第一节_对弧长的曲线积分

1、第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质kkkks),(nk 10limmks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量 (平面or空间内)设 是空间中一条有限长的光滑曲

2、线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割2. .定义定义是定),(zyxf“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .nk 10lim和对局部的任意取点, 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),( 如果 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为3. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 为常数)szyxfd),()3( 由 组成) 21, s

3、d)4( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxftttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分说明说明:, 0, 0kkts因此积分限必须满足!如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()si

4、n)(,cos)(rrf空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf例例1. 计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 上点 O (0,0)例例2. 计算,d sxL其中 L 为封闭路径 OABO)0 , 1 (ALy2xy o) 1 , 1 (B例例5. 计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx332a例例3. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.)20(,s

5、in,costtkztaytax线例例4. 计算,d)(222szyxI其中为球面22yx 18d22920I. 1的交线与平面 zx292 z内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧,

6、)()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf作业作业 P1903 (1) , (3) , (6) , (7)xyo备用题备用题 设 C 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段积分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202第二节一、一、对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分

7、的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.),(, ),(),(yxQyxPyxF1kMkMABxyL),(kkFkykxnkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中 为 n 个小弧段的最大长度)2. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.在 L 上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxFLxyxPd),(,),(