（基础数学专业论文）一些幂等元半环簇的刻划.pdf

摘要 幂等元半环是一类非常重要的半环，许多专家学者对其进行了深入细致的系统研 究本文主要研究了几个重要的幂等元半环簇，从多个角度给出了其中成员的刻划， 也对他们进行了次直积分解 第一章，我们对半环理论研究的背景、现状和幂等元半环的基础知识作了简要的 介绍第二、三章，我们分别研究了幂等元半环簇的重要予簇p 和直。m ( 矗o m ) ， 利用幂等元半环的加法带和乘法带上的g r e e n 一关系及幂等元半环上的偏序关系对其 中成员进行了多种刻划，进一步研究了他们的结构第四章，研究了幂等元半环簇的 另一个重要子簇g b s g ，讨论了其中成员的性质和结构，并给出了子簇格l ( c b s t ) 所含元素的个数 关键词：幂等元半环；g r e e n 一关系；簇；次直积 2 a b s t r a c t t h ec l a s so fi d e m p o t e n ts e m i r i n g si sav e r yi m p o r t a n tc l a s so fs e m i r i n g s m a n y e x p e r t sa n ds c h o l a r st h o r o u g h ，p a i n s t a k i n g l ya n ds y s t e m a t i c a l l yi n v e s t i g a t ei t i nt h i s p a p e rw em a i n l ys t u d ys o m ei m p o r t a n td a s s e so fi d e m p o t e n ts e r n i r i n g s f i r s t ，w eg i v e c e r t a i nc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h em e m b e r so ft h e mf r o ma uk i n d so fa n g l e s ；s e c o n d w e o b t a i nt h es u b d i r e c tp r o d u c td e c o m p o s i t i o no fs o m es e m i r i n g sw h i c ha r em e m b e r so f t h e m i nc h a p t e r1 ，w es i m p l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n ts t a t eo ft h et h e - c r yo fs e m i r i n g s ；f o rt h es a k eo fc o n v e l f i e n c e ，w ei n t r o d u c es o m ef u n d a m e n t a lk i m w l ， e ea b o u ti d e m p o t e n ts e n f i r i n g s i nc h a p t e r2 t3w es t u d yt h es u b v a r i e t i e spa n d r om ( r 。m ) o ft h ev a r i e t yo fi d e m p o t e n ts e m i r i n g s ，r e s p e c t i v e l y f i r s t l y , b yu s i n gg r e e n r e l a t i o n so nt h ea d d i t i o nr e d u c ta n dt h em u l t i p l i c a t i o nr e d u e to fi d e m p o t e n t s e m i r i n g sa n dp a r t i a lr d a t i o no ni d e m p o t e n ts e m i r i n g s w eg i v em a n yc h a r a c t e r i z a t i o n s o ft h em e m b e r so ft h e m ；s e c o n d l y ，w es t u d yt h es t r u c t u r eo ft h em e m b e r so ft h e m i n c h a p t e r4w es t u d yt h es u b v a r i e t yg b s eo ft h ev a r i e t yo fi d e m p o t e n ts e m i r i n g sw e d i s c u s st h ep r o p e r t i e sa n dt h es t r u c t u r et h e o r e m sf o rt h es e m i r i n g si ni t ，m o r