2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编8.3抛物线.doc

高考地理复习第八章圆锥曲线方程三抛物线【考点阐述】抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质【考试要求】（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质【考题分类】（一）选择题（共3题）1.（海南宁夏卷理11）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.（41，1）B.（41，1）C.（1，2）D.（1，2）解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PFPQPSPQ,故最小值在,SPQ三点共线时取得，此时,PQ的纵坐标都是1，所以选A。（点P坐标为1(,1)4）2.（辽宁卷理10）已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A172B3C5D92A.172B.3C.5D.92答案：A解析：本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设P在抛物线准线的投影为P,抛物线的焦点为F,则1(,0)2F,依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PPPF,则点P到点(0,2)A的距离与P到该抛物线准线的距离之和22117|()2.22dPFPAAF3.（四川卷理12）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为()（）4（）8（）16（）32【解】：抛物线2:8Cyx的焦点为20F，准线为2x20K，高考地理复习设00Axy，过A点向准线作垂线AB，则02By，2AKAF，又0022AFABxx由222BKAKAB得22002yx，即20082xx，解得24A，AFK的面积为01144822KFy故选B【点评】：此题重点考察双曲线的第二定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；【突破】：由题意准确画图，利用离心率转化位置，在ABK中集中条件求出0x是关键；（二）填空题（共6题）1.（江西卷理15）过抛物线22(0)xpyp的焦点F作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则AFFB【解】：132.（全国卷理14文14）已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为答案：2.由抛物线21yax的焦点坐标为1(0,1)4a为坐标原点得，14a，则2114yx与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为141223.（全国卷理15）已知F是抛物线24Cyx：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于AB，两点设FAFB，则FA与FB的比值等于【答案】322【解析】设A（1x，1y）B（2x，2y）由0164122xxxyxy2231x，2232x，（21xx）；由抛物线的定义知22322222242241121xxFBFA【高考考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用4.（全国卷文15）已知F是抛物线24Cyx：的焦点，AB，是C上的两个点，线段AB的中点为(22)M，则ABF的面积等于高考地理复习AyxOBGFF1图4【答案】2【解析】设过M的直线方程为)2(2xky，由0)1(444)2(22222kkxxkxyxkykxx421，2221)1(4kkxx，由题意144kk，于是直线方程为xy421xx，021xx，24AB，焦点F（1，0）到直线xy的距离21dABF的面积是25.（上海卷文6）若直线10axy经过抛物线24yx的焦点，则实数a【答案】-1【解析】直线10axy经过抛物线24yx的焦点(1,0),F则101.aa6.（天津卷理13）已知圆C的圆心与抛物线xy42的焦点关于直线xy对称.直线0234yx与圆C相交于BA,两点，且6AB,则圆C的方程为.解析：抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心坐标为(0,1)，2222(032)3105r，圆C的方程为22(1)10xy.（三）解答题（共7题）1.（广东卷理18文20）设0b，椭圆方程为2212xybb，抛物线方程为28()xyb如图4所示，过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【解析】（1）由28()xyb得218yxb，当2yb得4x，G点的坐标为(4,2)b，14yx，4|1xy，高考地理复习过点G的切线方程为(2)4ybx即2yxb，令0y得2xb，1F点的坐标为(2,0)b，由椭圆方程得1F点的坐标为(,0)b，2bb即1b，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy；（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的RtABP只有一个，同理以PBA为直角的RtABP只有一个。若以APB为直角，设P点坐标为21(,1)8xx，A、B两点的坐标分别为(2,0)和(2,0)，222421152(1)108644PAPBxxxx。关于2x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。2.（湖南卷理20）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x02.（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.解:（I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1,y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm,ym）,则k=12121242myyxxyyy.