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文档简介

第一节 导数的概念,一、实例,三、可导与连续的关系,二、导数的定义及导数的几何意义,第二章 一元函数微分学,1.变速直线运动的瞬时速度,一、实例,设一质点沿直线做变速直线运动,其运动规律为,求时刻 的瞬时速度.,平均速度,瞬时速度,2. 细胞的增殖速度,设增殖细胞在某一时刻 的总数为 ,显然 是时间 的函数,求细胞在时刻 的瞬时增长率.,从 变化到 这段时间内,细胞的平均增长率为,瞬时增长率=,定义2-1,二、导数的定义及导数的几何意义,即,注意 若极限不存在,就称函数 在点 处不可导;,由导数定义,变速直线运动的质点在时刻 的瞬时速度为,细胞在时刻 的瞬时增殖速度为,若不可导,且极限为无穷大,为方便起见,记为 .也,称函数 在点 处的导数为无穷大.,单侧导数,左导数,右导数,注意 函数在一点可导的充分必要条件为：,（1）,导函数,很明显,如果,在开区间,内可导,且,及,（2）,都存在,就说,在闭区间,上可导.,解,解,例2-3 据1985年人口调查,我国有10.15亿人口,人口平均年增长率为1.489,根据马尔萨斯(Malthus)人口理论,我国人口增长模型为,其中， 代表年数 ,并定义1985年为这个模型的起始年 .按照此模型可以预测我国在2005年人口将有13.6710亿.求我国人口增长率函数?怎样控制人口增长速度？,解,所以人口增长率函数为,让人口年增长率0.01489变小,人口的增长速度就变小,故可控制人口的增长.,导数的几何意义,切线：割线的极限,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线在点M处的切线.,切线方程为,法线方程为,所以导数的几何意义为:,例2-5,法线方程为,根据导数的几何意义, 得切线斜率为,解 由例2-1有, ，,可导的函数一定是连续的,证明,三、可导与连续的关系,由极限与无穷小的关系,即,其中,比如,解,反之不成立.即连续不一定可导,1. 导数的定义与实质: 瞬时变化率,3. 导数的几何意
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