湖南省衡阳县六中2014届高三数学第一次月考试题 文（含解析）湘教版

1 湖南省衡阳市衡阳县六中湖南省衡阳市衡阳县六中 20142014 届届高三 上 第一次月考高三 上 第一次月考 数学试卷 文科 数学试卷 文科 参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共 9 小题 每小题 5 分 共 45 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 5 分 设全集 U 1 2 3 4 5 6 7 P 1 2 3 4 5 Q 3 4 5 6 7 则 P UQ A 1 2 B 3 4 5 C 1 2 6 7 D 1 2 3 4 5 考点 交 并 补集的混合运算 专题 计算题 分析 根据全集 U 和补集的运算求出 CUQ 再由交集的运算求出 P CUQ 解答 解 全集 U 1 2 3 4 5 6 7 Q 3 4 5 6 7 CUQ 1 2 由 P 1 2 3 4 5 得 P CUQ 1 2 故选 A 点评 本题的考点是集合的混合运算 直接利用运算的定义求出 是基础题 2 5 分 设复数 z1 1 i z2 2 bi 若 z1 z2为实数 则 b A 2B 1C 1D 2 考点 复数的基本概念 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 把 z1 1 i z2 2 bi 代入 z1 z2 整理出实部和虚部 再令实部为零求出 b 的值 解答 解 z1 1 i z2 2 bi z1 z2 1 i 2 bi 2 b 2 b i R 2 b 0 b 2 故选 D 点评 本题考查了复数的乘法运算 以及复数是实数的等价条件 属于基础题 3 5 分 已知函数 x 则函数 f x 的零点个数为 2 A 1B 2C 3D 4 考点 分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数的零点 专题 计算题 分析 在函数的每一段上求出零点 从而得出函数的所有零点 解答 解 由得 x 4 由得 x 4 或 x 0 故答案 C 点评 本题考查求函数零点的方法 但本题为错题 建议 x 0 时 函数解析式为 x x 4 4 5 分 在等比数列 an 中 若 a3a6 9 a2a4a5 27 则 a2的值为 A 2B 3C 4D 9 考点 等比数列的通项公式 专题 等差数列与等比数列 分析 设公比为 q 可得 9 27 两式相除可得答案 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q 由题意可得 a3a6 9 a2a4a5 27 可得 a2 3 故选 B 点评 本题考查等比数列的通项公式 属基础题 5 5 分 下列有关命题的说法正确的是 A 命题 若 x2 1 则 x 1 的否命题为 若 x2 1 则 x 1 B x 1 是 x2 5x 6 0 的必要不充分条件 3 C 命题 若 x y 则 sinx siny 的逆否命题为真 D 命题 x0 R x02 x0 1 0 的否定是 对任意 x R x2 x 1 0 考点 命题的真假判断与应用 专题 阅读型 分析 题目给出的四个命题 A 是写出一个命题的否命题 既要否定条件 又要否定结论 B 是分析充要条件问题 由 x 1 一定能得到 x2 5x 6 0 反之 由 x2 5x 6 0 得到的 x 的值还可能是 6 C 是考查互为逆否命题的两个命题共真假 D 是考查特称命题的否定 特称命题的否定式全称命题 解答 解 命题 若 x2 1 则 x 1 的否命题为 若 x2 1 则 x 1 所以 选项 A 不正 确 由 x 1 能够得到 x2 5x 6 0 反之 由 x2 5x 6 0 得到 x 1 或 x 6 所以 x 1 是 x2 5x 6 0 的充分不必要条件 所以 选项 B 不正确 若 x y 则 sinx siny 为真命题 所以其逆否命题也为真命题 所以 选项 C 正确 命题 x0 R 的否定是 对 x R x2 x 1 0 所以 选项 D 不正确 故选 C 点评 本题考查了命题的真假判断与应用 考查了一个命题的否命题和逆否命题 考查了 特称命题的否定 注意全称命题和特称命题格式的书写 此题是基础题 6 5 分 2009 四川 已知函数 f x sin x x R 下面结论错误的是 A 函数 f x 的最小正周期为 2 B 函数 f x 在区间 0 上是增函数 C 函数 f x 的图象关于直线 x 0 对称 D 函数 f x 是奇函数 考点 三角函数的周期性及其求法 正弦函数的奇偶性 正弦函数的单调性 正弦函数的 对称性 专题 常规题型 分析 先利用三角函数的诱导公式化简 f x 利用三角函数的周期公式判断出 A 对 利用 余弦函数图象判断出 B 利用三角函数的奇偶性判断出 C D 解答 解 y sin x cosx T 2 A 正确 y cosx 在 0 上是减函数 y cosx 在 0 上是增函数 B 正确 4 由图象知 y cosx 关于直线 x 0 对称 C 正确 y cosx 是偶函数 D 错误 故选 D 点评 本题考查三角函数的诱导公式 三角函数的周期公式 三角函数的奇偶性 7 5 分 2009 福建 若双曲线 1 a 0 的离心率为 2 则 a A 2B C D 1 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 