（基础数学专业论文）非正规子群对有限群结构的影响.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 非正规子群对有限群结构的影响 基础数学专业硕士研究生龚律 指导教师陈贵云教授曹洪平副教授 摘要 一致以来，利用子群和商群来刻画有限群的结构是一个热门课题通过研究正 规子群的性质来讨论有限群的结构是群论研究中一个非常重要的课题，在这方面已 经取得许多丰富和重要的结果这里我们讨论其对偶问题，也就是非正规子群的性质 对有限群结构的影响 r o l fb r a n d l 在文【1 】中给出了非正规子群共轭的有限群的完全分类，h m o u s a v i 在文 2 】中给出了非正规子群的共轭类类数为2 的有限群的完全分类在其结果中有 一些小的错误，陈顺民在文 3 】中修正了文 2 】的结果，进一步他在文f 4 】中给出了非 正规子群的共轭类类数为3 的有限群的完全分类以及非正规子群的共轭类类数为4 的有限非幂零群的完全分类与此同时，非正规子群的个数对有限群结构的影响是另 一个研究方向，石化国在文 5 1 和 6 1 中给出了恰有2 和5 个非正规子群的有限群的 结构，毛月梅在文【7 】中得到了恰有p 个相互共轭的非正规子群的有限群的结构本 文继续这方面的研究。 第一部分主要结合非正规子群的共轭类类数为1 ，2 ，3 的有限幂零群的完全分类， 给出了非正规子群的共轭类类数为4 的有限幂零群的完全分类 定理3 若g 为有限幂零群，y ( g ) ；4 ，则g 同构于如下群之一 ( 1 ) m ( 矿) q s ，其中p ，q 为互异素数 ( 2 ) m ( 矿) qxg ，其中p ，q 和r 为互异素数 ( 3 ) 【c 4 】c 4xg ，其中q 为奇素数 ( 4 ) q 1 6 c a ，其中q 为奇素数 ( 5 ) d 8 q ，其中q 为奇素数 ( 6 ) m ( 2 n ，2 ) xq ，其中q 为奇素数 西南大学硕士学位论文 中文摘要 ( 7 ) q 3 2 ( 8 ) 【g 】q ( 9 ) 吼】c 1 6 ( 1 0 ) ( 1 1 ) m ( 2 n ) c 2 第二部分主要结合非正规子群的共轭类类数为1 ，2 ，3 ，4 的有限幂零群以及共轭 类类数为l ，2 的有限非幂零群的结果，给出了恰有8 个非正规子群的有限群的结构 定理4 若g 为有限群，7 ( g ) = 8 ，则g 幂零且g 同构于以下群之一 ( 1 ) m ( 2 n ) c e ，其中q 为奇素数 ( 2 ) m ( 2 n ) q q ，其中p ，g 为互异奇素数 ( 3 ) 【q 】c 4 g ，其中q 为奇素数 ( 4 ) q 1 6 g ，其中q 为奇素数 ( 5 ) d sxg ，其中口为奇素数 ( 6 ) m ( 2 n ，2 ) q ，其中g 为奇素数 ( 7 ) 【q 】c 1 6 ( 8 ) ( 9 ) m ( 2 n ) 岛。 关键词：有限群非正规子群共轭类分类 西南大学硕士学位论文英文摘要 t h ei n f l u e n c eo fn o n - n o r m a ls u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o f g u i y u nc h e na s s o c i a t ep r o f h o n g p i n gc a o a u t h o r ：l vg o n g a b s t r a c t i th a sb e e na ni n t e r e s t i n gt o p i ct ou s es u b g r o u p sa n dq u o t i e n tg r o u p st od e s c r i b e s t r u c t u r e so fag r o u p i ng r o u pt h e o r y , i ti sav e r yi m p o r t a n tt o p i ct od i s c u s st h e s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u pt h r o u g hi n v e s t i g a t i n gt h ep r o p e r t i e so fn o r m a ls u b g r o u p s i nt h i sa s p e c t ，m a n yi m p o r t a n tr e s u l t sw e r eo b t a i n e d h e r et h ea u t h o rd i s c u s s e d i t sd u a li s s u e ，i e ，t h ei n f l u e n c eo fn o n n o r m a ls u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo ff i n i t e g r o u p s r o l fb r a n d lg a v ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t eg r o u p sw h o s en o n - n o r m a ls u b - g r o u p sa r ec o n j u g a t ei n h m o u s a v io b t a i n e dt h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t e g r o u p sh a v i n ge x a c t l y2c o n j u g a c yc l a s s e so fn o n - n o r m a ls u b g r o u p si n 【2 】b u tt h e r e a r es o m es m a l lm i s t a k e si nm o u s a v i sc l a s s i f i c a t i o n ，s h u n m i nc h e nr e v i s e dr e s u l t so f f 2 】i n 【3 】f u r t h e rm o r e ，s h u n m i nc h e no b t a i n e dt h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ff i - n i t eg r o u p sh a v i n ge x a c t l y3c o n j u g a c yc l a s s e so fn o n n o r m a ls u b g r o u p sa n do ff i n i t e n o n - n i l p o t e n tg r o u ph a v i n ge x a c t l y4c o n j u g a c yc l a s s e so fn o n - n o r m a ls u b g r o u p si n 【4 】h e r et h ea u t h o rc o n t i n u e st h er e s e a r c ho nt h i st o p i c ，w eg i v eo u tac o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o no ff i n i t en i l p o t e n tg r o u p sh a v i n ge x a c t l y4c o n j u g a c yd a s s e so fn o n - n o r m a ls u b g r o u p s m e a n w h i l e ，i n f l u e n c eo ft h en u m b e ro fn o n - n o r m a ls u b g r o u po n t h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u pw a sa n o t h e rr e s e a r c hd i r e c t i o n h u a g u os h ig a v et h e s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u pw i t h2a n d5n o n n o r m a ls u b g r o u pi n 【5 】a n d 【6 】y u e m e i m a oo b t a i n e dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u pw i t hpc o n j u g a t en o n - n o r m a ls u b g r o u p s i n 【7 】t h ea u t h o rc o n t i n u e st h er e s e a r c ho i lt h i st o p i ct o o i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，t h ea u t h o ru s e sm a i n l yt h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o n s o ff i n i t en i l p o t e n tg r o u p sh a v i n ge x a c t l y1 ，2 ，3c o n j u g a c yc l a s s e so fn o n - n o r m a l s u b g r o