微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学

1、习题11解答1 设，求解；2 设，证明：3 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）（2）（3）（4）解（1） （2）（3）（4）4求下列各极限：（1）=（2）（3）（4）5证明下列极限不存在：（1） （2）（1）证明 如果动点沿趋向则；如果动点沿趋向，则所以极限不存在。（2）证明： 如果动点沿趋向则；如果动点沿趋向，则所以极限不存在。6指出下列函数的间断点：（1）； （2）。解 （1）为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。习题121（1）；. (2) (3), lnz=yln(1+xy)，两边同时对y求偏导得 ;(4), (

2、5);(6), , ;2.(1); (2) . 3 ,.4 .5.(1) , , ; (2) ,; (3) , ,; (4) ,.6. 设对角线为z,则, 当时, =-0.05(m).7. 设两腰分别为x、y,斜边为z,则，, ,设x、y、z的绝对误差分别为、,当时, =0.124,z的绝对误差z的相对误差.8. 设内半径为r，内高为h，容积为V，则,当时,.习题131. =.2.=.3. (1) =, =.(2) =, =,=.(3) =,=,=.(4) =,=.4 .(1),(2) ,.5 ,.6 (1) 设, ,=, =,=,(3) 设, ,=,=.(4) 设,7.设,1. 8.设, .

3、9. (1)方程两边同时对x求导得解之得(2) 方程两边同时对z求导得 解之得 (3) 方程两边同时对x求偏导得 解之得同理方程两边同时对y求偏导得 解之得习题141 求下列函数的方向导数（1）解： ，（2）解：， （3）与轴夹角为解： 由题意知则 （4） 2 求下列函数的梯度（1） 解： ,)(2)解：，）。3 一个登山者在山坡上点处，山坡的高度z由公式近似，其中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。解：按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。4 解：沿方向5 解：设路径为，在点处在点的切向量为 平行于切向量 因为过习题1-51、求曲线在对应于点处的切线及法

4、平面方程。解：当时，故所求切线方程为：，即: 法平面方程为： 即: 2、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程（1） 在点解 ：将方程两端对x求导，得 在处故所求的切线方程为：法平面方程：（2） 在点解法1：将方程两端对x求导，得当时，有，故所求的切线方程为：法平面方程： 即：解法2：将方程组两端求微分：得曲线在点处的切向量为 3. （题略）解：（1）令 F（x，y，z）=arctg-z, = -1，曲面在点P的切平面方程为：-，即： x - y - 2z -=0；法线方程为：，即： ；（2）令则，曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：故所求的切平面方程为：即： 法线方程为： （3

5、）令F（x，y，z）=2+2-8，=-16ln2，曲面在点P的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0， 即：x-y-4z=0，法线方程为：，即：4、解：， 又抛物线在(1,2)点处的切线斜率为：抛物线在(1,2)点处偏向x轴正向的切线方向为故所求的方向导数为：习题1-61（题略）. 解：由 ,有 x=2, y=-2, 即P(2, -2)为 f(x,y) 的驻点,又 D（P）=40,=-2故P (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8. 2（题略）. 解：由 有 驻点：(5,6)和 ，而在点(5,6)取得极小值 又在点不取得极值

6、3、求在闭区域上的最大值和最小值解：由，得唯一驻点(0,0)又在边界即椭圆上, 由，得驻点：所有可能的极值点为：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,-1） (0,1)相应的函数值为： 0 4 4 -1 -14、求抛物线和直线之间的最短距离。解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，它到直线的距离为，d最小当且仅当最小此问题即是求在条件下的最小值。解法1（用拉格朗日乘数法）设由，即得唯一驻点故由实际问题知抛物线和直线之间的最短距离在在，为：解法2（转化为无条件极值）设抛物线上点，它到直线的距离为d最小当且仅当最小设 唯一驻点当时，有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（唯一驻点）=故抛物线和

