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几类映射与广义纤维拓扑范畴的分离性 摘要 内容摘要：纤维分离条件在t o p b 范畴( 对象是以口为基底的纤维拓扑空间 仁，p ) ，留) ，态射是x 到y 的连续映射妒且满足鼋。妒一p ) 中占有重要地位。 在t o p b 范畴中两个对象之间的分离性如何保持( 逆保持) 与态射的选择有直 接关系。本文在结合t o p b 范畴中已有性质的基础上，主要是t o p 范畴( 对象 是仁，p ，b ) 何，口，d ) ，态射是连续偶( 九a ) ，a 。p q 。驴) 中两个对象之间的分离 性如何保持( 逆保持) 而做出的推广，引入并讨论了三种对于保持( 逆保持) 分 离性有很好的性质的映射。主要内容有： 1 、积投射在底空间之间，纤维拓扑空间之间时对t o p 范畴的纤维r 。性， 纤维互o 一0 , 1 , 2 ) 性，纤维( 完全) 正则性，纤维( 函数) 正规性的一些保持( 逆 保持) 分离性的性质。 2 、有限对一映射在纤维拓扑空间中对纤维民性的一些保持( 逆保持) 分离 性的性质。 3 、完全纤维映射在纤维拓扑空间中对纤维正则性等的一些保持( 逆保持) 分 离性的性质。 关键词：t o p b 范畴；t o p 范畴；纤维风性；纤维互g - 0 , 1 , 2 ) 性；纤维( 完全) 正则 性：纤维( 函数) 正规性：积投射：有限对一映射：完全纤维映射。 几类映射与广义纤维拓扑范畴的分离性 a b s t r a c t c o n t e n t ：t h ef i b r e w i s es e p a r a t e sc o n d i t i o nh o l d si m p o r t a n ts t a t u si nt h e t o p b c a t e g o r y ( t h eo b j e c t sa r et h ef i b r e w i s et o p o l o g i c a ls p a c e so v e rb ，f o rt w oo b j e c t s 仁，p ) ，何，q ) ，am o r p h i s mf r o mz t oyi sac o n t i m u o u s m a p p i n gs u c ht h a t q 。妒。p h o wt op r e s e r v e st h es e p a r a t i o np r o p e r t i e sb e t w e e nt w oo b j e c t so ft o p b c a t e g o r yh a v ed i r e c te f f e c tw i t ht h em o r p h i s m 妒c o m b i n e dp r o p e r t i e sw i t hh a v i n gl i s t e d p r o p e r t i e s o f t o p bc a t e g o r y ，t h i st h e s i s w i l l m i a n l yg e n e r a l i z e t h es e p a r a t e s p r o p e r t i e sp r e s e r v e s ( i n v e r s e l yp r e s e r v e s ) w h i c hb e t w e e ni nt h et w oa l r e a d yo b j e c t so f t o p c a t e g o r y ( t h eo b j e c t s a r e ，p ，b ) a n d ，q ，d ) ，t h em o r p h i s m i s a c o n t i m u o u sp a i ro f ( ，a ) ，w h i c hs taop = q o 妒w ew i l ld r a wi na n dd i s c u s st h r e e m a p p i n g sw h i c hh a v eg o o dp r o p e r t i e sa b o u tp r e s e r v e s ( i n v e r s e l yp r e s e r v e s ) s e p a r a t i o n p r o p e r t i e s ， m a i nc o n t e n th a v e ： 1 ，h o wt h e p r o d u c tm a p p i n gp r e s e r v e s ( i n v e r s e l yp r e s e r v e s ) f i b r e w i s e 风，f i b r e w i s et ig = 0 , 1 , 2 ) ，f i b r e w i s e ( c o m p l e t e l y ) r e g u l a r ，f i b r e w i s e ( f u n c t i o n a l l y ) n o r m a lp r o p e r t i e so f t