e o v e r ， w eg i v et h en u m b e ro fm e m b e r sw h i c ht h el a t t i c el ( g b s g ) o fs u b v a r i e t i e so fg b s l c o n t a i n s k e y w o r d s ：i d e m p o t e n ts e m i r i n g s ；g r e e n - r e l a t i o n s ；v a r i e t y ；s u b d i r e c tp r o d u c t 3 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文 工作的知识产权单位属于西北大学学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版本人允许论文被查阅和借阅学校可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明 作者单位为西北大学保密论文待解密后适用本声明 学位论文作者签名： 张自黟琦 知0 5 年5 - 月j 工日 指导教师签名： 。( 年。r 月 扬霸； 2 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名：张蚺守冉 知。岁年5 月，z 日 第一章绪论 1 1 引言 代数学、拓扑学、泛函分析并称为数学的三大支柱，近年来，代数学研究得到迅 猛的发展；在数学的许多其它分支中，它也逐渐成为不可缺少的基本工具更重要的 是，随着计算机技术的发展和普及，以及由此引起的离散数学的新兴，代数学在通讯、 系统工程和计算机科学等领域都有非常广泛的应用 文 2 】的作者全面、详尽的叙述了代数学的基本知识一一群论、环论、格论等； 其中，分配格是指满足分配律的格，它是一类特殊的格半环是环与分配格的推广， 从而成为现代科学申核心的数学概念和工具之一。半环理论是一个历史久远、联系广 泛、前景灿烂的数学分支半环理论在后来的发展中如此重要和富有成果，以至于现 代半环理论不仅以其优美和在数学的众多分支中的应用而别具魅力，而且在物理学、 化学、天文、建筑、信息与通讯乃至找矿等自然科学与技术领域里都有广泛和深入的 应用在半环代数理论的研究中，幂等元半环的研究是其中十分活跃的重要领域，本 文就从一些幂等元半环簇中成员的性质着手，并研究他们的结构问题 1 2 预备知识 本文未交代的有关半群和泛代数的概念请参阅文献【1 ，【4 】和 2 下面我们介绍 一些基本概念及其相关的结论 半环( s ，+ ，t ) 是指非空集合s 上装有两个二元运算“+ ”和“r ”的( 2 、2 ) 型 代数，且满足条件： ( i ) ( s ，+ ) 和( s ，) 是半群； ( i i ) ( v 。，b ，c s ) ( a + 6 ) c = n c + b c 和c ( a + b ) = c a + c b 幂等元半环s 是指满足附加条件 ( v 。s ) o + 口= 口8 = 8 的半环，亦即( s ，+ ) 和( ，) 都是带幂等元分配半环s 是指满足附加条件 ( v a ，b ，c s ) a + b e = ( d + b ) ( o + c ) ，b c + o = ( b + o ) ( c + 。) 的幂等元半环，幂等元( 幂等元分配) 半环簇记为i ( i d ) 为了以后应用的方便， t r s l n b f r n b ； n b l r b 【r r b 】 r b 我们将给出一些常用的带簇的记号及其满足的恒等式 x = y 平凡簇， x y x = x 矩形带簇， x y = y x 半格， x y z = x z yfx y z = y 勉7 左磙j 正翅磐簇， 珂z w = x z y w 正规带簇， x y x = x y 【x y x = y x 左 右】正则带簇， x y x z x = x y z x 正则带簇 若v 为带簇的子簇。剜我f 丁用审( 专) 表示乘法( 加法) 带属于v 的幂等元半环 的全体例如：直( 矗) 表示乘法( 加法) 是矩形带的幂等元半环簇 若v 为任意的半环簇，则我们用l ( v ) 表示v 的子簇格设w 是i 的子簇 s i 。若存在s 上的最小同余p 使得s p w ，则p 称为s 上的最小w 一同余 若s i ，刚古( 务) 表示s 的由法( 乘法) 半群上的g r e e n n 关系定义如下 ( a ，b s ) 去b 甘。+ 6 + 口= 。，6 + o + b = b ， 。蠢b 错o b o ：a ，b 曲：b 类似地可以定义等价关系羔( ) i 壳( 7 b 如下： n 之6 骨n + 6 ：n ，6 + ：b ， a2b 耸a b = ，b a = b 。壳b 错。+ b ：6 b + 口：o ， 宠6 甘0 6 = 6 施：o 2 若s i ，则我们用c o n ( s ) 表示s 上同余的全体若v a s ，p 是s 上的等 价关系，则我们用p 。表示。