matlab解线性方程组.ppt

一、数学理论复习 1、线性方程组 记为 A x = b 其中A =(aij)mn x = (x1, ,xn), b = (b1, , bm) 若秩(A) 秩(A,b)，则无解； 若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解； 若秩(A) = 秩(A,b) n, 存在无穷多解； 通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解 系与 Ax=b 的一个特解之和。 对于线性方程组 Ax = b： Ax = 0 称为齐次的线性方程组 高斯消元法 对于线性方程组 Ax = b （A | b） 行变换（U| v ） 其中U是行简化阶梯形矩阵 (1) 阶梯形矩阵 (2) 每行首个非零元素为1,并且该1所在列其 它元素都为0 2、逆矩阵 方阵A称为可逆的，如果存在方阵B， 使A B = B A = E，记 B = A-1 方阵A可逆的充分必要条件:A0 求逆矩阵方法： A-1 =A*/|A| 这里A*为A的伴随矩阵 （A E） 行变换（E A-1） 3、特征值与特征向量 对于方阵A，若存在数和非零向量x 使 A x = x，则称为A的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值的特征向量。 特征值计算归结为: 特征多项式|A - E|=0的求根。对应于 特征值的特征向量是齐次线性方程组 (A - E) x = 0的所有非零解 二、使用MATLAB det 方阵的行列式 diag 对角阵 inv 方阵的逆 cond 方阵的条件数 trace 方阵的迹 orth 正交规范化 rank 矩阵的秩 null 求基础解系 rref 矩阵的行最简形 eig 特征值与特征向量 jordan 约当标准形分解 norm 矩阵或向量范数 1、特殊矩阵生成 zeros(m,n) 生成m行n列的零矩阵; ones(m,n) 生成m行n列的元素全为1的阵; eye(n) 生成n阶单位矩阵; 当A是矩阵,diag(A)返回A的对角线元素 构成的向量; 当X是向量,diag(X)返回由X的元素构成 的对角矩阵； rand(m,n) 生成m行n列0,1上均匀分 布随机数矩阵； linspace(x1,x2,n) 生成x1与x2间的n维 等距行向量,即将x1,x2 n-1等分。 2、行列式和逆矩阵 det(A) 返回方阵A的行列式; inv(A) 返回A的逆矩阵。 3、矩阵除法 左除法 AB 求解矩阵方程AX=B 右除法 B/A 求解矩阵方程XA=B (1) 当A为方阵，AB与inv(A)*B基本一致 ： (2) 当A不是方阵，除法将自动检测。 若方程组无解,除法给出最小二乘意义上 的近似解，即使向量AXB的长度达到最小 ； 若方程组有无穷多解，除法将给出一个 具有最多零元素的特解； 若为唯一解，除法将给出解。 4、特征值和特征向量 D=eig(A) 返回方阵A的特征值构成的列向量； V,D=eig(A) 返回方阵A的特征值构成的对角 阵D和每个特征值对应的特征向量按列构成的 矩阵V。其中每个特征向量都是模等于1的向量 ，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正 交化。 例1 解下列方程组 A=1 2;3 -2; B=1;4;x=AB 求得唯一解 A=1 2 1;3 -2 1; B=1;4;x=AB 求得一特解 A=1 2;3 -2;1 -1; B=1;4;2;x=A B 求得一最小二乘近似解 A=1 2;-2 -4; B=1;-2;x=AB 不能直接求解 A=1 2;-2 -4;0 0; B=1;-2;0;x=AB 仍可求一近似特解 增加方程 0x+0y=0 例2 线性方程组的通解 解 在无穷多解情况下可用三种方法求通解 ， 用rref化为行最简形以后求解； 用除法求出一个特解，再用null求得一个 齐次组的基础解系； 用符号工具箱中的solve求解。 a=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1; b=1;1;-1; r=rank(a),rank(a,b); x0=ab,xx=null(a); % x0为一特解,xx为对应齐次组的基础解系 运行后得: r=(2,2) 说明系数矩阵秩和增广矩阵秩相等,自由未知量为4-2=2个 0 0 1 0 x0= -0.7071 0 -0.7071 0 -0.0000 0.7071 -0.0000 0.7071 xx= 方法一: 方程组的解=特解+对应齐次组的通解 其中c1和c2为任意实数 结果为: t= 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0 a=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1; b=1;1;-1; r=rank(a),rank(a,b); t=rref(a,b); % 此时得出一个行简化阶梯形矩阵 解法二: 运行后得: 从而知原方程组等价于 虚线为等号 结果为: 其中c1和c2为任意实数 例3 判定下列线性方程组是否有解?若有解,求出其解 (1) a=2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1; b=5;3;4 ; r1=rank(a); r2=rank(a,b) r1 r2无解 唯一解 1.