7、直线之间的最短距离为5、求抛物线被平面截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为此问题即是求在条件下的最大值和最小值。令由 由-得若代入，得，再代入，0一侧为，在x0一侧为，在y0取下侧则(4)记S在z=0上的部分为，在x=0上的部分为,在y=0上的部分为,在上的部分为,在上的部分为.有3、 解：（1）原式=.（2）原式= 3-3格林公式及其应用1(1) ， (2) , , （3），（4），而在以为起点为终点的直线上所以原式2，因为积分与路径无关，所以,得3.(1) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(2) ，是二元函数u(x,

8、y)(的全微分.，得，故(3) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(4) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故4（1）,故为全微分方程。，故通解为（2）,故为全微分方程。，故通解为（3）,故为全微分方程。，故通解为（4）,故不是全微分方程。3-4高斯公式和斯托克斯公式1（1）原式= = = =（2）原式= = = =（3）原式= = = = = （4）原式= = = （5）原式= = = = 2.解:(1)圆周事实上就是xoy面上的圆,取为圆域的上侧,(2) 取为平面被L所围成的部分的上侧, 的面积为的单位法向量为,3.解: 其中为平面z=2被L所围成的部分的上侧,因为在yo

9、z面上的投影区域为线段,所以,又在xoy面上的投影区域为,所以,习题351 解：（1）， ， （2）， ， （3）， ， 。2 证明：场力沿路径L所作的功为，要证明场力所作的功与所取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x0是单连通域。 在该区域具有一阶连续偏导数，另外，所以上面的积分与路径无关，因而结论正确。3解：（1） （2） （3） （4）4证明：（1） 所以A为有势场 （2） 所以A为有势场 习题411（1）记一般项为，则 =，=，=，=，故= （2）记一般项为，则 =(-1)，=(-1)，=(-1)，故=(-1) （3）记一般项为，则 =，= ，=，=， 故= （4）

10、记一般项为，则=(-1)，=(-1)，=(-1)， 故=(-1)2（1） （2） （3） （4）3（1）该级数为几何级数，由于，故该级数收敛。 （2）该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散。 （3）该级数为几何级数，由于，故该级数发散。 （4）设 因为为的几何级数，为的几何级数，故，均为收敛级数，故原级数收敛。习题421 （1）因为，而级数发散，故该级数发散。（2） 因为，而发散，故原级数发散。（3）因为，而且收敛，故原级数收敛。（4）因为，而且收敛，故原级数收敛。2（1），因为，故级数发散。 （2）因为,故级数收敛。（3）因为,故级数收敛。 （4）因为，故级数收敛。3.（1）

11、因为，故级数收敛。（2）因为，故级数收敛。（3）因为，故级数收敛。（4）因为，故当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，无法判断。4（1），而，故级数收敛（2），而，故级数收敛。（3）因为，而级数发散，故级数发散。(4）因为,故级数收敛。（5）因为，故级数发散。（6），而级数发散，从而发散，故原级数发散。5（1），显然为一交错级数，且满足， 因而该级数收敛。又是的级数，所以发散，即原级数是条件收敛。 （2）对于，故收敛，从而原级数绝对收敛。 （3），显然收敛，故原级数绝对收敛。 （4），为一交错级数，又， 且，故由莱布尼兹定理可知，原级数收敛。但由于，发散，故原级数是条件收敛。 （5）因为，故级

12、数发散。6（1）因为为几何级数，且，其和为。 （2）因为 而由知，其和为由知，其和为故7设排球每一次下落后的高度依次为: ,反弹的总距离8由已知可得： L=|CD|+|DE|+|EF|+|FG|+ =习题4-31 （1）当时，级数收敛，所以该级数的收敛域为（2）当时，级数收敛，当时，级数发散，所以该级数的收敛域为（3）该幂级数只含有奇次幂项，记，则有当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径当时，级数发散，所以该级数的收敛域为（4）该幂级数只含有偶次幂项，记，则有当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径当时，级数发散，所以收敛域为2 （1）设 故 （2）设（3）设则令故（4）设习题4-41 (1)（2）（3）设（4）（5）设（6）2 注：收敛域：3 （1）（2） 4 设则5 由于很小，则习题4-51、解：（1）因为所以的傅氏展开式为。（2）因为 （奇函数在以零为