u p st oo b t a i nt h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o n so ff i n i t en i l p o t e n tg r o u p sh a v i n g e x a c t l y4c o n j u g a c yc l a s s e so fn o n - n o r m a ls u b g r o u p s t h e o r e m3i fg i sf i n i t en i l p o t e n tg r o u p ，( g ) = 4 ，t h e ngi si s o m o r p h i ct o o n eo ft h ef o l l o w i n gg r o u p s ( 1 ) m ) ，w h e r ep ，qa r ct h ed i s t i n c tp r i m e s ( 2 ) m p n ) q g ，w h e r ep ，qa n d ra r et h ed i s t i n c tp r i m e s ( 3 ) 【q 】c 4 q ，w h e r eqi sa l lo d dp r i m e ( 4 ) q 1 6 q ，w h e r eqi sa no d dp r i m e ( 5 ) d 8xq ，w h e r e 口i sa no d dp r i m e ( 6 ) m ( 2 ”，2 ) xq ，w h e r eqi s a no d dp r i m e ( 7 ) q 3 2 ( 8 ) 【岛】q ( 9 ) 【q 】g 6 ( 1 0 ) ( 1 1 ) m ( 2 拓) c 2 i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，t h ea u t h o ru s e sm a i n l yt h ec o m p l e t ed a s s i f i - c a t i o n so ff i n i t en i l p o t e n tg r o u ph a v i n ge x a c t l y1 ，2 ，3 ，4c o n j u g a c yc l a s s e so fn o n - n o r m a ls u b g r o u p sa n df i n i t en o n - n i l p o t e n tg r o u ph a v i n ge x a c t l y1 2c o n j u g a c yc l a s s e s o fn o n - n o r m a ls u b g r o u p st oo b t a i nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg a o u pw i t h8n o n - n o r m a l s u b g r o u p s t h e o r e m4i fgi sf i n i t eg r o u p ，下( g ) = 8 ，t h e ng i s n i l p o t e n t ，a n dg i s i s o m o r p h i ct oo n eo ft h ef o l l o w i n gg r o u p s ( 1 ) m ( 2 n ) o ，w h e r e 口i sa no d dp r i m e ( 2 ) m ( 2 n ) g c q ，w h e r ep ，ga r et h ed i s t i n c to d dp r i m e s ( 3 ) 【q 】a g ，w h e r eqi sa l lo d dp r i m e ( 4 ) q 1 6 q ，w h e r eqi sa no d dp r i m e ( 5 ) d s q ，w h e r eqi sa no d dp r i m e 1 v 西南大学硕士学位论文英文摘要 ( 6 ) m ( 2 n ，2 ) q ，w h e r eqi sa no d dp r i m e ( 7 ) 限】c 1 8 ( 8 ) ( 9 ) m ( 2 n ) q k e yw o r d s ：af i n i t eg r o u p an o n - n o r m a ls u b g r o u p c o n j u g a c yc l a s s c l a s s i f i c a t i o n v 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月 日 。