o p sc a t e g o r y w h e ni te x i s tb e t w e e nb a s es p a c e so rf i b r e w i s e t o p o l o g ys p a c e s 2 ，t h el i m i t e dt oo n em a p p i n g g p r e s e r v e s ( i n v e r s e l yp r e s e r v e s ) f i b r e w i s e 凡o f t o p bc a t e g o r y b e t w e e ni nf i b r e w i s et o p o l o g ys p a c e s 3 ，t h ec o m p l e t e l yf i b r e w i s em a p p i n gp r e s e r v e s ( i n v e r s e l yp r e s e r v e s ) f i b r e w i s e n o r m a lp r o p e r t i yo f t o p bc a t e g o r yb e t w e e ni nf i b r e w i s et o p o l o g ys p a c e s k e yw o r d s ：t o p bc a t e g o r y ；t o p , c a t e g o r y ； f i b r e w i s e 风； f i b r e w i s e 互o 一0 , 1 , 2 ) ；f i b r e w i s e ( c o m p l e t e l y ) r e g u l a r ；f i b r e w i s e ( f u n c t i o n a l l y ) n o r m a l ：t h e p r o d u c tm a p p i n g ：t h el i m i t e dt oo n em a p p i n g ；t h ec o m p l e t e l yf i b r e w i s em a p p i n g i i 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的 研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做 了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 呶了笔 日期： 学位论文版权的使用授权书 m 、歹l 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 并进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密 的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者躲杈弋弓 指导教师签名： 日期： 矶哪矗| ， 、7 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 1 前言 1 1 问题的提出 纤维拓扑空间是以某一拓扑空间为基底的。当基底空间为一个点的时候，纤 维拓扑理论就是一般的拓扑理论了。以拓扑空间召为基底的纤维拓扑空间是一偶 仁，p ) ，其中x 是拓扑空间，p ：x 呻b 是连续映射，x 上的纤维拓扑是使p 连 续的任意拓扑。最粗的拓扑是由p 导出的，即x 中的每一个开集都是b 中开集 的逆象。例如：对于任意的拓扑空间r ，b 和z 的乘积拓扑b x t 就可以看作是 以口为基底的纤维拓扑空间。早在两个世纪以前，r i c l n a n n 就已经提出了纤维拓 扑的思想，但是直到上个世纪三十年代，h u r e w i c z 研究纤维空间时才建立了这 一理论。再晚些时候，w h i n t e y 研究纤维丛时发展了这一理论。w h y b u r c 是第一 个采用纤维观点的拓扑学家，接着w h y b u r c 前面的工作之后，c a i n 1 和其他人 又做了一些工作，包括p a s y n k o v 2 和他的前苏联学生。b o o t h 和b r o w n 3 ，【4 】 第一次在纤维映射空间构造了令人满意的纤维拓扑。最近，b o o t h b r o w n 拓扑已 经被l e w s i 恢复【5 】。在纤维拓扑空间中，许多的概念都是一般拓扑学空间中重 要概念的纤维对应。在某些情况下，纤维拓扑空间具有的特殊性质等价于它的每 个纤维具有这个性质。但是大多数情况下，这种遗传等价性是不存在的。于是就 要求空间上的拓扑起到一定的作用。例如：以b 为基底的纤维拓扑空间x 是纤 维闭的，若p ：x - b 是闭映射。 许多著名的数学家都对研究纤维拓扑空间有很大兴趣，得出许多重要结果， 参见 6 1 1 1 1 i m j a m e s 在1 9 8 7 年对纤维拓扑空间理论进行了系统的整理【1 2 】。在 f 1 2 1 的前半部分，i m j a m e s 详细的阐述了纤维拓扑空间的来源，给出了纤维拓扑 空间中分离性条件的许多重要性质。