所在的户类例如：我们用主。表示n 所在的圭一类若 s i ，则显然有主。+ 6 ：主。_ b 关于g r e e n 一关系我们有以下的结论 结论若s i ，则下列命题成立： ( i ) 西是s 上的同余； ( i i ) ，竟是( s ，) 上的同余； ( i i i ) 每一个去，刍，圭，2 ，壳和痞类是s 的子半环 值得一提的是在幂等元半环s 上，移是s 上的同余，口是( s ，) 上的最小半 格同余，然而口不一定是s 上的同余 若s i ，在s 上定义偏序关系如下 ( a ，b s ) a + b a + ( v i ) ( i ) ( va ，b s ) 由于a a b a ，并且+ ，则有a + a b a ，即有 a a b a = a b a = a b a + a 从而8 + a b a + a = a b a + d = a b a ，即5 满足恒等式z + x y x + z = x y x 1 4 ( i i i ) b a + a + b a b o + a + b a = b a ( b a + a + b a ) b a = b a 即s 满足恒等式( y + x + y ) x = y x ( i i i ) ( v i i ) 由文 5 定理3 2 知s 属于p 当且仅当任一二元素分配格均不是s 的 子半环，从而易得( i i i ) ! e ( v i i ) 故完成了此命题的证明 设k 是i 的子簇，若ko k k ，则称k 关于m a l c e v 积是封闭的从而有下 面的结论 定理3 1 3p 。p = p ( 即p 关于m a l c e v 积是封闭的) 证明显然有p 量p0 p ，下面欲证p0 p p 若s p0 p ，即 ( jp c o n ( s ) ) 彤p p ，( v u s ) p 。p 则有( va ，b s ) p 曲。= 胁。+ 。+ 咖进一步有 ( a b a + a + a b a ) a b a ( a b a + a + a b a ) ( a b a + a + a b a ) a b a ，( a b a + 口+ a b a ) + ( a b a + 8 + a b a ) ( a b a + a + a b a ) a b a ( a b a + 凸+ a b a ) a b a + ( a b a + 口+ a b a ) + a b a a b a + a 十a b a 即s 满足x y x + x + x y x = z y x ，从而s p ，即p o p p ，这样就证明了p 。p = p 推论3 1 4p ：矗。( 直。m ) ：直。( 矗。m ) ：( 矗。矗) 。m 证明若s p ，由定理2 1 9 知s 矗。( 直。m ) ，诧。( 矗。m ) ，即 p 壶。( a 。m ) ，直。( 矗。m ) 若s p ，由定理2 1 9 知 彤刍v 杏m ，( v “s ) ( 古v d ) 。g b r ：直。矗， 故有p ( a 。矗) 。m 反之，显然有 + + p r 。( ro m ) ，ro ( ro m ) ，( ro r ) 。mcpo p ， 由定理3 1 3 知p 。p = p ，从而完成了此命题的证明 定理3 1 5 若w m ，p 】，则wo p = p = p o w 证明显然有pcwo p ，由w p 和由定理3 1 3 ，则有 wo ppo w c po p = p 从而有p = wo p 下面只需证明p p 。w 若s p ，由定理2 1 9 知移v 口是s 上的同余，取p = 口v 口，由定理2 19 上 知s 五v 口m w ，又由于( vn s ) p 。是s 的子半环，则p 。p 从而 s po w ，故有p p 。w ，从而完成了此命题的证明 3 2 我。m 中成员的结构 为了研究a 。m 中成员的次直积分解，首先给出下述两个引理 引理3 , 2 1 若s i ，s 的乘法半群有幺元素1 ，则下列命题等价 ( i ) s r 。m ； ( i i ) ( vo s ) l + n = o + 1 = 口； 1 8 ( i i i ) s m 证明( i ) 号( i i ) 若s 直。m ，即s 满足z + x y x = 。z ，x y x + z = x y x 则有 ( vo s ) i + l a 1 = 1 o 1 即有1 + a = a ，1 a 1 + 1 = 1 - n 1 ，即有a + 1 = a ( i i ) = ( i i i ) 欲证明s m ，只需证明s 满足交换律和满足恒等式z + y = x y 即 可由于( va ，b s ) 1 + o = a 十1 = ，故有n 6 + 6 = b + a b a + b = ( a + b ) 2 = a + a b + b a + b = a ( 1 + b ) + b ( a + 1 ) = a b + b a ， b + a = ( b + o ) 2 = b + b a + a b + o = b ( 1 + n ) + a ( b + 1 ) = b a + a b ， 曲= ( 1 + b ) = a + 。