2016年沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 M=0， 1， 2， N=x|3x+2 0，则 M（ =（ ） A 1 B 2 C 0， 1 D 1， 2 2 a 为正实数， i 为虚数单位， ，则 a=（ ） A 2 B C D 1 3已知向量 ， ，则 3| =（ ） A 83 B 63 C 57 D 23 4设 公差不为 0 的等差数列 前 n 项和，若 3 =（ ） A B C D 5如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 6如图（ 1），将水平放置且边长为 1 的正方形 对角线 叠，使 C 到 C位置折叠后三棱锥 C 俯视图如图（ 2）所示，那么其主视图是（ ） 第 2 页（共 21 页） A等边三角形 B直角三角形 C两腰长都为 的等腰三角形 D两腰长都为 的等腰三角形 7设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x 4y 的取值范围是（ ） A 11， 3） B 11， 3 C（ 11， 3） D（ 11， 3 8已知 x、 y 取值如表： x 0 1 4 5 6 8 y 1 3 5 6 7 8 从所得的散点图分析可知： y 与 x 线性相关，且 = b=（ ） A 设函数 f（ x） = ，若 f（ x）的 值域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1 2， +） B 1， 2 C（ ， 2 1， +） D 2， 1 10一个正四棱柱的顶点均在半径为 1 的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（ ） A B C D 1 11设函数 f（ x） =ex+x 2， g（ x） =3，若 实数 a， b 满足 f（ a） =0， g（ b） =0，则（ ） A 0 g（ a） f（ b） B f（ b） g（ a） 0 C f（ b） 0 g（ a） D g（ a） 0 f（ b） 12已知 别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过点 直线与双曲线 C 的左、右两支分别交于 P、 Q 两点， | | |等差数列，且 20，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题纸中横线上 13过原点向圆 x2+2x 4y+4=0 引切线，则切线方程为 14已知在 ， B=4， ，若点 M 在 三边上移动，则线段 长度不小于 的概率为 15若 ，则 = 16已知 各项为正数的等比数列，其中 ， 1，则 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 3 页（共 21 页） 17在 ，内角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c，且（ a+b+c）（ a+b c） =3 （ ）求角 C； （ ） f（ x） = 在区间 上的值域 18某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各 10名同学，测量他们的身高（单位： 获得身高数据的茎叶图如图所示： （ ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （ ）计算甲班的样本方差； （ ）现从乙班身高不低于 173同学中选取两人，求身高 176同学被抽中的概率 19在四棱锥 E ，底面 正方形， 于点 O， 底面 、 F 分别为 点，且 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）若 ，求三棱锥 F 体积 20椭圆 C： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，且 线段 中垂线上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 A（ 2， 0）且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 D、 E 两点，点 椭圆的右焦点，求证：直线 直线 斜率之和为定值 21已知函数 ， g（ x） =a（ x 1） （ ）求函数 f（ x）在点（ 4， f（ 4）处的切线方程； （ ）若对任意 x （ 0， +），不等式 g（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值的集合 M； （ ）当 a M 时，讨论函数 h（ x） =f（ x） g（ x）的单调性 选修 4何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22（ A）如图， 接圆 O， 分 圆于点 D，过点 B 作圆 O 的切线交直线 点 E 第 4 页（共 21 页） （ ）求证： ）求证： E=C 选修 4标系与参数方程 23在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 ，点 以极点 O 为原点，以极轴为 x 轴正半轴 建立直角坐标系斜率为 1 的直线 l 过点 M，且与曲线 C 交于 A，B 两点 （ ）求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （ ）求点 M 到 A， B 两点的距离之积 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2| |2x a|， a R （ 1）当 a=3 时，解不等式 f（ x） 0； （ 2）当 x （ ， 2）时， f（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 M=0， 1， 2， N=x|3x+2 