但是i m j a m e s 先生只是在同底的纤维拓扑 空间范畴中讨论了这些性质，我们自然会考虑到如果把它们推广到不同底的纤维 拓扑空间范畴中，那么这些性质是否还是成立呢? 辽宁师范大学的张新在广义纤 维拓扑范畴中纤维分离性条件的推广 1 3 1 一文中就把这些性质推广到了不同底 的广义纤维拓扑空间范畴上，并具体的讨论了这些性质在广义纤维拓扑范畴中对 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 于两个纤维拓扑空间之间以及它们分别对应的底空间之间需要满足什么条件时 才可以保持( 逆保持) 纤维拓扑空间上的分离性。如果我们进而把这些条件具体化 到一些具有良好性质的映射上，这些映射是否也可以具有保持或者逆保持分离性 的性质呢? 如果具有的话，他们是如何保持分离性的呢? 我们又可以通过怎样的 方式来加强或者减弱他们对分离性的限制? 这就是本文所要讨论的问题。 1 2 文章结构与简介 除前言外，文章分成四部分。 第一部分介绍了正文中的一些符号的含义以及必要的预备知识。本文主要是对 对纤维拓扑范畴中纤维分离性质的一些推广，所以第二，三，四部分分别讨论了 纤维拓扑空间范畴中两个对象僻，) ，p ，g ) 之间的态射妒保持( 逆保持) 纤维尺。 性，纤维正1 0 f 。ol , 2 ) 性，纤维( 完全) 正则性，纤维( 函数) 正规性所满足的条 件，然后具体的证明了在不同底的纤维拓扑空间中妒满足同样的条件时，纤维拓 扑空间之间的映射和底映射如果分别是投射，有限对一映射时可以满足的一些分 离性性质。主要考虑的是这些映射本身具有的性质在拓扑空间中对分离性保持 ( 逆保持) 的作用。同时由于紧性和分离性的关系，我们引入完全纤维映射，并 结合完全纤维映射本身的性质来论证了它在拓扑空间中对分离性保持( 逆保持) 的作用。 2 预备知识 令b 是一基集，以b 为基底的纤维集是一偶( x ，p ) ，其中x 是任意集，p ： x _ b 称为纤维投射。对于任意b e b ，x 的子集x 6 一p 1 ( 6 ) 称为纤维。纤维 有可能是空的，因为我们并不要求p 是满射。对于任意口的子集b ，x 的子集 石口一p - 1 b 称为以口为基底的纤维集。 令b 是一给定的拓扑空间，x 是以b 为基底的纤维集。若x 上的拓扑使得p ： x 呻b 是连续的，则称x 上的拓扑为纤维拓扑。以b 为基底的纤维集及其上的 2 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 纤维拓扑构成以口为基底的纤维拓扑空间。x ，y 是以口为基底的纤维拓扑空间， p ：x _ b ，q ：l ，呻b 是连续映射。是x 到y 的映射若妒是连续的且满足 q 。妒一p ，则称是x 到y 的一个连续纤维函数。以召为基底的纤维拓扑空间为 对象，以连续纤维函数为态射构成一个范畴，称为纤维拓扑范畴，记为t o p b 范 畴。同样以不同基底的纤维拓扑空间为对象，以连续映射为态射也构成一个范畴， 我们称为广义纤维拓扑范畴，记为t o p 范畴，现在我们给出t o p b 范畴中的一些 概念，对于更多的细节可以参考 1 2 3 。 如无特殊声明本文所讨论的空间都是指拓扑空间，映射都是连续的，邻域都是 开邻域。 定义2 1x ，y 是以口为基底的纤维拓扑空间，驴：x y ，对于任意点 x e x 。，b e b ，驴 ) 的邻域v 的逆象妒以i v 】是x 的邻域，则称妒是连续的。为简单 记我们表示连续的映射为“贸 映射。 定义2 2x ，y 是以j 5 i 为基底的纤维拓扑空间，妒：x y ，对于任意点 b e b ，) ，e ，都存在庐1 ( ) ，) x ，则称妒是满的。为简单记我们表示满的映射为 “s 映射。 定义2 3x ，】，是以8 为基底的纤维拓扑空间，妒：x _ 】，对于任意两点 x 1 ，工2e x 6 ，b e b ，z ，毒工2 ，都有爹o 。) o ：) ，则称是单的。为简单记我们表示 单的映射为“酊映射。 定义2 4 石是以b 为基底的纤维拓扑空间，若纤维投射p ：x - 曰是闭( 开) 的，则称x 是纤维闭( 开) 的。 定义2 5z ，y 是以b 为基底的纤维拓扑空间，：x y ，对于任意点 b e b ，x e x ”石的邻域矿的象矿】是o ) 的邻域，则称是开的。为简单记我们 表示开的映射为“0 映射。 定义2 6x ，y 是以口为基底的纤维拓扑空间，妒：x 呻y ，对于任意点 b e b ，z x ”z 的闭包邻域v 的象少】是痧o ) 的闭包邻域，则称驴是闭的。为简 单记我们表示闭的映射为“c 映射。 3 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 定义2 7x i x ，x 2 x x 。和任一x ；，i e n 都是以口为基底的纤维拓扑空 i 日- j ，噍：x 呻x ，对于任意点6 b ，z x 。，以 ) 一屯，则称妒是积投射。为简单 记我们表示积投射为“p 映射。 定义2 8设x ，y 是两个集合，如果映射f ：x y 满足：对任意的 ye y ，厂1 ( ) ，) 为x 中的有限集，则称厂是x 到】，的有限对一映射。为简单记我们 表示有限对一映射为“z 一0 映射。 