b = a ( a + b ) = a ( a b + b a ) = a b ( 1 + o ) = a b a ， b a = ( b + 1 ) a = b a + o = ( b + a ) a = ( b e + a b ) a = ( 1 + a ) b a = a b a ， 从而a b = b a ，进而a + b = b + o ，从而有 o + b = ( a + b ) 2 = o + a b + b a + b = a + a b + b = a ( 1 + b 1 + b = a b + b = f o + 1 ) b = a b ， 故s m ( i i i ) = ( i ) 显然成立 引理3 2 2 若s 直o m ，则有： ( i ) s n b ； ( i i ) c ，冗是s 上的同余 证明( i ) s 直。m i ，容易看到： ( vn s ) ( a s a ，+ ，) 是s 的子半环， 并且n 是( a s a ，) 的幺元素，由引理3 2 1 知( a s a ，+ ，) 是单演双半格，则它的乘 法半群( a s a ，) 是半格，亦即，( s ，) 是局部半格，由【4 】推论i v 2 9 知( s ) 是 正规带，即s n b 1 9 ( i i ) 由( i ) 知s 满足恒等式x y z w = 。：z y w ，由文 1 0 】定理4 1 ( 3 ) 知是s 上的 同余对偶地，冗是s 上的同余 我们知道：l z ，r z 是矩形带簇r 的子簇，因此l zo m ，r z 。m 是r 。m 的 子簇接下来考虑簇zo m ，a z 。m 与簇a 。m 之间的关系，进一步给出直。m 中成员的次直积分解 定理3 2 ，3 l z 。m = a 。m n l n b 证明由于s z 。m ，则( jp c o n ( s ) ) s p m ，且每个p - 类属于己z 由于s p m ，则有 ( va ，b ，c s ) p n k = p a p b p 。= p a p c p b = m c b 即a b cp a c b 又由于每个p - 类属于l z 则有( 曲c ) ( n 曲) = a b c ；易知l z 。m 直。m 则由引理3 2 2 知( s ，) 是正规带，从而 ( a b c ) ( a c b ) = a ( b c ) a ( c b ) = o n ( 6 c ) ( c b ) = n ( 6 c ) 6 = a c 6 即有n b c ：口c b ，由。，b ，c 的任意性，则有s f i n b 从而l zo m 直。m a l n b 反之，若s 成。m n l n b ，由于s 巍。m ，则由定理3 1 1 知口是s 上的最 小m 一同余，郎s 口m 又由于s l n b ，设d 是s 的任一d - 类，( vo ，b d ) 即有a 杏6 ，即a b a = a ，b a h = b 由于d 是s 的子半环，并且d l n b ，从而 口b 。：n 6 、b a h ：b 口，则有6 = n ，b a = b ，这说明d l z ，从而s l z 。m ，故 n 有l zo m = 直o m n l n b 对偶地，我们有如下的定理 定理3 2 4 屯o m = 直o m n 直n b 有了以上的准备，我们可以给出直om 中成员的次直积分解 定理3 2 5 矗o m = 己zo m v 鱼zo m 证明由于己z 。m ，电o m 巍。m ，从而亡z 。m v 矗z 。m 盘。m 下面 欲证直。m z o m v 屯。m 设s r om ，由引理3 2 2 知s n b ，并且c ，冗是s 上的同余取 s l = 彤冗，( 岛，- ) 是左正规带，并且s 1 直o m 由定理3 2 3 知s 1 l z o m ； 取s 2 = s c ，( 岛，) 是右正规带，并且s 2 r 。m 由定理3 2 4 知岛r z 。m 由于在s 上c ，冗均不是恒等关系，而cn 冗= 爿是s 上的恒等关系，则s 盘o m 是s l l zom 和岛r z om 的次直积，故s l z 。mvr eom ，即有 ro m l z 。m v r z 。m 故有ro m = l zo m v 地o m 明显地有a v m a 。m ，自然地考虑直o m 是否是直v m 的子簇? 回答是 肯定的，具体的解释如下 定理3 2 6 直o m = 直v m 证明显然有直v m 直。m ，下面欲证直o m 氏v m 设s r o m p ，由定理2 2 2 知s 是尬m 与t g b r 的次直积由于丁 是s 的同态像，从而t 直。m ，由定理3 1 1 知在t 上去杏；又由于丁g b r ， r 5 矗，从而叫参直；t 直。m ，由定理3 1 1 知州旁m s e ，从两 t t = 西，即t 直，故s 是尬m 与t 氏的次直积，即良o m 直v m ， 故有矗。m = 直v m 更进一步，我们考虑l z 。m 是否是l z v m 的子簇? 回答是肯定的，具体的解 2 1 释如下 、 推论3 2 7 z 。