0，则 M（ =（ ） A 1 B 2 C 0， 1 D 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出集合 M，根据集合的基本运算即可得到结论 【解答】 解： M=0， 1， 2， N=x|3x+2 0=x|x 2 或 x 1， x|1 x 2， M（ =1， 2， 故选： D 2 a 为正实数， i 为虚数单位， ，则 a=（ ） A 2 B C D 1 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 根据复数的运算法则，我们易将 化为 m+m， n R）的形式，再根据|m+ ，我们易构造一个关于 a 的方程，解方程即可得到 a 的值 【解答】 解： =1 | |=|1 =2 即 由 a 为正实数 解得 a= 故选 B 3已知向量 ， ，则 3| =（ ） A 83 B 63 C 57 D 23 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 直接利用数量积的坐标运算得答案 【解答】 解： ， ， ， ， 第 6 页（共 21 页） 故选： A 4设 公差不为 0 的等差数列 前 n 项和，若 3 =（ ） A B C D 【考点】 等差数列的性质；等差数列的前 n 项和 【分析】 根据 3出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论 【解答 】 解：设等差数列的公差为 d，则 3 （ d） 3（ d）， ， = = = 故选 A 5如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解 【解答】 解：由秦九韶算法， S=a0+a1+a2+， 故选： C 6如图（ 1），将水平放置且边长为 1 的正方形 对角线 叠，使 C 到 C位置折叠后三棱锥 C 俯 视图如图（ 2）所示，那么其主视图是（ ） 第 7 页（共 21 页） A等边三角形 B直角三角形 C两腰长都为 的等腰三角形 D两腰长都为 的等腰三角形 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可 【解答】 解：由俯视图可知，平面 C平面 其主视图如图所示， 则为等腰三角形其腰长为 = ， 故选： C 7设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x 4y 的取值范围是（ ） A 11， 3） B 11， 3 C（ 11， 3） D（ 11， 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行 判断，从而得出目标函数 z=3x 4y 的取值范围 【解答】 解： 变量 x， y 满足约束条件 ， 第 8 页（共 21 页） 目标函数为： z=3x 4y， 直线 x y+2=0 与 x+y 8=0 交于点 A（ 3， 5）， 直线 x+y 8=0 与 x 5y+10=0 交于点 B（ 5， 3）， 分析可知 z 在点 A 处取得最小值， 11， z 在点 B 处取得最大值， 5 12=3， 11 z 3， 故选： A 8已知 x、 y 取值如表： x 0 1 4 5 6 8 y 1 3 5 6 7 8 从所得的散点图分析可知： y 与 x 线性相关，且 = b=（ ） A 考点】 线性回归方程 【分析】 求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解 b 【解答】 解：由题意知， ， ，从而代入回归方程有b= 故选 C 9设函数 f（ x） = ，若 f（ x）的值域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1 2， +） B 1， 2 C（ ， 2 1， +） D 2， 1 【考点】 函数的值域 【分析】 根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可 第 9 页（共 21 页） 【解答】 解：当 x 2 时，函数 f（ x） =2x+a 为增函数，则 f（ x） f（ 2） =4+a， 当 x 2 时，函数 f（ x） = x） +增函数，则 f（ x） f（ 2） = 2）+a2=+ 要使函数 f（ x）的值域为 R， 则 4+a 2+ a 2 0， 则 a 2 或 a 1， 故选： A 10一个正四棱柱的顶点均在半径为 1 的球面上 ，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（ ） A B C D 1 【考点】 球内接多面体 【分析】 设正四棱柱的底面边长为 a，高为 h，则 2a2+ 2 得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长 【解答】 解：设正四棱柱的底面边长为 a，高为 h， 则 2a2+ 2 ，当且仅当 h= a= 时取等号， 正四棱柱的侧面积 S=44 ， 该正四棱柱的侧面积最大时， h= ， a=1， 故选： D 11设函数 f（ x） =ex+x 2， g（ x） =3，若实数 a， b 满足 f（ a） =0， g（ b） =0，则（ ） A 0 g（ a） f（ b） B f（ b） g（ a） 0 C f（ b） 0 g（ a） D g（ a） 0 f（ b） 【考点】 函数单调性的性质 【分析】 先判断函数 f（ x）， g（ x）在 R 上的单调性，再利用 f（ a） =0， g（ b） =0 判断 a，b 的取值范围，即可得到正确答案 【解答】 解： y= y=x 2 是关于 x 的单调递增函数， 函数 f（ x） =ex+x 2 在 R 上单调递增， 分别作出 y=y=2 x 的图 象如右图所示， f（ 0） =1+0 2 0， f（ 1） =e 1 0， 又 f（ a） =0， 0 a 1， 同理， g（ x） =3 在 R+上单调递增， g（ 1） = 