定义2 9 假设x 是b 上的纤维h a u s d o r f f 空间，y 是d 上的纤维拓扑空间， 相应的纤维拓扑投射分别为p ，q ，如果，：x y 满足：a 。pi q 。厂且，是闭的， 如果对任意的y e y , f 1 ( ) ，) 是x 中的紧集，则称厂是xn r _ k g j 完全纤维映射。 为简单记我们表示积投射为“c d 映射。 定义2 1 0 则若映射s 是纤维投射p 的连续右逆，即p 。si i d ，则称s 是p 的 截面。 定义2 1 1x 是以j 5 i 为基底的纤维拓扑空间，若对于任意点b e b ，x e x 6 ，存在 b 的邻域形，截面s ：形_ 工w 满足s ( b ) ix ，则称x 是局部切片的。 定义2 1 2x 是以b 为基底的纤维拓扑空间，若对于任意点x e x 6 ，b e b ，x 的 任意邻域y ，存在6 的邻域形，满足石矽n 田c v ，则称x 是纤维凡的。 定义2 1 3x 是以b 为基底的纤维拓扑空间，若对于任意两点x ， z x b ，6 b ，x x ，称x 是纤维l 的，f = o ；1 , 2 若x 分别满足以下条件： f = 0 ：至少存在工或z 的一个邻域不含另外一个点； f = 1 ：x ，z 分别存在一个邻域不含另外一个点； f 。2 ：z ，工有不相交的邻域。 兀的纤维拓扑空间也称为纤维h a u s d o r f f 的，以b 为基底的纤维拓扑空间，x 是纤维l ( i 一0 3 ) 的，等价于任意z x ，纤维x p c x ) 是i ( i ；0 , 1 ) 的，但是 这种情况不适用于纤维瓦空间。 4 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 定义2 1 4 石是以口为基底的纤维拓扑空间，若对于任意两点z ， x 瓦，be b ，x 一工，存在b 的邻域w ，存在连续函数口：x 呻，满足 f 口o ) 1 0 ； ，则称x 是纤维函数疋的。 i 口 ) - 1 ； 定义2 1 5x 是以b 为基底的纤维拓扑空间，若对于每个p d x e x 6b e b ，石的 任意邻域矿，存在b 的邻域缈，存在x 的邻域u ，ucx 矽，满2 ：x 矽n ucv ，则 x 是纤维正则的。 定义2 1 6x 是以曰为基底的纤维拓扑空间，若对于每个点x x 。b e b ，x 的 f 口 ) _ 1 ； 任意邻域矿，存在b 的邻域形，存在连续函数口：x 矿呻，满足 ，则 【a ( x ) 一0 ； 称x 是纤维完全正则的。 定义2 1 7彳是以口为基底的纤维拓扑空间，任意b e b ，若日，k ，是x 的 任意两个不交闭集，若存在b 的邻域形，使得分别存在x 矽n 日，x 矽nk 的不交 邻域u ，y ，则称x 是纤维正规的。 定义2 1 8 x 是以b 为基底的纤维拓扑空间，任意b e b ，若日，k ，是工的 任意两个不交闭集，存在b 的邻域矽，存在连续函数口：x 矽一，满足： f a ( x ) = o , x e x 矽n h ； j ，则称x 是纤维函数正规的。 i a ( x ) = 1 ，z e x 矿n k ； 关于b 为基底的纤维拓扑空间分离性之间的关系，文献 1 2 中作者已经详细的 给出了一系列的命题，有些命题在推广到广义纤维拓扑范畴中仍然会有一些有趣 的性质，文献 1 3 的作者就对这些性质也进行了一些讨论。其中有些性质在广义 纤维拓扑范畴中与我们所讨论的几类函数有着很多的联系。因此我们将在后面的 章节当中进行相应的讨论，下面先将文献 1 2 中的一些命题列举出来。 命题2 1 1 2 1x 是以且为基底的纤维拓扑空间，若x 是纤维j 下则且是纤维瓦的， 5 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 则x 是纤维疋的。 命题2 2 【1 2 1x 是以8 为基底的纤维拓扑空间，若x 是纤维完全正则且是纤维 瓦的，则x 是纤维函数瓦的。 t o p 范畴是x c l - = t o p b 范畴而言的，它的对象类是纤维拓扑空间到其基底上 的连续映射。对于两个对象，：x - 口，g ：y 呻d ，厂到g 的态射是一个连续偶 ( 驴，a ) ，其中妒是x 至：l j y 的一个连续映射，a 是b 到d 的连续映射且偶 ，a ) 满足 图交换： x_y f 、 g b- d t o p 范畴的对象全体记为o b ( t o p ) ，态射的全体记为m o r ( t o p ) ，t o p 范 畴中的两个对象( x ，) ，g ) 之间的全部态射记为h o m ( x ，y ) 因为范畴t o p b 同 构于t o p 范畴的一个子范畴。即b d ，a i d ，所以t o p 范畴是t o p b 范畴的推 广。纤维分离性在同基底和不同基底的纤维拓扑空间都有很重要的作用，对于 t o p b 范畴，文献 1 2 论了在纤维投射是开的或者闭的，纤维拓扑空间所具有的 一些有趣的性质。