签字日期： 年 月 日 西南大学硕士学位论文 背景与引言 1背景与引言 在有限群论研究中，子群和商群占有极为重要的地位，正规子群在群论中所起的 重要作用及其本身的一些性质引起了许多群论学者的兴趣，而且人们利用它的概念 及性质在研究群的结构中也取得了许多丰富的结果r d e d e k i n d ，e w c n d t 和r b e a r 给出了所有子群都正规的有限群的结构，即( g ) = 0 ，g 同构于q 8xe xo 或 交换群，其中( g ) 表示非正规子群的共轭类类数，e 为初等交换2 一群，0 表示元素 的阶为奇数的交换群。基于正规子群在群论研究中的重要地位，这里我们讨论其对偶 闻题，也就是非正规子群的性质对有限群结构的影响1 9 6 6 年，b l a c k b u r n 在文【8 】中 给出了非正规子群有非平凡交的有限群的结构从此，非正规子群对有限群结构的影 响成为热点问题，目前这方面的成果有如下几个部分 ( 1 ) 限定( g ) 的大小，对有限群进行分类，相应的结果有： 1 9 9 5 年，r 0 l fb r a n d l 在文( 1 】中给出了非正规子群共轭的有限群的完全分类， 1 9 9 9 年，h m o u s a v i 在文【2 】中给出了非正规子群的共轭类类数为2 的有限群的完 全分类，2 0 0 9 年，陈顺民在其结果中发现了一些小的错误，并在文 3 】中修正了文【2 】 的结果进一步陈顺民在文 4 】中给出了非正规子群的共轭类类数为3 的有限群的完 全分类及非正规子群的共轭类类数为4 的有限非幂零群的完全分类 ( 2 ) 限定r ( a ) 的大小，即限定非正规子群的个数，对有限群进行分类，相应的结 果有： 2 0 0 8 年，石化国在文【5 】和【6 】6 中给出了恰有2 和5 个非正规子群的有限群的结 构，2 0 0 8 年，毛月梅在文f 7 】中得到了恰有p 个相互共轭的非正规子群的有限群的结 构2 0 1 0 年，作者在文【9 】中给出了非正规子群的个数为7 的有限群的完全分类，未 发表的内容还有非正规子群的个数为4 和6 的有限群的完全分类，对于非正规子群 的个数为8 的有限群将在本文中给出证明 ( 3 ) 考察( g ) 与原群的各种数量关系，相应的结果有： 1 9 9 6 年，j o h np o l a n d 和a k b a rr h e r n t u l l a 在文【1 0 】中得到幂零群g 或为满 足( g ) c ( a ) 一1 的群或为h a m i l t o n 群1 9 9 9 年，r o b c r t al ah a y e 和a k b a r r h c r n t u u a 在文【n 】中得到有限群g 满足( g ) 0 ，则z ( c ) 中含有素数幂阶循环 1 西南大学硕士学位论文 背景与引言 子群c ，使得l v c i 为至多矿( g ) + 1 个素数的积2 0 0 9 年，陈贵云在文【1 2 】中证明 了( g ) 7 ，则g 可解 本文继续这方面的研究，给出了非正规子群的共轭类类数为4 的有限幂零群的 完全分类，这样结合陈顺民非正规子群的共轭类类数为4 的有限非幂零群的完全分 类就可以完全分类非正规子群的共轭类类数为4 的有限群，同时给出了非正规子群 的个数为8 的有限群的完全分类文中主要运用群扩张的理论，p _ 群理论及共轭类 的性质，运用中心扩张的方法，结合前人的工作，对非正规子群进行了进一步的探讨 这个问题的重点和难点在于扩张之后群中非正规子群的计算和证明，以及在没有生 成关系的情况下，通过群的性质来判断群的存在性 我们知道单群的非单位真子群是非正规的，那么我们讨论的课题的意义在于进 一步研究这些群与单群的差距，也从另一个角度去研究群的可解性 2 西南大学硕士学位论文 符号与引理 2符号与引理 在本文中涉及的群均为有限群文中使用的术语和符号参看文献【1 3 】下面列出 文中一些常用的符号 只表示群g 的s y l o wr 一子群 扎，表示g 的s y l o wr 一子群的个数 ( g ) 表示群g 的非正规子群的共轭类类数 p ( g ) 表示群g 中正规子群的个数 7 ( g ) 表示群g 的非正规子群的个数 7 r ( g ) 表示群g 的阶所含全体素因子的集合 1 7 r ( g ) l 表示7 r ( g ) 所含全体素因子的个数 r ( c ) 表示群g 的全体非正规子群的交 i h a i 表示与日共轭的子群的个数 c ( g ) 表示群g 的幂零类 e x p ( g ) 表示群g 的方指数 e 表示初等交换2 一群 q 轨表示轨阶广义四元数群 d 2 表示2 佗阶二面体群 & 表示n 次对称群 c 乙表示死阶循环群 a 宰b 表示群a ，召的中心积 a b 表示群a ，b 的直积 ac h a rg 表示群a 是b 的特征子群 m ) 表示群 ，p = 2 ，礼3 ，p 3 ，n 2 m ( 2 n ，2 ) 表示群 ，n2 2 定理的证明需要如下一些引理 引理2 1 1 1 】若g 为有限幂零群，( g ) = 1 ，则g 兰m ( 矿) 3 引理2 2 n 若g 为有限幂零群，| ，( g ) = 2 ，则g 垒m 眇) xc q ， q 】瓯，q 1 6 ，d s 及m ( 2 n ，2 ) 引理2 3 【4 】若g 为有限幂零群，( g ) = 3 ，当且仅当g 同构于如下群之一 ( i ) m ) q 。 ( i i ) q 8 q ( i i i ) 仉= d s 木岛n ，n 2 ( i v ) 观= ( v ) u 3 = m ) u 4 = ( v i i ) u 5 = ( v i i i ) = 引理2 4 f 1 0 j若a ，b 是两个有限群，则v ( axb ) ( a ) ( 司+ z ，( a ) p ) + p ( a ) ( b ) ，等号成立条件为( 1 a i ，l b i ) = 1 引理2 5 1 1 0 j 若g 为含有指数为p 的循环子群的非交换p 一群，则g 同构于如 下群之一 ( i ) d 2 - = ，c ( c ) = n 一1 ，v ( c ) = 2 n 一4 ( i i ) 勘= ，c ( a ) = n 一1 ，( g ) = 2 n 一5 ( i i i ) q 2 = ，c ( g ) = 佗一1 ，( g ) = 2 n 一6 ( i v ) m ( 矿) = ，c ( c ) = 2 ，( g ) = 1 引理2 6 1 8 1 若g 为p 一群，g 不是d e d e k i n d 群，r ( g ) 1 ，则p ：2 ，且g 同 构于如下群之一 ( i ) w 1 = q 8xc 4xe ，其中e 为初等交换2 一群 ( i i ) = q 8 q 8 e ( i i i ) w 3 = ，其中a 交换但不是初等交 换，r ( c ) = 4 西南大学硕士学位论文符号与引理 引理2 7 【1 4 1 若g 为有限p 一群，则g 为n i t 群当且仅当g 同构于如下群之 一 ( i ) g l 为h a m i l t o n 群 ( i i ) g 2 = h + c 2 ”，其中日为矿阶群当p = 2 时，g 2 = d s 木q n ( i i i ) g 3 = m ( p n + 1 ) ( i v ) g 4 = d s ：i cq 8 引理2 8 【3 】若g 为有限非幂零群，( g ) = 2 ，令p 为g 的非正规的s y l o wp 一子群， 则g 中除p 外，其余s y l o w 子群都正规于g 当p 4 ，矛盾由条件 及s y l o w 定理知n 3 - - - 4 ，则7 r ( g ) = 2 ，3 若1 7 r ( g ) | 2 ，则g 存在正规的s y l o w ，一子群冗，r 2 ，3 ，于是岛p 3 璺g ，p 3 r 笪g ，得p 3 = b 岛np 3 r 里g ，矛盾， 故g = 马忍若马有非平凡的2 阶子群z 乙，玩要g ，则蜀c h a rp 3 h 2 璺g ，得 p 3gg ，矛盾若p 2 无非平凡的2 阶子群，即i p 2 l = 2 ，这与b 非正规矛盾因此不 存在恰有4 个非正规子群的有限非幂零群 若g 幂零，则g 可表为其s y l o w 子群的直积由p 一群的非正规子群的个数被 5 西南大学硕士学位论文符号与引理 p 整除知含非正规子群的s y l o wp 一子群的素因子p 3 但当p = 3 时，g 中出现含 一个子群的非正规子群的共轭类或7 ( g ) 4 ，矛盾，故p = 2 但由引理2 1 ，2 9 知当 ( g ) = 1 时，7 - ( g ) = 2 ，故不满足类型( a ) ，于是( g ) = 2 充分性当g 幂零，( g ) = 2 时，由引理2 2 知g 同构于m ( p n ) xq ，【q 】a ， q 1 6 ，d 8 及m ( 2 竹，4 ) 验证其非正规子群个数可得： 若g 竺m ( p - ) g = ，则两类非正规子群分别为 ， 与 ， x ， 于是7 - ( g ) = 4 若g 竺【q 】q = ，则两类非正规子群分别为 ， 与 ， ，于是f ( g ) - 4 若g 垒q 1 6 = ，则两类非正规子群分别为 ， 与 ， ，于是7 i ( g ) = 4 若g 筌d s = ，则两类非正规子群分别为 ， 与 ， ，于是7 i ( g ) = 4 若g 筌m ( 2 n ，4 ) = ，则两类非正规子 群分别为 ， 与 ， ，于是7 - ( g ) = 4 因此7 ( g ) = 4 当且仅当g 幂零且( g ) = 2 6 西南大学硕士学位论文非正规子群的共轭类类数为4 的有限幂零群 3非正规子群的共轭类类数为4 的有限幂零群 定理3 若g 为有限幂零群，( g ) = 4 ，则g 同构于如下群之一 ( 1 ) 膨( 矿) xc ，其中p ，q 为互异素数 ( 2 ) m ( 2 严) q g ，其中p ，q 和7 为互异素数 ( 3 ) f c 4 】q q ，其中q 为奇素数 ( 4 ) q 1 6 q ，其中q 为奇素数 ( 5 ) d s o ，其中q 为奇素数 ( 6 ) m ( 2 n ，2 ) q ，其中q 为奇素数 ( 7 ) q 3 2 ( 8 ) 陷1 q ( 9 ) 【c 4 c , 8 ( 1 0 ) ( 1 1 ) m ( 2 n ) 岛 证明：设g 为幂零群，pe s y l p ( g ) ，k 为g 的h a l l 一子群，于是g = p k 因为每个非正规子群必包含一个非正规循环子群，所以我们可令户含g 的非正规循 环子群下面从v ( p ) = 1 ，2 ，3 ，4 这4 个情况来证明 情况( 3 1 ) 假设v ( p ) = 1 由( p ) = 1 及引理2 1 知p 皇m ( f ) = 且p ( p ) 3 我们断言k 1 且v ( g ) = 0 若v ( k ) 0 ，则由引理2 4 有 ( pxk ) = v ( p ) v ( k ) + p ( p ) ( k ) + v ( p ) p ( k ) 芝1 1 + 3 1 十l 2 4 ，矛盾 因此4 = ( p k ) = u ( p ) v ( k ) + p ( p ) ( k ) + v ( p ) v ( k ) = 1 p ( k ) ，即u ( g ) = 4 ， 于是k = 或k = g g ，其中p ，g 和r 为互异素数，故g 同构于m 杪) x 或m ( 矿) q g 情况( 3 2 ) 假设( p ) = 2 由( p ) = 2 及引理2 2 知p 笺【c 4 】c 4 ，q 1 6 ，d s 及m ( 2 n ，2 ) 我们仍然有k 1 7 西南大学硕士学位论文非正规子群的共轭类类致为4 的有限幂零群 且p ( k ) = 0 若( k ) o ，则p ( p k ) = v ( p ) v ( k ) + p ( p ) ( k ) + ( 尸) p ( k ) 2 1 + 2 1 + 2x 2 4 ，矛盾因此4 = ( p k ) = ( p ) ( k ) + p ( p ) p ( k ) + ( p ) p ( k ) = 2 p ( k ) ，于是k = q ，其中q 为奇素数，故g 同构于 q 】q q ，q 耶q ，d s q 及m ( 2 n ，4 ) q 情况( 3 3 ) 假设v ( p ) = 3 若v ( p ) = 3 ，则k 1 ，于是( 尸k ) = ( p ) ( k ) + p ( p ) ( k ) + 王，( p ) 弘( k ) 3 肛( k ) 26 ，矛盾 情况( 3 4 ) 假设y ( p ) = 4 因为4 = ( p k ) v ( p ) v ( k ) + p ( p ) ( k ) + | ，( p ) 肛( k ) 芝4 p ( k ) ，所以 k = 1 ，g 为p 一群任取g 的极小正规子群，我们有( g ) = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 下面 分5 步来完成证明 步骤( 3 4 1 ) 若( c n ) = 4 ，v ( c ) = 4 ，则g 笺q 3 2 或【g 】a 由v ( c n ) = l ，( g ) = 4 知g 的非正规子群的交为，即r ( g ) = n 1 ，于是 由引理2 6 知g 垒w 1 ，w 2 或w z 若g 呈w 1 或w 2 ，可验证v ( q 8 a ) = 3 ，v ( q 8 q e ) 26 ，( q 8 q 8 ) = 1 5 ， 同样的结果可参看文献【1 5 】，则l ，( g ) 4 ，矛盾 若g 竺w 3 = ，其中a 是交换2 一群， 但不是初等交换我们考察c r ( c ) 垒召= ，由于b 交换，于是可令b = ，m = ，且 1 6 1 bf2 i b s i 显然e x p ( g ) = e x p ( b ) 下面我们讨论e x p ( b ) 的其他可能性 若e x p ( b ) 1 6 ，则 垒d 2 - ，n 5 ，由引理2 5 知i ，( ) 6 令d 和疗是 中不共轭的非正规子群，我们可以证明d 和口也是 召中不共轭的非正规子群若否，则有d g t 卯= h ，其中夕1 m ，9 2 于是d g - = 日玎1 ，从而矿z = z g ，即9 m n = l ，故d = d g l = 日西1 ，这与d 和日是 中不共轭的非 8 西南大学硕士学位论文非正规子群的共轭类类数为4 的有限幂零群 正规子群矛盾因此( g ) ( ) 6 ，矛盾 若e x p ( b ) = 8 ，则 冬d z 6 ，由引理2 5 知正，( ) = 4 同理 可证 中不共轭的非正规子群也是否中不共轭的非正规子群当s 1 时，在 中取2 阶元名，则 翅召且与 中非正 规子群不共轭，从而否5 ，矛盾当s = 1 时，c r ( c ) 笺d 1 6 ，令r ( c ) = ， d 1 6 = ，于是一= 1 或c ，6 2 = 1 或c ，口6 = c l - 1 或n 一1 ( 3 ， 但由w j 的结构知6 2 = c 因此g 可能的结构有如下4 种 若g 鲁 = 【c 8 c , ，则4 阶子群 ， 和8 阶子群 x ， x 为含r ( a ) 的不共轭 的非正规子群，其余各子群正规，故( g ) = 4 ，满足要求 若g 垒 ，则8 阶子群 为不含t t ( c ) 的非正规子群，故( g ) 4 + 1 4 ，矛盾 若g 型 = q 3 2 ，则由引理2 5 知 ( g ) = 4 ，满足要求 若g 皇 ，则2 阶子群 为不含 r ( a ) 的非正规子群，故( g ) 4 + 1 4 ，矛盾。 