分析 由题意知 2 a 0 由此可以求出 a 的值 解答 解 2 a 0 a 故选 B 点评 本题考查双曲线的离心率 比较简单 会利用公式就能求出实数 a 8 5 分 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示 则这个几何体的体积是 A 3B C 2D 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 根据已知中三视图及其标识的相关几何量 我们易判断这是一个直三棱柱 且底面 5 为直角边长分别等于 1 和的直角三角形 高为 代入棱柱体积公式即可得到 答案 解答 解 由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱 底面为直角三角形 两直角边长分别等于 1 和 棱柱高等于 故几何体的体积 V 1 故选 D 点评 本题考查的知识点是由三视图答案求体积 其中根据三视图判断几何体的形状 及 棱长等几何量 是解答的关键 9 5 分 已知 f x g x 都是定义在 R 上的函数 g x 0 f x g x f x g x f x axg x 在有穷数列 n 1 2 10 中 任意取前 k 项相加 则前 k 项和大于的概率是 A B C D 考点 概率与函数的综合 数列与函数的综合 分析 令 由题意可知 0 a 1 由 可知 由此可知 Sn的表达式 由 得 n 4 由此能够求出前 k 项和大于的概率 解答 解 令 则 故 h x ax 单调递减 所以 0 a 1 又 解得 则 其前 n 项和 6 由 得 n 4 故所求概率 故选 D 点评 本题考查概率的求法和导数的性质 考查运算求解能力 推理论证能力 考查化归 与转化思想 对数学思维的要求比较高 有一定的探索性 综合性强 难度大 易 出错 是高考的重点 解题时要认真审题 仔细解答 注意概率计算公式的灵活运 用 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 10 5 分 函数 y 0 a 1 的定义域是 x 考点 函数的定义域及其求法 专题 计算题 分析 由根式内部的对数式大于等于 0 然后求解对数不等式即可得到函数的定义域 解答 解 要使原函数有意义 则 loga 3x 2 0 0 a 1 0 3x 2 1 解得 所以 原函数的定义域为 x 故答案为 x 点评 本题考查了函数的定义域及其求法 解答时注意对数式本身有意义 是基础题 11 5 分 2010 广州模拟 如图 函数 f x 2x g x x2 若输入的 x 值为 3 则 输出的 h x 的值为 9 7 考点 选择结构 专题 图表型 分析 分析程序中各变量 各语句的作用 再根据流程图所示的顺序 可知 该程序的作 用是计算分段函数 的函数值 解答 解 由图可知 该程序的作用是计算分段函数 的函数值 当输入 x 3 时 f 3 23 8 g 3 32 9 f 3 g 3 输出的是 g 3 9 故答案为 9 点评 根据流程图 或伪代码 写程序的运行结果 是算法这一模块最重要的题型 其处 理方法是 分析流程图 或伪代码 从流程图 或伪代码 中即要分析出计算的 类型 又要分析出参与计算的数据 如果参与运算的数据比较多 也可使用表格对 数据进行分析管理 建立数学模型 根据第一步分析的结果 选择恰当的数学 模型 解模 12 5 分 函数 y loga x 1 1 a 0 a 1 的图象必定经过的点坐标为 2 1 考点 对数函数的单调性与特殊点 专题 函数的性质及应用 分析 令对数的真数等于 1 求得 x y 的值 即可求得函数的图象经过的定点坐标 解答 解 令 x 1 1 解得 x 2 求得 y 1 故函数的图象经过定点 2 1 故答案为 2 1 点评 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点 属于中档题 13 5 分 2013 锦州二模 已知 x y 满足约束条件 则 z 2x 4y 的最小值 是 15 考点 简单线性规划 8 专题 计算题 数形结合 分析 本题考查的知识点是简单线性规划的应用 我们要先画出满足约束条件 的平面区域 然后分析平面区域里各个角点 然后将其代入 z 2x 4y 中 求出 z 2x 4y 的最小值 解答 解 根据约束条件画出可行域 由图得当 z 2x 4y 过点 A 时 z 2x 4y 取最小值 15 故答案为 15 点评 在解决线性规划的小题时 我们常用 角点法 其步骤为 由约束条件画出可行 域 求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证 求出最优 解 14 5 分 若不等式 1 log 0 有解 则实数 a 的范围是 0 1 1 10 考点 对数函数图象与性质的综合应用 专题 综合题 分析 不等式 1 log 0 等价于 log logaa 对底数分 类讨论 利用 ax 0 即可确定实数 a 的范围 解答 解 不等式 1 log 0 等价于 log logaa 当 0 a 1 时 0 10 ax a 由 0 a 1 知 10 10 a 9 而 ax 0 所以不等 式总有解 即 0 a 1 满足 当 a 1 时 10 ax a 即 ax 10 a 由于 ax 0 有解 只需使 10 a 0 即有解 所以 1 a 10 9 综上 0 a 1 或 1 a 10 故答案为 0 1 1 10 点评 