行列式的计算方法与技巧

行列式的计算方法与技巧文化教育行列式的计算方法与技巧王作中武警哈尔滨指挥学院文化教研室,黑龙江哈尔滨150070摘要从定义法,化三角形法,分离线性因子法等方面重点讨论行列式的计算与技巧关键词行列式计算方式技巧行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题,时至今13两分行或列行列式理论的应用却远不如此,它在消元法,矩阵论,坐标变换,多重积分中的变量替换,解行星运动的微分方程组,将二次型及二次型束化简为标准型等诸多的问题中都有广泛的应用,然而这些应用最终都离不开行列式的计算,它是行列式理论中的一个重要问题因此现特将行列式的计算方法归纳总结,并通过一些典型的例题介绍行列式计算的一些技巧1定义法此法是直接利用行列式的定义进行计算,它适用于行列式中有较多的零元素的情形2化三角形法此法是把行列式变换乘如下形式就是使位于对角线一侧的所有元素全部都等于零,次对角线的情形,可以用改变行或列的次序成相反次序的方法,化到注对角线的情形,所得的行列式等于主对角线元素的乘积3分离线性因子法此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式,变换它,若发现它可被一些线性因子所整除,如果这些因子互素,它也可被这些因子的积所整除,然后将行列式个别项与线性因子积的项比较,求用这乘积除行列式的商,从而求得行列式的表达式1一XA例计算行列式DXBCCBXA解把D看成系数依赖与A,B,C的一个未知量X的多项式,如果将第一列加上其余各列,则行列式可分离出因子ABCX如果将第一列加上第二列减去第三列和第四列,则分离出因子ABCX如果将第一列加上第三列减去第二列和第四列,则分离出因子BACX如果将第一列加上第四列减去第三列和第二列,则分离出因子CABX所以行列式可被AHCX,ABCX,BACX,CABX除尽,又因这四个因子互素因A,B,C,X代数独立,所以D可被它们的积除尽,即被ABCXABCXBACXCABX除尽这乘积包含项X,带有系数1,而行列式本身也包含同一项X,带有系数也为L所以DABCXABCXBACXCABXXABCXABCXABCXABC4递推关系式法此法是变换已知行列式,并按行或按列把它展开成较低阶的同类型的行列式的表示式所得到的等式为递推关系式在递推关系是右端出现几个低阶的行列式,然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列式更高阶的行列式逐次由递推关系式算出,在表达N阶行列式的递推关系中,把在递推关系式巾的N一1换I1所得到的关于N一1阶行列式的表达式代入其次,把N一2阶行列式的类似表达式代人,依此类推,直到所求N阶行列式的一般表达式为止,递推关系式法是所研究的方法中最常用的方法,它适用与较复杂的行列式5变换行列式元素法当以同一个数改变行列式的所有元素时得到一个新行列式,而对新行列式容易算出其值及其所有元素的代数余子式例计算NN2阶行列式D|,民营科技2010年第8期AAXAAAXA一AA解将XA换为AX一2A,则D可写为DAAIALAAJLX一2AIX一2A这里AX2A,的非主对角元的代数余子LX2A式皆为零,只有它主对角线的代数余子式非零,而主对角元的代数余子式皆为X一2A,故,有ANX一2AILJJ因此DX一2ANAX一2ALX一2A【XN一2A6增加行列式阶数法把N阶行列式适当地添加M行M列M1,使得到的NM阶行列式与原行列式值不变,而且这升阶后的行列式易于计算,进而求出原N阶行列式例计算N阶行列式10LA2ADLA3AFANAALA2一A0解将LL阶行列式D添加1行1列构成NL阶行列式,使其值不变,再将第2,3,NL行分别减去第一行,得即D1将这NL阶行列式再添加1行L列构成N2阶行列式,使其值也不变,将第3,4,N2列分别减去第L列,得即不妨设AALJ是N阶方阵,BAIJX,1IBIAIXAIJ,其中AILJJ是中元素A的代数余子式这样就把计算行列式LBL化为计算行列式FDAI及其若干个元素的代数余子式之和此法也可推广为设AA是N阶方阵,BAIJXJ,JJLBIIAIA或设AAIJ是N阶方阵BAIJJLKLX,IBIIAIXJA由此可以看出此法适用于行列式的各行或JLKL列必可写成两分行或列的和且任意不同两行或列中都有成比例的一1A“0O将第3,4,N2列乘以1,然后都加到第1列上,再将第3,4,N2列分别乘以一奇,一,一亡,然后都加到第转186ALZ,A2I页二ZA,十,丝阿A2一AAAXAA2AA一AAA2AAAXAA2一XAAAAAAA一XHA一AAXAAA2AXAAAAXNNN怕怕鼬AA0AA怕怕AA0A0A1000H0O110DO鼬00舢轧010民营科技秀丽浅谈在FIDIC合同条件下投标报价书的编制刘艳辉黑龙江华腾工程造价咨询有限公司,黑龙江哈尔滨150012管理纵横摘要从国际工程通用的FIDIC合同条件特性出发,分析了在国际承包工程项目投标报价过程中如何做好投标报价书的编制关键词投标书施工组织计划工程量清单于本工程的设备等另一类是对招标方的承诺如投标报价,开工日与工期,投标保证余额,履约保证的形势和资金,误期赔偿金额及限额,保证金金额及限额,月付款证书的最少金额,出具付款证书以后的最少金额和缺陷责任期等,这些都是实质性的承诺以上两类内容,投标者都应按照表格所要求内容认真填写,不留空白这是一种法律行为2现场施工组织计划的编制现场施工组织计划及标前施工组织设计,是全局性的,规划性的指导工程投标,标志标价,签订承包合同的技术经济文件“全局性“是指文件内容是全面的,发挥作用是全方位的“规划性“是指文件中要提出施工进度控制,质量控制,现场管理,各项生产要素管理的目标及技术组织措施“技术经济文件“是指其内容既有技术的,又有经济的,即解决技术问题,又考虑经济效果的管理文件,是能否中标的关键冈素,也是编制报价的重要依据因此,在编制施工组织计划前,要认真阅读招标文件,了解工程范围和责任,工期,付款条件,工程变更及相应的合同价格调整,工程量,材料设备和施工技术标准及要求,承包商获取索赔的权利和业主风险的规定等,认真进行调查研究,了解施工现场的情况,水文,地质情况,气象资料,施工道路状况,取土场状况,材料的来源及采购方式,施工现场需要的准备工作,障碍物的拆迁,参与料的处理,F临时设施环保等方面的情况根据调查得来的第一手资料,确定施工方案和施工办法,合理安排工期,质量达到的标准,月资金需要计划,临时设施设置和安排,为填报表提供准确数据,为编制报价提供可靠的依据3工程量清单的填报工程量清单的主要内容是工程数量,单价,合价及总价FIDIC合同条件为单价合同,其中的工程量表是投标书的重点内容,投标者必须掌握工程量计算规则,熟悉合同条款中有关计量与支付办法的章节,并详细符合工程量在编制报价之前,要详细了解当地材料,人工,机械价格,运距,运费打架,保险费用,税金支付,担保及保函费用,公正费用,物价上涨指数等在编制报价时,应遵循“守约,保质,薄利和重义“的原则,根据施工组织计划提供的依据,核实工程量,工料,机械台班的准确性单躅一NFI誉IC,一,一毒,一2A】A喜写I2ALAAF2一N一毒,例证明0,AIIE0D0例证明LZZINA一FA一AA证明令AAZLJA的特征多项式6A,AAMJIXA