若e x p ( b ) = 4 ，则 皇d s ，由引理2 5 知( ) = 2 同理 可证 中不共轭的非正规子群也是否中不共轭的非正规子群当s 1 时，令 ， 为 中不共轭的非正规子群，在 中取2 阶元z ，若1 6 2 i = 2 ，则 ， ， x 为召中不共轭 非正规子群，若1 6 2 i = 4 ，则 ， x ， x 为虿中不 共轭非正规子群，从而召5 ，矛盾当s = 1 时，a r ( a ) 垒d 8 ，令r ( a ) = ， d 8 = ，于是铲：1 或c ，6 2 = 1 或c ，扩= 口一1 或n l c ， 但由w 3 的结构知b 2i m _ c 因此g 可能的结构有如下4 种 若g 笺 = 【瓯】q ，则由引理 2 5 知( g ) = 2 ，矛盾 若g 笺 ，则4 阶子群 为不含r ( a ) 的非正规子群，故z ，( g ) 芝4 + 1 4 ，矛盾 9 若g 笺 = q 1 6 ，贝0 由引理2 5 知 ( g ) = 2 ，矛盾 若g 笔 ，则2 阶子群 为不含 n ( a ) 的非正规子群，故l ，( g ) 4 + 1 4 ，矛盾 若e x p ( b ) = 2 ，则g r ( g ) 中全部是2 阶元，从而y b = b y ，且d g n ( a ) ) ：0 矛盾 步骤( 3 4 2 ) 若u ( g n ) = 3 ，d a ) = 4 ，则g 笺e a j a 6 或 - 由u ( a n ) = 3 及引理2 3 知a n 同构于q 8 q ，弘，玩，u 3 ，u 4 ，玩及下 面分7 个子步骤逐一证明 子步骤( 3 4 2 1 ) g n 星q s a = 令n - - ，j n j _ 2 于是n 4 = 1 或c ，a 2 = 6 2 或b 2 c ，a b ：口一1 或口一1 c ，4 ：1 或c 由0 2 = ( 口2 ) 6 = 0 6 扩= 口一2 c 2 r = o ，其中r = 0 或1 知a 4 = 1 因此g 可能的 结构有如下8 种 若g 呈 = q 8 q 岛，则由引理2 4 知l ( q 8 q 岛) 6 ，矛盾 若g 垒 ， 则4 阶子群 和 为不含极小正规子群n 的不共轭的非正规子群，故 ( g ) 23 + 2 4 ，矛盾 若g 呈 ，则4 阶子群 和 为不含极小正规子群n 的不共轭的 非正规子群，故( g ) 3 + 2 4 ，矛盾 若g 竺 ， 则4 阶子群 和 为不含极小正规子群n 的不共轭的非正规子群，故 ( g ) 23 + 2 4 ，矛盾 若g 笺 ，则4 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭 的非正规子群，故( g ) 3 + 2 4 ，矛盾 7 若g 望 ， 则4 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故 ( g ) 3 + 2 4 ，矛盾 若g 笔 ，则4 阶子群 和 为不含极小正规子群的 不共轭的非正规子群，故( g ) 3 + 2 4 ，矛盾 若g 笔 ， 则4 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故 p ( g ) 3 + 2 4 ，矛盾 子步骤( 3 4 2 2 ) c n 竺d 8 木： 令n = ，i n l = 2 于是0 2 ”= 1 或c ，口扩一= 6 2 或b 2 c ，矿= 6 1 或b - l c ， t 2 = 1 或c 由6 2 = ( 6 2 ) = 矿扩= b - 2 c 2 = b ，其中r = 0 或1 知b 4 = 1 ，口2 ”= 1 因此g 可能的结构有如下8 种 若g 笺 = d 8 掌g nxq ，则由引理2 4 知v ( d 8 木c 2 nxq ) 6 ，矛盾 若g 鲁 ，则2 阶子群 和 为不含极小正规子群n 的不共轭 的非正规子群，故v ( c ) 3 + 2 4 ，矛盾 若g 垒 ，则2g t - y 群 和 为不含极小正规子群n 的不共轭 的非正规子群，故，( g ) 3 + 2 4 ，矛盾 若g 笺 ，则2 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭 的非正规子群，故( g ) 3 + 2 4 ，矛盾 1 1 西南大学硕士学位论文非正规子群的共轭类类数为4 的有限幂零群 若g 竺 ， 则2 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规 子群，故v ( c ) 3 + 2 4 ，矛盾 若g 垒 ， 则2 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规 子群，故v ( c ) 3 + 2 4 ，矛盾 若g 皇 ， 则8 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子 群，故( g ) 3 + 2 4 ，矛盾 若g 笺 ，则2 阶子群 ，4 阶子群 为不含极小正规子群的不共轭的非正规 子群，故( g ) 之3 + 2 4 ，矛盾。 