2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1.3两角和与差的正切讲义苏教版必修4.docx

3.1.3两角和与差的正切学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.两角和与差的正切公式T()：tan().T()：tan().思考：公式T有何结构特征和符号规律？提示(1)结构特征：公式T()的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和(2)符号规律：分子同，分母反1tan 15_；tan 75_.22tan 15tan(4530)2.tan 752.2设，为锐角，且tan ，tan 是方程6x25x10的根，则tan()_.1tan tan ，tan tan .tan()1.3._.原式tan(4515)tan 30.条件求值问题【例1】已知tan()5，tan()3，求tan 2，tan 2，tan.思路点拨：2()()，2()()，tan可以用tan 2表示出来解tan 2tan()()，tan 2tan()()，tan.求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂.1已知tan()，tan，求tan.解tantan.给值求角【例2】已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，求.思路点拨：利用根与系数的关系求tan tan 及tan tan 的值，进而求出tan()的值，然后由的取值范围确定的值解因为tan ，tan 是方程x23x40的两根，所以tan tan 30，tan tan 40，所以tan 0，tan 0.又因为，所以，所以0.又因为tan()，所以.1给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角2选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好2已知tan()，tan ，且，(0，)，则2_.由于tan tan()，所以，又tan(2)tan()1，而，所以2(，0)，故2.T()公式的变形及应用探究问题1你能结合T()的公式完成下列空格吗？(1)T()的变形：tan tan _.tan tan tan tan tan()_.tan tan _.(2)T()的变形：tan tan _.tan tan tan tan tan()_.tan tan _.提示：(1)tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1(2)tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan tan tan()tan()tan tan 12结合T()公式想一想下列式子如何化简？(1)_；(2)_.提示：(1)tan(2)tan【例3】已知ABC中，tan Btan Ctan Btan C，且tan Atan Btan Atan B1，试判断ABC的形状思路点拨：充分结合T()的公式及变形求解解tan A tan Btan Atan B1，(tan Atan B)tan Atan B1，tan(AB).又0AB，AB，C，tan Btan Ctan Btan C，tan C，tan Btan B，tan B，B，A，ABC为等腰三角形1公式T()，T()是变形较多的两个公式，公式中有tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者知二可表示或求出第三个2一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式3(1)化简：tan 23tan 37tan 23tan 37；(2)若锐角，满足(1tan )(1tan )4，求的值解(1)tan 23tan 37tan 23tan 37tan(2337)(1tan 23tan 37)tan 23tan 37tan 60(1tan 23tan 37)tan 23tan 37.(2)(1tan )(1tan )1(tan tan )3tan tan 4，tan tan (1tan tan )，tan().又，均为锐角，0180，60.教师独具1本节课的重点是两角和与差的正切公式，难点是公式的灵活运用2要掌握两角和与差的正切公式的三个应用(1)解决给角求值问题(2)解决给值(式)求角问题(3)解决条件求值问题3本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误1.()Atan 57Btan 57C1 D1C原式tan(516)tan 451.2若tan ，tan()1，则tan _.tan tan().3不查表求值：tan 15tan 30tan 15tan 30_.1tan 15tan 30tan 15tan 30tan(1530)(1tan 15tan 30)tan 15tan 30tan 45(1tan 15tan 30)tan 15tan 301tan 15tan 30tan 15tan 301.4已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角求