m = l z v m 证明明显地l z v m 冬z o m ，下面欲证立z 。m 立zv m 设s l zo m ，由于l z 。m 盘o m ，由定理3 2 6 知直o m = 矗vm ，则 s 是岛矗与岛m 的次直积由于岛是s 的同态像，从而鼠l z 。m ，由 定理3 2 3 知l zo m = 盘。m n l n b l n b ，则岛直n l n b = 亡z ，故s 是 s 1 l z 与岛m 的次直积，即l z 。m 也v m ，故有亡z 。m = l zv m 对偶地，我们有以下的推论 推论3 2 8 直z 。m = 觑v m 上 3 3 矗。m 中成员的结构 注意；由于在半环的定义中，要求乘法对加法有分配律，而不要求加法对乘法有 分配律，这就导致直om 与矗。m 中成员的性质及结构并不是完全对偶的；但是 a 。m ，矗。m 是p 的子簇，且由定理2 2 2 知p i d ，则导致矗。m ，矗。m 中成员的性质及结构是完全对偶的从而，为了完整起见，r o m 中成员的次直积分 解简单叙述如下 引理3 3 1 若s i d ，s 的加法半群有幺元素0 ，则下列命题等价 ( i ) s 矗。m ； ( i l ) ( vo s ) o a = a o = ； ( i i i ) s m 引理3 3 2 若s 矗。m ，则有 + ( i ) s n b ； ( i i ) 之，壳是s 上的同余 + 定理3 ，33 l zo m = ro m n l n b + 定理3 3 4 砒。m = r o m n r n b ， + 定理3 3 5ro m = l zo m v r z 。m + 定理3 3 6r o m = r v m 上 推论3 3 7 l z 。m = l z v m - l+ 推论3 3 8 r z 。m = r z v m 。 下面给出引理3 3 1 和引理3 3 2 的证明( 其余结论的证明均是22 中相应结论证 明的对偶，这里不再赘述了) 引理3 3 1 的证明 + ( i ) 辛( i i ) 由于s r o m 。即s 满足恒等式 ( va s ) 则有 。( 矿+ x + y ) = x y ，( y + z + 掣) 。= y x o a = ( 0 + a + 0 ) o = a o = a a o = 。( 0 + a + 0 ) = a a = a 即( i i ) 成立 ( i i ) = ( i i i ) ( va ，b s ) 0 a = a 0 = a ，从而有 8 + b a b 故有a + b = a b 由于 口十o b = ( 8 + o ) ( o + b ) = n ( 。+ b ) = 8 + 8 6 a ( o + b ) = o + a b = a + a b ， 8 + 刍= o a + b = ( o + 五) ( o + b ) = b ( a + 6 ) = b a + b = 6 + n + b b + a = b 十a o = ( b + 。) ( 6 + 0 ) = ( b + 。) 6 = b + a b = 6 + a + b 2 3 从而n + b = b + a ，a b = a + b = b + zb a ，由a ，b 的任意性，则s 满足恒等式 z + y = x y 和交换律，即s m ( i i i ) = ( i ) 显然成立 引理3 3 2 的证明 ( i ) s r o m p ，由定理2 2 2 知p i d ，则s r 。m i d ，此时，则有 ( v a s ) ( a + s + n ，+ ，) 是s 的子半环( 注：sei 时( 口+ s + a ，+ ，) 不一定是s 的子半环! ! ! ) ，并且。是( n + s + a ，+ ) 的幺元素，由引理3 31 知( o + s + 。，+ ，) 是单演双半格，则( a + s + a ，+ ) 是半格。即( s ，+ ) 是局部半格，由 4 推论i v 2 9 知s n b 阜+上上 ( i i ) 由( i ) 知s r 。m n b ，则c ，冗是( s ，+ ) 上的同余；又s i ，则 c ，7 1 己是( s ，) 上的同余，从而之，竟是s r o m 上的同余 2 4 第四章幂等元半环簇g b s 的刻划 本章我们研究幂等元半环簇的另一个重要子簇g b s ，讨论其中成员的性质，并 给出其结构性的描述 4 1g b s 中成员的性质 参看文 1 1 下面我们给出幂等元半环s 属于g b s z 的等价命题 定理4 1 1 【1 1 】若s i ，则下列命题等价： f i ) s g b s ； ( i i ) 口n 西是s 上的恒等关系； + ( i i i ) s 的每个口一类是s 的子半环且属于s ( i v ) s 的每个西一类是s 的子半环且属于s 定理4 1 2 【7 】g b s e = 鼬0 9 1 4 2g b s 中成员的结构 定理4 ，1 2 将g b s i 进行了m a l c e v 积分解，由于m a l c e v 积的结构比较粗糙 从而文 1 