子步骤( 3 4 2 3 ) c n 型巩= 令n _ - - - ，l n l = 2 于是口4 = 1 或c ，b 8 = 1 或c ，n 6 = n _ 1 或口一1c 因此g 可能的结构有如下8 种 若g 鲁 = c 2 ，贝0 由引理2 4 知( 仉c 2 ) 6 ，矛盾 若g 竺 ，则4 阶 子群 和8 阶子群 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故 z ，( g ) 23 + 2 4 ，矛盾 若g 呈 = 【a 】c 1 8 ，则4 阶子 群 为不含极小正规子群的非正规子群，而1 6 阶子群 ， 和8 阶子群 为含极小正规子群的不共轭的非正规子群，其余各子群正规，故 ( g ) w i n _ _ 4 ，满足要求 若g 望 ，则4 阶子群 为不含极小正规子群的非正规子群，而1 6 阶子群 ， 和8 阶子群 为含极小正规子群的不共轭的非正规子群，其余各子群正规，故 1 2 西南大学硕士学位论文非正规子群的共轭类类数为4 的有限幂零群 ( g ) d - - - - - 4 ，满足要求 若g 兰 ，则8 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故p ( g ) 3 + 2 4 ，矛 盾 若g 笺 ，则8 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故( g ) 3 + 2 4 ，矛 盾 若g 笺 ，则4 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故( g ) 3 + 2 4 ，矛 盾 若g 竺 ，则4 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故z ，( g ) 3 + 2 4 ，矛 盾 子步骤( 3 4 2 4 ) a u 冬u 3 = 令n = ，j nj w - - w , 2 于是0 4 = 1 或c ，6 8 = 1 或c ，扩= o j - 1 6 4 或口b 4 c 因 此g 可能的结构有如下8 种 若g 竺 = 巩x 岛， 则由引理2 4 知( u 3xc 2 ) 6 ，矛盾 若g 皇 ，则4 阶 子群 和8 阶子群 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故 v ( a ) 3 + 2 4 ，矛盾 若g 掣 ，则4 阶子群 和2 阶子群 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故 ( g ) 3 + 2 4 ，矛盾 若g 髦 ，则4 阶子 群 和2 阶子群 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故 二，( g ) 3 + 2 4 ，矛盾 1 3 西南大学硕士学位论文非正规子群的共轭类类数为4 的有限幂零群 若g 兰 ，则8 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故( g ) 3 + 2 4 ，矛 盾 若g 鲁 ，则8 阶子群 和 为不含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故( g ) 3 + 2 4 ，矛 盾 若g 笺 ，则8 阶子群 和1 6 阶子群 ， ， 为含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故 z ，( g ) 4 ，矛盾 若g 鲁 ，贝g8 阶子群 和 1 6 阶子群 ， ， 为含极小正规子群的不共轭的非正规子群，故 v 岭、24 ，署盾 子步骤( 3 4 2 5 ) g 竺砜= 令= ，i i = 2 于是0 8 = l 或c ，一= 6 4 或6 4 c ，口6 = o 一1 或a - l c ，由 0 4 = ( 口4 ) 6 = 扩口6 扩矿= a - 4 = o 一，其中r = 0 或1 知d 8 = 1 因此g 可能的结 构有如下4 种 若g 笺 = u 4 g ， 则由引理2 4 知( u 4xg ) 6 ，矛盾 若g