3= 2 0， g（ ） = +（ ） 2 3= 0， 又 g（ b） =0， 1 ， g（ a） =3 g（ 1） = 3= 2 0， f（ b） =eb+b 2 f（ 1） =e+1 2=e 1 0， g（ a） 0 f（ b） 故选： D 第 10 页（共 21 页） 12已知 别是双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过点 直线与双曲线 C 的左、右两支分别交于 P、 Q 两点， | | |等差数列，且 20，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 |m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得 |m+2a，|4a+m， |4a，由条件可得 等边三角形，可得 m+2a=4a，解得 m=2a，在 ， 由余弦定理可得 c= a，由离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：设 |m，由双曲线的定义可得 |2a=m+2a， 由 | | |等差数列，可得 2| 即有 |2（ 2a+m） m=4a+m， 可得 |4a， 由双曲线的定义，可得 | 2a=m+2a， 由 20，可得 0， 即有 等边三角形，可得 m+2a=4a，解得 m=2a， 在 ，由余弦定理可得 |=|+| 2| 即为 4622a4a（ ）， 即有 48 c= a， 可得 e= = 故选： D 第 11 页（共 21 页） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题纸中横线上 13过原点向圆 x2+2x 4y+4=0 引切线，则切线方程为 或 x=0 【考点】 圆的切线方程 【分析】 求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可 【解答】 解：圆的标准方程为（ x 1） 2+（ y 2） 2=1， 则圆心为（ 1， 2），半径 R=1， 若切线斜率 k 不存在，即 x=0 时，满足条件 若切线斜率 k 存在，则设切线方程为 y= 即 y=0， 圆心到直线的距离 d= =1， 得 |k 2|= ， 平方得 4k+4=1+ 即 k= ，此时切线方程为 ， 综上切线方程为： 或 x=0， 故答案为： 或 x=0 14已知在 ， B=4， ，若点 M 在 三边上移动，则线段 长度不小于 的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可 【解答】 解：若线段 长度不小于 ，则 M 在线段 ， 其中 E= ， ， = =1， 第 12 页（共 21 页） 则 ， 三角形的周长 l=4+4+6=14， 则 F+D=14 2=12 4 ， 则线段 长度不小于 的概率 P= = ， 故答案为： 15若 ，则 = 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可 【解答】 解： ，则 =2+ ） =2+ ）1=2 1= ， 故答案为： 16已知 各项为正数的等比数列，其中 ， 1，则 45 【考点】 等比数列的性质；等比数列的前 n 项和 【分析】 设正项等比数列 公比为 q 0，可得： 等比数列，即可解出 【解答】 解：设正项等比数列 公比为 q 0， ， 1， 等比数列， ， =（ ，解得 ， （ 21 9） 2=（ 9 3） （ 21）， 解得 5 故答案为： 45 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，内角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c，且（ a+b+c）（ a+b c） =3 （ ）求角 C； 第 13 页（共 21 页） （ ） f（ x） = 在区间 上的值域 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）根据余弦定理求出 C 的值即可； （ ）求出 f（ x）的解析式，并将函数 f（ x）化简，结合 x 的范围，求出 f（ x）的值域即可 【解答】 解：（ ）由（ a+b+c）（ a+b c） =3 得： a2+c2= ， 在 ， ； （ ）由（ ）可知 ， = = = ， ， ， ， ， 函数 f（ x）的值域为 18某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各 10名同学，测量他们的身高（单位： 获得身高数据的茎叶图如图所示： （ ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （ ）计算甲班的样本方差； （ ）现从乙班身高不低于 173同学中选取两人，求身高 176同学被抽中的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差 【分析】 （ ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高 （ ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差 第 14 页（共 21 页） （ ）身高不低于 173情况分别是 173176178178181用列举法能求出身高 176同学被抽中的概率 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高 （ ） 甲班的样本方差为： 2+2+2+2=（ ）身高不低于 173情况分别是 173176178178181 取出两人的基本事件空间为： =， ， ，共 10 种情况 身高 176学被抽到的事件空间为： ， ，共 4 中情况 所求事件的概率为 19在四棱锥 E ，底面 正 方形， 于点 O， 底面 、 F 分别为 点，且 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）若 ，求三棱锥 F 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）连结 正方形 ， 于点 O，由三角形的中位线定理可得 后利用线面平行的判 定得答案； （ ）由 底面 由 线面垂直的判定得 平面一步得到 正方形 ，由线段间的长度关系得到 由线面垂直的判定得答案； （ ）由 ，求得 ，进一步得到 底面 后利用等积法求得三棱锥F 体积 【解答】 证明：（ ）连结 在正方形 ， 于点 O， 第 15 页（共 21 页） 则 O 为 中点， 又 F 是 点， 中位线， 面 面 平面 （ ） 底面 面 E=C， 平面 面 在正方形 ， 于点 O，且 ， ， 在 ， G 是 点， D=E， 平面 解：（ ） ， ， F 是 点，且 底面 20椭圆 C： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，且 线段 中垂线上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过 点 A（ 2， 0）且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 D、 E 两点，点 椭圆的右焦点，求证：直线 直线 斜率之和为定值 【考点】 椭圆的简单性质 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （ ）设椭圆 C 的焦距为 2c，则 c， 0），由点 P，且 线段 中垂线上，求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的方程 （ ）由（ ）知 1， 0），设直线 l： y=k（ x 2），与椭圆联立，得（ 1+282=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线 直线 斜率之和为定值 0 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ）设椭圆 C 的焦距为 2c，则 c， 0）且 a2=b2+ 由点 P，且 线段 中垂线上，得 | 则 ，解得 c=1， 又 ， ，所以 b=1， 所求椭圆 C 的方程为 证明：（ ）由（ ）可知 1， 0）， 由题意可设直线 l： y=k（ x 2）与椭圆的交点 D（ E（ 由 ，得 ， 整理得（ 1+282=0， 则 ，且 ， = = 23（ x1+4= = ， 即直线 直线 斜率之和为定值 0 第 17 页（共 21 页） 21已知函数 ， g（ x） =a（ x 1） （ ）求函数 f（ x）在点（ 4， f（ 4）处的切线方程 ； （ ）若对任意 x （ 0， +），不等式 g（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值的集合 M； （ ）当 a M 时，讨论函数 h（ x） =f（ x） g（ x）的单调性 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出原函数的导函数，得到 f（ 4） = f（ 4） =函数 f（ x）在点（ 4，f（ 4）的切线方程为 y e2=x 4），即 y=3 （ ）求出原函数的导函数，根据 a 的取值对函数的单调性加以判断，当 a=1 时， g（ x）在区间（ 0， 1）上单调递减，在区间（ 1， +）上单调递增，对任意 x （ 0， +），不等式 g（ x） g（ 1） =0 恒成立，符合题意，即 a=1，从而求出实数 a 的取值的集合 M； （ ）把 a 的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间 【解答】 解：（ ） ， f（ 4） = f（ 4） = 函数 f（ x）在点（ 4， f（ 4）的切线方程为 y e2=x 4）， 即 y=3 （ ）由 g（ 1） =0 及题设可知，对任意 x （ 0， +），不等式 g（ x） g（ 1）恒成立， 函数 g（ x） =a（ x 1）必在 x=1 处取得极小值，即 g（ 1） =0， g（ x） = a， g（ 1） =1 a=0，即 a=1， 当 a=1 时， g（ x） = x （ 0， 1）， g（ x） 0； x （ 1， +）， g（ x） 0， g（ x）在区间（ 0， 1）上单调递减，在区间（ 1， +）上单 调递增， 则 g（ x） g（ 1） =0 对任意 x （ 0， +），不等式 g（ x） g（ 1） =0 恒成立，符合题意，即 a=1， M=1； （ ）由（ ） a=1， 函数 ，其定义域为（ 0， +）， 求得 ， 令 m（ x） =h（ x）， 为区间（ 0， +）上的增函数， 设 函数 m（ x）的零点，即 ，则 ， 当 0 x ， m（ x） 0；当 x ， m（ x） 0， 函数 m（ x） =h（ x）在区间（ 0， 为减函数，在区间（ +）上为增函数， 第 18 页（共 21 页） ， 函数 h（ x）在区间（ 0， +）上为增函数 选修 4何 证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22（ A）如图， 接圆 O， 分 圆于点 D，过点 B 作圆 O 的切线交直线 点 E （ ）求证： ）求证： E=C 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ ）根据 圆 O 的切线，证明 分 明 可证明 ）证明 得 E=D，利用 分 可证 明E=C 【解答】 证明：（ ） 圆 O 的切线， 分 （ ）在 ， E= E， ， E=D， 分 C， E=C 选修 4标系与参数方程 23在极坐标系中 曲线 C 的极坐标方程为 ，点 以极点 O 为原点，以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系斜率为 1 的直线 l 过点 M，且与曲线 C