从而AB的垂直平分线l的方程为().2mmmyyyxx又点P（x0,0）在直线l上，所以0().2mmmyyxx而0,my于是02.mxx故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.()由()知，弦AB所在直线的方程是()mmyykxx，代入24yx中，整理得2222()2()0.mmmmkxkykxxykx（）则12xx、是方程（）的两个实根，且2122().mmykxxxk高考地理复习设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则22222121212()()(1)()lxxyykxx22221212122222224222222200(1)()44(1)()2()44(1)4(4)(4)4(1)164(1)2(1)4(1)2(3).mmmmmmmmmmmmmmmmmmkxxxxkxxxyxyxyyyxyyyxxxyxxyx因为02my3,则2(x0-3)(0,4x0-8),所以当t=2(x0-3),即2my=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2x03,则2(x0-3)0,g(t)在区间（0，4x0-8）上是减函数，所以0l23时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.3.（江西卷文22）已知抛物线2yx和三个点00000(,)(0,)(,)MxyPyNxy、2000(,0)yxy，过点M的一条直线交抛物线于A、B两点，APBP、的延长线分别交曲线C于EF、（1）证明EFN、三点共线；（2）如果A、B、M、N四点共线，问：是否存在0y，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在，求出0y的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由（1）证明：设221122(,)(,)AxxBxx、，(,)(,)EEFFExyBxy、则直线AB的方程：222121112xxyxxxxx即：1212()yxxxxx因00(,)Mxy在AB上，所以012012()yxxxxx又直线AP方程：21001xyyxyxyxPNOMAEBF高考地理复习由210012xyyxyxxy得：2210010xyxxyx所以22100012111,EEExyyyxxxyxxx同理，200222,FFyyxyxx所以直线EF的方程：201201212()yxxyyxxxxx令0xx得0120012()yyxxxyxx将代入上式得0yy，即N点在直线EF上，所以,EFN三点共线（2）解：由已知ABMN、共线，所以0000,(,)AyyByy以AB为直径的圆的方程：2200xyyy由22002xyyyxy得22000210yyyyy所以0yy（舍去），01yy要使圆与抛物线有异于,AB的交点，则010y所以存在01y，使以AB为直径的圆与抛物线有异于,AB的交点,TTTxy则01Tyy，所以交点T到AB的距离为00011Tyyyy4.（山东卷理22）如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，410AB，求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpyp上，其中，点C满足OCOAOB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.高考地理复习解：（）证明：由题意设221212120(2)22xxAxBxxxMxppp，由22xpy得22xyp，得xyp，所以1MAxkp，2MBxkp因此直线MA的方程为102()xypxxp，直线MB的方程为202()xypxxp所以211102()2xxpxxpp，222202()2xxpxxpp由、得121202xxxxx，因此1202xxx，即0122xxx所以AMB，三点的横坐标成等差数列（）解：由（）知，当02x时，将其代入、并整理得：2211440xxp，22440xxp，所以12xx，是方程22440xxp的两根，因此124xx，2124xxp，又222101221222ABxxxxxppkxxpp，所以2ABkp由弦长公式得2221212241()411616ABkxxxxpp又410AB，所以1p或2p，因此所求抛物线方程为22xy或24xyyxBAOM2p高考地理复习（）解：设33()Dxy，由题意得1212()Cxxyy，则CD的中点坐标为12312322xxxyyyQ，设直线AB的方程为011()xyyxxp，由点Q在直线AB上，并注意到点121222xxyy，也在直线AB上，代入得033xyxp若33()Dxy，在抛物线上，则2330322xpyxx，因此30x或302xx即(00)D，或20022xDxp，（1）当00x时，则12020xxx，此时，点(02)Mp，适合题意（2）当00x，对于(00)D，此时2212022xxCxp，2212022CDxxpkx221204xxpx，又0ABxkp，ABCD，所以22220121220144ABCDxxxxxkkppxp，即222124xxp，矛盾对于20022xDxp，因为2212022xxCxp，此时直线CD平行于y轴，又00ABxkp，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以00x时，不存在符合题意的M点综上所述，仅存在一点(02)Mp，适合题意5.（陕西卷理20文21）已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；高考地理复习（）是否存在实数k使0NANB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由解：解法一：（）如图，设211(2)Axx，222(2)Bxx，把2ykx代入22yx得2220xkx，由韦达定理得122kxx，121xx，1224NMxxkxx，N点的坐标为248kk，设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkymx，将22yx代入上式得222048mkkxmx，直线l与抛物线C