1 对g b s g 中成员进行了次直积分解 定理4 2 1 【1 l 】g b s g = s e v s - r 下面研究g b s l 与部分簇交中成员的结构 十 定理4 2 2g b s n b = s v ( b ns p ) 证明易有窜，b n 壶g b s n b ，则有s t v ( b n 壶) g b s n bf 面欲 证g b s n b s t v ( b ns t ) 若s g b s g n b ，则口c o n ( s ) ，从而s # 规，又有 上+4- s d g b s g n b ns g = b n s g 由于在s 上去，杏均不是恒等关系，seg b s g a b g b s g ，由定理4 1 1 知蚕n 西 是s 上的恒等关系，从而s g b s g n b 是酬西和去b n 壶的次直积， 即有g b s g n b s e v ( b n 壶) ，故有g b s g n b ：v ( b n 壶) + 定理4 2 3g b s g n p = ( p ns g ) v ( p ns ) + 证明显然有p n s g ，p n s g b s g n p ，则有( p n s e ) v ( p ns t ) g b s t n p 若s g b s t n p ，则由定理2 19 知刍c o n ( s ) ，从而 彰口g b s t n p n 窜l = p n 宜l 牟+ s d g b s t n p n s t p n s t 由于在s 上去，西均不是恒等关系，s g b s t n p g b s t ，由定理4 ，1 1 知西n d 是s 上的恒等关系，从而s g b s g d p 是s d pn 鲍和彤去p n 壶的次宣 积，即有g b s g n p ( p n s g ) v ( p n 壶) ，故有g b s n p ：( p n g g ) v ( p n 壶) + 定理4 2 4i d n s t n b ( 注；此引理是文 1 3 】第2 节定理1 的对偶，下面给出另一种证明) 证明若s i dn ，( v n ，b ，c s ) 口+ b 之b + o + b ，由于s i ，圭是 ( s ，一) 上的同余，从而( o + 6 ) c ( b + o + b ) c ，则有： ( a + b ) c = ( a + 6 ) c + ( b + a + b ) c = + b ) ( c + b + 凸+ 6 ) ( o + b + c ) c ，( 4 1 ) ( b + a + 6 ) c = ( b + a + 6 ) c + ( a + b ) c = ( b + 。+ b ) ( c 4 - d4 - b ) ( b + n + b + c ) c ，( 4 2 ) ( 1 ) ，( 2 ) 两端分别左加c 有 c + ( + b ) c = c + ( o + 6 ) ( c + b + n + 6 ) ( 。+ 6 + c ) c = ( c + o + 6 ) ( c + 6 + 盘+ 6 ) ( c + 。+ b + c ) c ，( 4 3 ) c + ( 6 + o + b ) c = c + ( 6 + 。+ 6 ) ( c + d + 6 ) ( 6 + n 十b + c ) c = ( c + 6 + o + 6 ) ( c + d + 6 ) ( c + b + 凸+ b + c ) c ，( 44 ) ( 3 ) 两端右加o + b 有： c + ( o + b ) c + ( 。+ 6 ) = c + n + b = ( c + n + b ) ( c + b + n + b ) ( c + 盘+ b + c ) + ( 口+ b ) = ( c + 。+ 6 ) ( c + b + n + b ) ， ( 4 ) 两端右加b + o + b 有： c + ( 6 + n + b ) c + ( 6 十n + b ) ：c + 6 + n + b = ( c + b + 。十b ) ( c + o + 6 ) ( c + b + o + b + c ) + ( b + o + 6 ) = ( c + b + 凸+ 6 ) ( c + 口+ 6 ) ， 由于s 劬，则有c + n + b = c + 6 + o + b ，即s 满足恒等式 名+ z + = z + 掣+ z + 可， 即s q n b 利用6 + 。