本题考查对数函数的性质 考查分类讨论的数学思想 考查学生分析解决问题的能 力 属于中档题 15 5 分 2012 安徽 若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等 即 AB CD AC BD AD BC 则 写出所有正确结论编号 四面体 ABCD 每组对棱相互垂直 四面体 ABCD 每个面的面积相等 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90 而小于 180 连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 考点 棱锥的结构特征 专题 压轴题 阅读型 分析 将四面体 ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的对角线 由于三组对棱分别相等 所以平行六面体为长方体 结合长方体的性质判断 四面体 ABCD 的每个面是全等的三角形 面积是相等的 由 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角 形内的三个内角 它们之和为 180 连接四面体 ABCD 每组对棱中点构成菱形 线段互垂直平分 由 设所在的长方体长宽高分别为 a b c 则每个顶点出发的三条棱长分别为 易知能构成三角形 解答 解 将四面体 ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的对角线 由于三组对棱分别 相等 所以平行六面体为长方体 由于长方体的各面不一定为正方形 所以同一面上的面对角线不一定垂直 从而每 组对棱不一定相互垂直 错误 四面体 ABCD 的每个面是全等的三角形 面积是相等的 正确 由 四面体 ABCD 的每个面是全等的三角形 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三 条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角 它们之和为 180 错 误 连接四面体 ABCD 每组对棱中点构成菱形 线段互垂直平分 正确 由 设所在的长方体长宽高分别为 a b c 则每个顶点出发的三条棱长分别为 任意两边之和大于第三边 能构成三角形 正 确 故答案为 10 点评 本题考查空间几何体的结构特征 线线位置故选 要具有良好的转化 推理 论证 能力 三 解答题 前三题各 12 分 后三道题各 13 分 满分 75 分 解答应写出文字说明 证 明过程或演算步骤 16 12 分 2012 安徽 设 ABC 的内角 A B C 所对边的长分别为 a b c 且有 2sinBcosA sinAcosC cosAsinC 求角 A 的大小 若 b 2 c 1 D 为 BC 的中点 求 AD 的长 考点 余弦定理 三角函数的恒等变换及化简求值 专题 计算题 分析 根据 2sinBcosA sinAcosC cosAsinC 可得 2sinBcosA sin A C 从而可得 2sinBcosA sinB 由此可求求角 A 的大小 利用 b 2 c 1 A 可求 a 的值 进而可求 B 利用 D 为 BC 的中点 可求 AD 的长 解答 解 2sinBcosA sinAcosC cosAsinC 2sinBcosA sin A C A C B sin A C sinB 0 2sinBcosA sinB cosA A 0 A b 2 c 1 A a2 b2 c2 2bccosA 3 b2 a2 c2 B D 为 BC 的中点 11 AD 点评 本题考查余弦定理的运用 考查三角函数知识 解题的关键是确定三角形中的边与 角 17 12 分 2013 南充三模 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是边长为 4 的正方 形 PA 平面 ABCD E 为 PB 中点 PB 4 I 求证 PD 面 ACE 求三棱锥 E ABC 的体积 考点 直线与平面平行的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 空间位置关系与距离 分析 I 连接 BD 交 AC 于 F 连接 EF 证明 EF PD 利用线面平行的判定定理 可得 结论 II 取 AB 中点为 G 连接 EG 证明 EG 平面 ABCD 即可求三棱锥 E ABC 的体 积 解答 I 证明 连接 BD 交 AC 于 F 连接 EF 四边形 ABCD 为正方形 F 为 BD 的中点 E 为 PB 的中点 EF PD 又 PD 面 ACE EF 面 ACE PD 平面 ACE 5 分 解 取 AB 中点为 G 连接 EG E 为 AB 的中点 EG PA PA 平面 ABCD EG 平面 ABCD 在 Rt PAB 中 PB 4 AB 4 则 PA 4 EG 2 10 分 12 分 12 点评 本题考查线面平行 考查三棱锥体积的计算 考查学生分析解决问题的能力 属于 中档题 18 12 分 2013 南充三模 M 公司从某大学招收毕业生 经过综合测试 录用了 14 名 男生和 6 名女生 这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示 单位 分 公司规定 成绩 在 180 分以上者到 甲部门 工作 180 