)sin()cos1 (sin)(cossincos1sincos1)(12/12212/1222211MiiiiiMiiiiMiiiiMijiijjjjeeeGMiiizzzG11111)(8.4 频带变换频带变换 变换原理变换原理 MiiizzzG11111)(1|i1)(jeG 1M 2M 1M 2M低通到低通

16、低通到低通 低通到高通低通到高通 低通到带通低通到带通 低通到带阻低通到带阻 极点在单位圆内极点在单位圆内8.4 频带变换频带变换 低通低通低通低通 11111)(zzzG 1M低通到低通低通到低通 jjjeee1)2sin()2sin(2tan)1 ()1 (2tansin)1 ()cos1)(1 (arctan2低通低通低通低通 8.4 频带变换频带变换 11111)(zzzG2sin2sincccc)(jeH00zcc)(jeHG变换变换低通低通高通高通 8.4 频带变换频带变换 11111)(zzzG2cos2coscucusin)1 () 1)(cos1(arctan211111)(

17、zzzG 1M低通到高通低通到高通 jjjeee1)(jeH00)(jeHzcuG变换变换低通低通带通带通 8.4 频带变换频带变换 )(jeH0G G变换变换0)(jeHzcuL112111112)(121211zkkzkkkkzkkzzG2cos2cosLuLu2tan2ctancLuk 2M低通到带通低通到带通 8.4 频带变换频带变换 低通低通带阻带阻 112111112)(121211zkzkkkkzkzzG2cos2cosLuLu2tan2tancLukc)(jeH0G G变换变换0zuL)(jeH 2M低通到带阻低通到带阻 8.5 设计实例设计实例 IIR低通数字滤波器的主要设计

18、步骤低通数字滤波器的主要设计步骤8.5 设计实例设计实例 例例8-5（1）：数字低通滤波器的频率特性。试采用冲激）：数字低通滤波器的频率特性。试采用冲激响应不变法设计该滤波器。响应不变法设计该滤波器。 1、数字滤波器的设计指标、数字滤波器的设计指标 dBeHjp1)(lg20dBeHjs15)(lg20radp2 . 0rads4 . 02、选取采样时间间隔、选取采样时间间隔 sTs5103、模拟低通滤波器的技术指标、模拟低通滤波器的技术指标 rad/s 10 2/4sppT rad/s 10 4/4sssTdBp1 dBs15本例题模拟滤波器的设计指标与第二章例题本例题模拟滤波器的设计指标与

19、第二章例题2-7(P52)一致一致 -15dB=17.8%-1dB=89.1%2.4 系统函数的逼近系统函数的逼近1、巴特沃、巴特沃斯逼近斯逼近 N例例2-7：模拟滤波器的要：模拟滤波器的要求如图，确定巴特沃斯型求如图，确定巴特沃斯型滤波器实现时所需阶数、滤波器实现时所需阶数、截止角频率和系统函数。截止角频率和系统函数。 sradp4102 dBjHpa1)(log201srads4104 dBjHsa15)(log202202110)(11Ncp202210)(11Ncs2.4 系统函数的逼近系统函数的逼近1、巴特沃、巴特沃斯逼近斯逼近 NspNlog2110110log101012N取整取

20、整4N2042cs210)(11202110)(11Ncp202210)(11NcsNsc2110) 110(2在过渡区在过渡区443. 3srad4102304. 1Ts的选择仅影的选择仅影响响 而对而对N无无影响影响c2.4 系统函数的逼近系统函数的逼近1、巴特沃、巴特沃斯逼近斯逼近 N41)81221(444)102304. 1()102304. 1 ()(ppjaessH1915210541910506. 410437. 110292. 21014. 210506. 4 )(ssssHa4、模拟滤波器设计模拟滤波器设计 19152103541910506. 410437. 110292

21、. 21014. 210506. 4)(sssssHa5、冲激响应不变法、冲激响应不变法 43214321z1233. 0z739. 0z7620. 1z9883. 11z0101. 0z0404. 0z0606. 0z0404. 00101. 0) z(H6、频率响应验证、频率响应验证不满足要求时，滤波器阶数加一，重新设计不满足要求时，滤波器阶数加一，重新设计8.5 设计实例设计实例 7、确定实现结构、确定实现结构 8.5 设计实例设计实例 例例8-5（2）：数字低通滤波器的频率特性。试采用双线）：数字低通滤波器的频率特性。试采用双线性变换法设计该滤波器。性变换法设计该滤波器。 1、数字滤波

22、器的设计指标、数字滤波器的设计指标 dBeHjp1)(lg20dBeHjs15)(lg20radp2 . 0rads4 . 03、模拟低通滤波器的技术指标、模拟低通滤波器的技术指标 2、选取采样时间间隔、选取采样时间间隔 sTs11 . 0tan22tan2pspT2 . 0tan22tan2sssT 8.5 设计实例设计实例 4、模拟滤波器设计模拟滤波器设计 采用巴特沃思型逼近函数采用巴特沃思型逼近函数 NcjH22)/(11)(5 . 121 . 0210)/(110)/(1NcsNcp9656. 2N3N8215. 0c6222128215. 0pjNpNjcpees5544. 0349

23、8. 1643. 15544. 0)(231ssssssHNppca8.5 设计实例设计实例 5、双线性变换法、双线性变换法 3213211122004. 09195. 04703. 110311. 00933. 00933. 00311. 0)()(zzzzzzsHzHzzTsas6、频率、频率验证验证 8.5 设计实例设计实例 增加一阶，增加一阶，4阶低通模拟滤波器阶低通模拟滤波器 8.5 设计实例设计实例 8056. 02221. 20645. 34757. 28056. 0)(234sssssHa432143210903. 05637. 04315. 17163. 110151. 00

24、604. 00907. 00604. 00151. 0)(zzzzzzzzzHMATLAB: ex_8_5 例题例题8-6：若上题中的低通数字滤波器的阻带：若上题中的低通数字滤波器的阻带截止频率为截止频率为 rad，其他参数不变。试，其他参数不变。试分别采用冲激响应不变法和双线性变换法设分别采用冲激响应不变法和双线性变换法设计该低通数字滤波器。计该低通数字滤波器。 3 . 0s（1）冲激响应不变法）冲激响应不变法 sTs1rad/sTspp 2 . 0 rad/sTSss 3 . 0dBjHpap1)(log20dBjHsas15)(log205 . 121 . 0210)/3 . 0(110)/2 . 0(1NcNcN=6 sradc/7032. 08.5 设计实例设计实例 12252127032. 0pjNpNjcpees1266. 06905. 08824. 12533. 37484. 37380. 21266. 0)(234566161ssssssssAsssHpppppca8.5 设计实例设计实例 654321543216110661. 05706. 01066. 22759. 40684. 53635. 310001. 00041. 00161. 001