例如：x ，y 是以口为基的纤维拓扑空间，有如下一些结论：( 1 ) 西：x y 是连续纤维满射，若x 是( a ) 纤维闭的，( b ) 纤维开的，( c ) 局部切片的， 则y 分别是( a ) 纤维闭的，( b ) 纤维开的，( c ) 局部切片的( 2 ) 妒：x y 是闭( 开) 的连续纤维映射，若】，是纤维闭( 开) 的，则x 是纤维闭( 开) 的在文献 1 3 中，作 者把这些关系以及关于同底纤维拓扑空间上的分离条件的性质推广到了t o p 范 畴中，并得出了一系列的重要性质，例如： 命题2 3 ”1g ，曰) ，d ) o b ( t o e ) ，( 妒，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中：x y 是连 续纤维满射，a ：b 呻d 是闭的连续映射，若x 是纤维闭( 开) 的，则y 是纤维闭( 开) 的 命题2 4 【1 3 1 ( x ，b ) ，p ，d ) o b ( t o p ) ，( 妒，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中妒：x 呻y 是连 6 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 续纤维满射，a ：b 呻d 是开的连续映射，若x 是局部切片的的，则y 是局部切片 的 命题2 5 t 1 3 1 ( x ，b ) ，口，d ) o b ( t o p , ) ，( 办3 ) e h o m ( x ，y ) ，其中妒：x y 是闭 ( 开) 的连续纤维映射，a ：b 呻d 是连续的满射，若y 是纤维闭( 开) 的，则x 是纤 维闭( 开) 的 在纤维拓扑空间的分离性方面，文献 1 3 的作者则把文献 1 2 中的一些在 t o p a 范畴中的重要性质做了它们在t o p 范畴上的推广，例如： 伍，召) ，o r ，d ) o b ( t o p , ) ，( 妒，a ) h o m ( x ，y ) ， ( 1 ) 妒：x y 是纤维嵌入映射，a ：b _ d 是连续满射或嵌入映射，则若y 是纤维r 的，x 也是纤维风的。 i ( 2 ) ：x y 是开的连续纤维满射，a ：口_ d 是连续满射或嵌入映射， 则若x 是纤维尺。的，】，也是纤维风的。 ( 3 ) ：彳y 是闭的连续纤维满射，a ：b 一d 是开连续满射，则若x 是纤 维r 的，】，也是纤维风的。 文献 1 3 中关于分离性的保持( 逆保持) 性质还有很多，我们将不再一一赘 述，详情请参照 1 3 。 在这里我们将要具体的分析一下几类具有良好性质的映射： ( 1 ) 积投射； ( 2 ) 有限对一映射； ( 3 ) 完全纤维映射； 在t o p 范畴中对于何种分离性可以保持( 逆保持) 同时，对于一些能够限制 纤维拓扑空间结构的映射，我们同样将会利用它们限制条件，使得纤维拓扑空间 之间能够保持( 逆保持) 纤维分离性。 为了在以后讨论时简单记，我们规定t o p 范畴中态射连续偶，a ) 如果满足： ( 1 ) 毋：x y 是连续纤维满射，a ：b d 呻口是投射。 ( 2 ) 毋：x - y 是闭的连续纤维满射，a ：bxd - 曰是投射。 7 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 ( 3 ) 驴：xx y x 是纤维投射，a ：b d _ b 是投射。 ( 4 ) 币：x 一y 是连续纤维单射，a ：b d 一b 是投射。 ( 5 ) 驴：x 一】，是开且闭的连续纤维满射，a ：b x d _ b 是投射。 ( 6 ) ：工呻l ，是闭的纤维投射， ：bx d - b 是投射。 ( 7 ) 妒：x - xx l ，是闭的纤维嵌入映射，a ：b xd - b 是投射。 ( 8 ) 妒：xx y 一x 是闭的纤维投射，a ：b 呻d 是开的连续映射。 ( 9 ) 妒：xx y 呻盖是纤维投射， ：曰_ d 是开的连续映射。 ( 1 0 ) 驴：x - y 是闭的有限对一纤维映射，a ：bi d 是开的连续映射。 ( 11 ) 庐：x _ y 是闭的有限对一纤维映射，a ：毋x d 呻b 是投射。 ( 1 2 ) 妒：xx y 呻盖是有限对一的纤维投射，a ：口呻d 是连续映射。 ( 1 3 ) ：j xy _ z 是有限对一的纤维投射，a ：b - d 是连续满映射。 ( 1 4 ) 妒：x - r 是完全纤维映射，a ：曰_ d 是连续映射。 ( 1 5 ) 妒：x _ y 是开的连续纤维映射，a ：b x d 呻b 是投射。 ( t 6 ) 妒：x 1 ，_ 盖是闭的纤维投射，a ：bxd - 曰是投射。 ( 1 7 ) 妒：x _ y 是闭的纤维嵌入单射，a ：b d - 丑是投射。 ( 1 8 ) 妒：x - 1 ，是闭的连续纤维单射，a ：bxd 呻且是投射。 则分别简记为： ( 1 ) s p 偶。 ( 2 ) 甜一p 偶。 ( 3 ) p p 偶。 ( 4 ) s i p 偶。 ( 5 ) o c s p 偶。 8 一 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 “二一一 ( 6 ) c p p 偶。 ( 7 ) c q p 偶。 ( 8 ) 甲一d 偶。 ( 9 ) p 一0 偶。 ( 1 0 ) c o 一0 偶。 ( 1 1 ) c o p 偶。 ( 1 2 ) l o p 一卵偶。 ( 1 3 ) l o p 一置偶。 ( 1 4 ) c o 一犯偶。 ( 1 5 ) o - - p 偶。 ( 1 6 ) c p p 偶。 ( 1 7 ) c q s i - p 偶。 ( 1 8 ) c s i p 偶。 3 积投射与t o p 。范畴的纤维分离性 3 1 积投射的性质以及其与t o p 范畴中的一些性质 引理3 1 1 设z = 五x 置x x x 是即苫1 个拓扑( 纤维拓扑) 的积空间，则对 y 每- - 4 i 0 , i , 2 ，万，x 到它的第f 个坐标集置的投射p 。：z 一善。是一个满 的连续开映射 证明：显然p ，是一个满射对于肖，中的每一个开集以，显然a 1 ，) 是z 的 某一个子基的元素，因此必定是j 中的一个开集这就证明了p ，的连续性令声 是x 拓扑中的基，要证明a 是个开映射，只需验证卢中每一个元素的p i - ! 像是 工r 中的开集即可而这是显然的，因为若u ，u ，u 。分别是五，x 2 ，以中的开 集，则p i ( u x u 2x x u 。) 一u i 是x j 中的一个开集同理，对于纤维拓扑，我们也 9 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 可以做类似的证明。 不失一般性，我们将只讨论f 。2 时的拓扑( 纤维拓扑) 积空间的性质。这 些性质也可以推广到b2 的积拓扑空间上。鉴于引理3 1 1 所体现出来的积投 射的性质，我们自然可以把它推广n r o p 范畴中的纤维拓扑空间和基底拓扑空 间之间的映射当中，并可以由此得出一系列的关于t o p , 范畴中的纤维拓扑空间 之间的保持( 逆保持) 自身性质的结论，如果底拓扑相同，则显然就成为了t o p b 范畴的乘积空间与其分别的投射空间之间的性质讨论。由于在文献 1 2 中已经讨 论过类似问题，因此在这里我们将不再赘述。 t o p 范畴中两个对象类中一个对象映射保持的它所在的纤维拓扑的局部切 片性和开闭性在态射偶存在积投射的条件下仍然有一些会使另一个对象映射保 持它所对应的纤维拓扑空间的切片性和开闭性。下面我将具体的讨论这些性质。 命题3 1 1 设僻，p ，b d ) ，q ，曰) d 6 ( 兀屺) ， ，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中 ( 妒，a ) 是s p 偶，若伍，p ，b x d ) 是局部切片的，则( y 仍曰) 是局部截面的 证明：任意取点y 匕，de b ，取b e a - 1 d ，工驴y ，z x 6 ，由于僻，p ，b d ) 是 局部切片的，从而存在b 的邻域，截面s ：彤x 。满足s p ) - z ，因为是 a ：bx d 呻b 是投射，因此是开的，所以w ia ( 肜) 是d 的邻域则 驴。s 。万1 ：形_ 是截面。因此，q ，b ) 是局部截面的 命题3 1 2 设僻，p ，b x d ) ，q ，b ) e o b ( t o p ) ，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中 ( 妒，a ) 是s p 偶，若僻，p ，b d ) 是局部切片的，则，口，曰) 也是局部切片的 证明：任意取点ye l ，d 召，i 驭be a , d ，x 驴y ，x e x 6 ，由于( x ，p ，b xd ) 是局部切片的，从而存在b 的邻域，截面5 ：呻x ，满足s ( b ) ix ，因为是 a ：bxd _ 口是投射，因此是开的，所以w ta ( 形) 是d 的邻域则 妒。5 。r 1 ：形_ 是截面且满足。s 。打1 ) 一y 所以，q ，口) 是局部切片的。 命题3 1 3 设( x y ，p ，b x d ) ，q ，b ) o b ( t o p , ) ， ，a ) e h o m ( xx y ，l ，) ，其 1 n 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 中( 驴，a ) 是p p 偶，若伍y ，p ，b xd ) 是局部切片的，则( y ，q ，b ) 也是局部截面 的 证明：任意取点工x d ，d 曰，取6 r l d ，y 妒以工，ye x k ，xx y 是局部切 片的，从而存在b 的邻域形，截面s ：缈一x 匕满足s p ) z ，y ) ，因为是 a ：bx d _ b 是投射，因此是开的，所以w 一a ( 矽) 是d 的邻域则 。s 。a - 1 ：矽呻工矽是截面所以g ，q ，口) 是局部截面的。 命题3 1 4 设伍y ，p ，bx d ) ，q ，b ) d 6 ( 兀磁) ，劬，a ) h o m ( xx y ，y ) ，其 中( 妒，a ) 是p p 偶，若( zx y ，p ，bx d ) 是局部切片的，则( y ，q ，b ) 也是局部切 片的 证明：任意取点工x d ，d e b ，取6 a d ，y - 1 z ，y x k ，x l ，是局部切 片的，从而存在b 的邻域形，截面s ：矿一x l 满足s ( b ) 一o ，) ，) ，因为是 a ：bx d 呻曰是投射，因此是开的，所以w 一a ( 矽) 是d 的邻域则 妒。