壳6 + o + 6 ，且壳是( s ，) 上的同余，类似地有 各+ 8 + c = b + n 十b + c ， 即s 满足恒等式x + y + z = z + y + x + z ，即s r q n b ，从而s l q n b n r q n b ， 故s n b + 推论4 2 5g b s g n p n b 证明若s p ng e ，由定理2 2 2 知p i d ，则s i d n ，由定理42 4 2 7 知i d n 劬i 寺b ，从而s 葑b ，即有p n 勘葑b ，易有p n 壶蓟曲b ， 由定理4 2 3 知g b s e a p ：( pn 鲍) v ( p n 壶) 兰责b ，即有g b s np 对b 引理4 2 6 ( i ) g b r n 壶：r n 壶； ( i i ) g b r n s g = 盍n z 定理4 ，2 7g b s g n g b r ：( r n 壶) v ( 矗n f ) 证明易有r n 壶，矗n g b s g ng b r ，则有 ( 直n 壶) v ( 矗n 鲍) g b s e n g b r 若seg b s g ng b r ，则有口c o n ( s ) ，并且 s te g b s g n g b r n = g b r n s e 一 由引理4 2 ，6 知s de r n s g ，则有 酣去g b s p n g b r n 壶：g b r n 壶， 由引理4 2 ，6 知s 去l k n 壶，由于在s 上去，刍均不是恒等关系 se g b s n g b r c g b s g 由定理4 1 ，1 知去n 西是s 上的恒等关系，从而s g b s n g b r 是s i 矗ns t 和酬去r n 玉的次直积，即有 g b s g n g b r ( r n s ) v ( r n s g ) ， 故有g b s g n g b r ：( r n 壶) v ( 矗n 鲍) 若v 是任意的半环簇，在文【5 】中，作者对研究l ( v ) 提供了一种特刘有价值的 思想和方法作者将l ( i ) 分成了如下5 个区间： b i ，i ；【dv m ，k ；【d ，n 】； m ，p 】； t ，g b r ， 由文 5 定理3 5 知：妒：l ( i ) 一l ( i ) ，w ，wnb i 是完全自同态，由妒所 诱导的同余的同余类即是上述的5 个区间这样，若w 是i 的任意子簇，则为了研 r 究l ( w ) ，我们首先将妒所诱导的l ( i ) 上的同余限制到l ( w ) 上，进而得到5 个同 余类即是将l ( w ) 分割成的5 个区间，逐个区间进行研究即可例如：欲考察子簇格 l ( b ) ，我们将其分割成5 个区间： b i ，b ；【dv m ，k n b 】；【d ，n nb ； m ，pn b ；【t ，g b r n b 】 其中由文【3 】知n b ，即n n b = n ；由定理2 1 9 知p b ，即pn b = p 进而g b r n b = g b r ，接下来我们的研究对象就转变成5 个区间 b i ，b ；( d v m ，k n b l ；【d ，n 】；l m ，p 】；( t ，g b r 类似地，利用上述方法，我们研究子簇格l ( g b s g ) ，结合文【1 6 】第4 节和文 1 l 定理41 3 ，5 1 ，则有以下的推论 推论4 2 8 子簇格l ( g b s f ) 含有6 6 2 个元素 参考文献 1 h o w i ejm ，f u n d a m e n t a l so fs e m i g r o u pt h e o 阿 m o x f o r d ：o x f o r ds c i e n c ep u b - l i e a t i o n ，1 9 9 5 1 2 2h u n g e r f o r d 著，冯克勤译，代数学i m j 合肥，湖南教育出版社，1 9 8 4 ， 3 p a s t i j nfa n dz m oxz ，g r e e n 口- r e l a t i o n 如rm u l t i p l i c a t i v e7 d u c td ，a ni d e m p o t e n t s e m i r i n g j a r c h ，m a t h ( b r n o ) ，2 0 0 0 ，3 6 ：7 7 - 9 3 【4 p e t r i c hm a n dl k i l l ynr ，c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s m 】n e wy o r k ：w i l e y , 1 9 9 9 f 5 【6 】 1 2 1 3 14 1 5 g 5 s h ，p a s 刨nfa n dz h a oxz ，v a r i e t i e sg e n e r a t e db yo r d e r e db a n d s 三t oa p p e a r p a s t i j nf ，i d e m p o t e n td i s t r i b u t i v es e m i r i n 9 珥j 】s e m i g r o u pf o r u m ，1 9 8 3 ，2 6 ：1 5 1 1 6 6 z h a oxz ，g u oyqa a ds h u mkp ，口一s u b v a r i e t i e so ft h ev a r i e 妇o ，i d e m p o t e 1 t s e m i r i n g s j ，a l g e b r ac o l l o q u i u m 2 0 0 2 9 ：1 ：1 5 2 8