分以下者到 乙部门 工作 I 求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值 II 如果用分层抽样的方法从 甲部门 人选和 乙部门 人选中共选取 5 人 再从这 5 人中选 2 人 那么至少有一人是 甲部门 人选的概率是多少 考点 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 茎叶图 众数 中位数 平均数 专题 概率与统计 分析 利用中位数 平均值的意义即可得出 利用分层抽样及列举法 古典概型的计算公式即可得出 解答 解 男生共 14 人 中间两个成绩是 175 和 176 它们的平均数为 175 5 因此男生的成绩的中位数是 175 5 女生的平均成绩 181 用分层抽样的方法从 甲部门 和 乙部门 20 人中抽取 5 人 每个人被抽 中的概率是 根据茎叶图 甲部门 人选有 8 人 乙部门 人选有 12 人 所以选中的 甲部门 人选有 2 人 乙部门 人选有 3 人 记选中的 甲部门 的人员为 A1 A2 选中的 乙部门 人员为 B C D 从这 5 人 中选 2 人的所以可能情况为 13 A1 A2 A1 B A1 C A1 D A2 B A2 C A2 D B C B D C D 共 10 种 其中至少有 1 人是 甲部门 人选的结果有 7 种 因此 至少有 1 人是 甲部门 人选的概率是 点评 熟练掌握中位数 平均值的意义 分层抽样及列举法 古典概型的计算公式是解题 的关键 19 13 分 某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 台 GH 型高科技产品的总任务 已知每 台 GH 型产品由 4 个 G 型装置和 3 个 H 型装置配套组成 每个工人每小时能加工 6 个 G 型装 置或 3 个 H 型装置 现将工人分成两组同时开始加工 每组分别加工一种装置 设加工 G 型装置的工人有 x 人 他们加工完 G 型装置所需时间为 g x 其余工人加工完 H 型装置 所需时间为 h x 单位 小时 可不为整数 1 写出 g x h x 的解析式 2 比较 g x 与 h x 的大小 并写出这 216 名工人完成总任务的时间 f x 的解析 式 3 应怎样分组 才能使完成总任务用的时间最少 考点 函数模型的选择与应用 函数的最值及其几何意义 分段函数的应用 专题 应用题 函数思想 数学模型法 分析 1 由题意 得出每小时加工的 G 型装置和 H 型装置的个数 求出总的个数 即可 得出写出 g x h x 的解析式 2 用作差法比较大小即可 得出分配人数 x 的范围与两函数值大小的关系 总加 工时间以后加工完成的零件所需的时间计 由此利用分段函数写出 f x 的解析式 3 求函数 f x 的最小值 算出最小值时的自变量即得 由于函数 f x 是一 个分段函数 故要对每一段上的最值作出研究 再进行比较得到函数的最小值 解答 解 1 由题意知 需加工 G 型装置 4000 个 加工 H 型装置 3000 个 所用工人分 别为 x 人 216 x 人 g x h x 即 g x h x 0 x 216 x N 2 g x h x 0 x 216 216 x 0 当 0 x 86 时 432 5x 0 g x h x 0 g x h x 当 87 x 216 时 432 5x 0 g x h x 0 g x h x 14 f x 3 完成总任务所用时间最少即求 f x 的最小值 当 0 x 86 时 f x 递减 f x f 86 f x min f 86 此时 216 x 130 当 87 x 216 时 f x 递增 f x f 87 f x min f 87 此时 216 x 129 f x min f 86 f 87 加工 G 型装置 H 型装置的人数分别为 86 130 或 87 129 点评 本题考查函数模型的选择与应用 根据实际问题选择合适的模型是解决实际问题的 变化关系常用的方法 其步骤是 建立函数模型 求解函数 得出结论 再反馈回 实际问题中去 20 13 分 2012 广东 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C1 a b 0 的左焦点为 F1 1 0 且点 P 0 1 在 C1上 1 求椭圆 C1的方程 2 设直线 l 同时与椭圆 C1和抛物线 C2 y2 4x 相切 求直线 l 的方程 考点 直线与圆锥曲线的关系 椭圆的标准方程 专题 综合题 压轴题 分析 1 因为椭圆 C1的左焦点为 F1 1 0 所以 c 1 点 P 0 1 代入椭圆 得 b 1 由此能求出椭圆 C1的方程 2 设直线 l 的方程为 y kx m 由 得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 0 因为直线 l 与椭圆 C1相切 所以 16k2m2 4 1 2k2 2m2 2 0 由此能求出直线 l 的方程 解答 解 1 因为椭圆 C1的左焦点为 F1 1 0 所以 c 1 15 点 P 0 1 代入椭圆 得 即 b 1 所以 a2 b2 c2 2 所以椭圆 C1的方程为 2 直线 l 的斜率显然存在 设直线 l 的方程为 y kx m 由 消去 y 并整理得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 0 因为直线 l 与椭