j 。a 。1 ：形一是截面且满足夕。s 。a - 1 p ) ；y ，所以( 只缈b ) 是局部切片的。 命题3 1 5 设，p ，b x d ) ，q ，b ) e o b ( t o p o ) ，( ，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中 ( ，a ) 是0 一p 偶，若y 是纤维开的，则x 是纤维开的 证明：，：工_ 夙a 是x 的子集，阳】= a o g 。多阳】因为g ，是开的，于是 g 。m 】是开集从而厂m 1 是口的开子集，进而，是开的所以x 是纤维开的 推论3 1 1 设，p ，bx d ) ，p ，q ，n ) o b ( r o p ) ，( 妒，a ) h o m ( x ，l ，) ，其中 ( 多，a ) 是p p 偶，若y 是纤维开的，则x 是纤维开的 3 2 积投射与t o p 范畴的纤维风性 命题3 2 1 设僻，p ，b x d ) ，q ，b ) o b ( r o p ) ，z ) h o m ( x ，y ) ，其中 ( 妒，旯) 是一p 偶，则若僻，p ，b d ) 是纤维民的，( y ，q ，丑) 也是纤维只。的 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 证明 ：任 意取 y k ，de b xd ，v是 y 的任 一 邻 域，b - r 1 ) z 一1 ( y ) x e x b ，u - 。1 y 是x 的邻域，由于僻，p ，b d ) 是纤维 r o 的，则存在wcu o ) 满足昂n 丽c u ，由于a ：bxd _ b 是投射，因此 w 。- a 咿 l c u ( d ) 而n d 一 c n 妒两一妒矽n 翮c 缈= y 所以 ，g ，曰) 是纤维凡的 命题3 2 2 设僻，p ，bx d ) ，( y ，q ，b ) e o b ( t o p ) ， ，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中 ( 妒，a )o s p 偶，若( y ，q ，b ) 是纤维尺。的，则僻，p ，口d ) 不一定是纤维民的。 反例：假设 x = 0 , 1 1 x2 ，q ( x ) 一i 缈一) v ( 3 ae q o ，1 【，v k 珥 吣) v ( 3 a ，卢q o 朋，口苫卢， v 一】口棚 o v 垆 1 】m 】- 。其中q 偿) 表示x 上的拓i t b 。 y - o ，1 】，q ( 功是s c o t t 拓扑。d 0 ，b - y 一】0 朋，q p ) = q ，：工一y ，p ：x 呻d 0 ) ，q ：y 一口定义如下： ， ，f ) ixv ( x ，f ) 1 1o ，0 )q = 1 y 显然，厂是满开映射，而p 是积投射，下面说明纤维空间( y ，q ，曰) 是纤维风的， 而，p ，b d ) 不是纤维尺。的。 因为口是恒同映射，( y ，q ，b ) 是纤维风的显然。只说明( x ，p ，曰d ) 不是纤维r 。 的。任意取 ，0 ) x ，设口 x 则】口，1 【 吣是o ，0 ) 的开邻域， 但 ( x ，o ) ) ；】0 ，z 】 0 ) u 】0 ，石】 1 ) = 】0 ，x 】2 。 而对任意的k ，1 】0 ，1 】，若工q a , 1 】则： p 4 【p ，1 】- a ，1 】2 p 。1 【k ，1 】n o ，0 ) ) - a ，z 】2 旺k ，1 】 o ) 。 这说明( x ，p ，b d ) 不是纤维r 。的。 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 3 3 积投射与t o p 。范畴的纤维( 函数) 互( f 一0 , l 2 ) 性。 命题3 3 1 设伍，p ，b x o ) ，( y ，q ，s ) e o b ( t o p ) ， ，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中( 妒，a ) 是s i p 偶，若，口，b ) 是纤维互o 一0 ，1 ) 的，则( x ，p ，bx d ) 也是纤维互( f ；0 ，1 ) 的 证明：任意z ，石e x 6 ，be b xd ，x _ x 妒o ) 弗妒o ) ，妒o ) ，妒 。) 匕，d a ( 6 ) 曰 由于( y ，g ，b ) 是纤维瓦的，因此存在o ) 的邻域y ，满足 ) 圣y 。因此1 v 是 x 的邻域，且茗诺妒v ，因此( x ，p ，bx d ) 也是纤维t o 的。同理可以证明 ( x ，p ，b x d ) 也是纤维互的。 命题3 3 2 一设僻，p ，b x d ) ，q ，b ) e o b ( t o p o ) ， ，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中 ( 妒，a ) 是0 5 一p 偶，若( x ，p ，b x d ) 是纤维五a o d 的，则，留，b ) 也是纤维 互( f 一0 山的 证明 ： 对任意两点 y , y 匕，de b ，y y ，取 b e a - 1 ) ，石- 1 ) ，b b x dz 驴一1 ( y ) ，z 妒一1o ，) 工一石，石，石e x 6 。