应用根与系数关系莫忘判别式

应用根与系数关系莫忘判别式应用根与系数关系莫忘判别式 一元二次方程中根与系数的关系称作韦达定理 韦达定理在解决与一元二一元二次方程中根与系数的关系称作韦达定理 韦达定理在解决与一元二 次方程有关的实际问题中有着广泛的应用 但在应用韦达定理时 很多同学往次方程有关的实际问题中有着广泛的应用 但在应用韦达定理时 很多同学往 往忽视一个重要制约条件 这就是要先保证该一元二次方程有实数根 满足根往忽视一个重要制约条件 这就是要先保证该一元二次方程有实数根 满足根 的判别式 如果一元二次方程没有实数根 则也不存在根与系数的关系 因的判别式 如果一元二次方程没有实数根 则也不存在根与系数的关系 因 此 我们在应用韦达定理时要牢记判别式条件 此 我们在应用韦达定理时要牢记判别式条件 例例 1 已知已知 x x 是方程是方程 2x 2x 1 3m 0 的两个实数根 且的两个实数根 且 x x 2 x x 0 那么实数 那么实数 m 的取值范围是的取值范围是 解析 解析 方程有两个实数根 则 方程有两个实数根 则 2 4 2 1 3m 0 m 由韦达定理由韦达定理 x x 1 x x 又 又 x x 2 x x 0 即有即有 2 0 m 实数实数 m 的取值范围是的取值范围是 m 点拨 应用韦达定理的前提是要保证方程存在实数根 点拨 应用韦达定理的前提是要保证方程存在实数根 例例 2 若关于若关于 x 的一元二次方程的一元二次方程 3x 3 a b x 4ab 0 的两个实数根的两个实数根 x x 满足关系式满足关系式 x x 1 x x 1 x 1 x 1 判断 判断 a b 4 是否正确 若正确 请加以证明 若不正确 请举一反例 是否正确 若正确 请加以证明 若不正确 请举一反例 解析 解析 由由 x x 1 x x 1 x 1 x 1 变形得 变形得 x x 3 x x 1 0 由韦达定理有由韦达定理有 x x a b x x ab 即有 即有 a b 4ab 1 0 a b 4ab 1 方程有两个实数根 由根的判别式方程有两个实数根 由根的判别式 9 a b 48ab 0 a b ab 4ab 1 ab 可得 可得 4ab 3 a b 4ab 1 4 点拨 由根的判别式作中间条件推导出点拨 由根的判别式作中间条件推导出 4ab 34ab 3 是本题的解题关键 是本题的解题关键 例例 3 设设 x x 是方程是方程 2x 4mx 2m 3m 2 0 的两个实数根 当的两个实数根 当 m 为为 何值时何值时 x x有最小值 并求出这个最小值 有最小值 并求出这个最小值 解析 解析 由根的判别式由根的判别式 16 m 8 2m 3m 2 0 m 由韦达定理有由韦达定理有 x x 2m x x 设设 y x x x x 2 x x 4 m 2m 3m 2 2 m 3m 2 2 m y 关于关于 m 的二次函数对称轴的二次函数对称轴 m m 时 时 y 随随 m 的增大而减小的增大而减小 m 时 时 y 有最小值 即有最小值 即 x x有最小值 最小值为 有最小值 最小值为 2 点拨 由根的判别式确定点拨 由根的判别式确定 m m 的取值范围 从而正确地确定二次函数区间上的取值范围 从而正确地确定二次函数区间上 的最小值 的最小值 练习 练习 1 若关于 若关于 x 的方程的方程 2x 2x 3m 1 0 有两个实数根有两个实数根 x x 且 且 x x x x 4 则实数 则实数 m 的取值范围是 的取值范围是 A m B m C m D m 2 ABC 的一边长为的一边长为 5 另两边长恰为方程 另两边长恰为方程 2x 12x m 0 的两根 则的两根 则 m 的取值范围是的取值范