由于 僻，p ，b d ) 是纤维死的，于是存在vcu o ) ，x 盛y ，从而】cu o ) y 圣驴】， 所以( y ，q ，b ) 也是纤维瓦的。 命题3 3 3 设僻，p ，b x d ) ，q ，b ) e o b ( t o p ) ， ，a ) e h o m ( x ，聊，其中( 妒，a ) 是豇一p 偶，若，g ，b ) 是纤维( 函数) 疋的，则僻，p ，bx d ) 也是纤维( 函数) 疋的。 证明： 任意两点五z 。e x 6 ，be b xd ，z 乒z 由于妒是单射所以 妒o ) 一驴 ) ，o ) ，妒0 ) 匕，d = a p ) b 由于( y ，口，b ) 是纤维疋的，因此存在 o ) ，妒o ) 的不交邻域y ，y 从而驴。1 】，妒_ 1 i v 】是z ，x 的不交邻域。所以 ( x ，p ，b d ) 也是纤维瓦的。同样，由于( y ，留，b ) 是纤维疋的，所以存在d 的邻域 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 w 。，使得存在连续函数a ：o 呻，连续，满足 连续，因此 f 口。妒( x ) = l 口。 ) 。1 w ；a - 1 ) 是易的邻域我们可以记为多一口。：x 缈_ ，是连续的并且满足 f ) = 0 ，因此( x ，p ，b d ) 也是纤维函数l 的。 i p o ) = 1 命题3 3 4 设僻，p ，b d ) ，叮，q ，b ) o b ( t o p ) ，( 妒，a ) e h o m ( x ，】，) ，其中 ( 妒，a ) 是s p 偶，若( x ，p ，b d ) 是纤维疋的，则，留，b ) 也是纤维疋的。 证 明 ： 对任意两点 y ，y 匕，de b ，y y 。 ， b e a - 1 p ) ，z 驴- 1 ) ，b e b x d ，x e o _ 1 ( y ) ，x 炉- 1 ( ) ，) 工一x ，z ，x e x 6 。因为是 ( x ，p ，b d ) 纤维疋的，所以存在z ，z 的不交邻域y ，v ，满e l y ，少】是y ，y 的 不交邻域，因此，q ，b ) 也是纤维互的。 命题3 3 5 设僻，p ，b x d ) ，q ，b ) o b ( t o p ) ，p ，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中 ( 驴，a ) o c s p 偶，若( x ，p ，曰d ) 是纤维函数疋的，则，留，口) 也是纤维函数 疋的。 证 明 ： 任意两点 ) ，y 匕，de b ，y - ) ， 取 6 扩1 似) ，z 妒1 ( y ) ，x 驴- 1 ( ) ，) ，b bxd ，x 乒z 。工，x + x 6 因为( x ，p ，bx d ) 是 纤维函数疋的，所以存在6 的邻域缈，连续函数口：石矽一，满足 a ( x 0 ，a 是开 f ) 一 l 口o 。) 一1 的，所以矽= x l w l 是d 的邻域令夕： 1 4 _ ，卢( ) ，) 一s u p a ( x ) ，y 匕妒是开且闭 矗印一1 ( y ) 纤是电 8 力 以所 0 ，1 铷 钉 ) 陟 秒 愈 廖 足满又疗得可 互 题命由以所数函 。 维 的 纤 砭 续 数 连 函 的 维 几类映射与广义纤维拓扑的分离性 3 4 积投射与t o p 范畴的纤维( 完全) 正则性 引理： 1 3 1x 是纤维正则的营任意x e x 6 ，6 b ，x 的闭子集f ，z 诺f ，存在b 的邻域，满足缸】l ， f 在x 内是邻域分离的。 命题3 4 1 设僻，p ，b d ) ，叮，留，b ) e o b ( t o p ) ， ，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中( 妒，a ) 是0 c 8 一p 偶，若( x ，p ，b d ) 是纤维正则的，则，留，曰) 也是纤维正则的。 证明： 任意取y 匕，de b ，v 是y 的任意邻域， 取 b e a - 1 p ) ，z 。10 ，) ，6 b x d ，石x b ，从而ui 妒一杪是z 的邻域由于 僻，p ，bx d ) 是纤维正则的，因此存在b 的邻域w ，x 的邻域u ，满足 x 矽n u 。cu a 是开集，因此w r 1 【形】是d 的邻域，从而 匕n u c 烈x 矽nu 。】c 烈u 】cv ，故，q ，b ) 也是纤维正则的。 命题3 4 2 设僻x y ，p ，b d ) ，( x ，q ，b ) e o b ( t o p ) ，( ，g ) e h o m ( xx y ，石) ，其 中( 妒，a ) 是印一p 偶，若( xx y ，p ，b x d ) 是纤维正则的，则，口，曰) 也是纤维 正则的。 证明： 任意取y x 匕，d b ，y 是y 的任意邻域， 取 b e a - 1 似) ，x 以( ) ) ，b e b x d ，x e x 6 ，从而u 一妒1 v 是x 的邻域由于 ( xx y ，p ，bxd ) 是纤维正则的，因此存在