(2) a=2 -2 3;-1 1 -2;2 -3 1; 2. b=5;3;0; 3. r1=rank(a); r2=rank(a,b) 4. r1 = r2=3 x=ab 或x=inv(a)*b 1. (3) a=2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1 ; b=5;3;8; r1=rank(a); r2=rank(a,b) r1 = r2=23 x0=ab x=null(a1) %运行后得基础解x=(0.7071, 0.7071,0) 无穷解 经运行发现无法解出x0 因此给原方程组加 一个方程0x1+0x2+0x3=0 a1=2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1;0 0 0 ; b1=5;3;8;0; x1=a1b1; %经运行后可得出一个特解x1=(0,-19,-11) 结果为: 其中c为任意实数 三、国民经济投入产出分析 设有n个经济部门，xi为部门i的总 产出，cij为部门j单位产品对部门i产品 的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为 部门j新创造的价值。那么各经济部门 总产出应满足下列关系式： 消耗平衡方程组 j=1,2,n 令 C =（cij），X = (x1, , xn) , D = (d1, , dn)，F= (f1, , fn) 则 X=CX+D 令 A = EC，E为单位矩阵，则 AX = D C称为直接消耗矩阵，A称为列昂杰夫 （Leontief）矩阵。 分配平衡方程组 i =1,2,n Y = 1,1,1 B Y表示各部门的总投入，称为投入向量。 新创造价值向量 F=X Y B=C B表示各部门间 的投入产出关 系，称为投入 产出矩阵。 四、实验例题 例4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发 电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要 支付0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产 一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费 ，0.05元的电费及0.05元的运输费; 创收一 元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和 0.10元的电费，在某一周内煤矿接到外地金 额50000元定货，发电厂接到外地金额25000 元定货，外界对地方铁路没有需求。 解：这是一个投入产出分析问题。设 x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产 值, x3为铁路总产值, 则 问三个企业间一周内总产值多少才能满足 自身及外界需求？三个企业间相互支付多 少金额？三个企业各创造多少新价值? 直接消耗矩阵C= 外界需求向量 D =产出向量X = 则原方程为 (E-C)X=D 投入产出矩阵为 B=C*diag(X) 总投入向量 Y= ones(1,3)*B 新创造价值向量 F=X-Y Matlab程序: C=0 0.65 0.55;0.25 0.05 0.1;0.25 0.05 0; D=50000;25000;0; A=eye(3)-C; X=AD; %总产出矩阵向量 B=C*diag(X); %投入产出矩阵 Y=ones(1,3)*B; %总投入向量 F=X-Y %新创造价值向量 消耗部门外界需求 煤矿电厂铁路 生产部 门 煤矿0365061558250000 电厂 255222808283325000 铁路 25522280800 新创造的价 值 51044140419915 总产出1020885616328330 投入产出分析表 例4 （隐性病遗传）染色体遗传中，后代是 从父母体的基因对中各继承一个基因，形成 自己的基因型。如果所考虑的遗传特征是由 两个基因A和a控制，那么就有三种基因型， 上表给出父母基因型的所有可能组合使其 后代形成每种基因对的概率。 设金鱼某种遗传病染色体的正常基因为A ，不正常基因为a, 那么AA，Aa，aa分别 表示正常金鱼，隐性患者，显性患者。 设初始分布为90%正常金鱼，10%的隐性 患者，无显性患者。考虑下列两种配种 方案对后代该遗传病基因型分布的影响 方案一：同类基因结合，均可繁殖； 方案二：显性患者不允许繁殖，隐性患 者必须与正常金鱼结合繁殖 解 设初始分布X(1)=(0.9 0.1 0), 第n代分布为X(n)= A = B= 则 X(n) = An-1X(1) X(n) = Bn-1X(1) 分别是 两 种情况下第n代的基因型分布 AA Aa aa Matlab程序: 方案一: A=1 1/4 0;0 1/2 0;0 1/4 1; x=0.9 0.1 0; for i=2:20 x=A*x; end x20=x 方案二: clear; B=1 1/2 0;0 1/2 0;0 0 0; y=0.9 0.1 0; for i=2:20 y=B*y; end y20=y 运行程序后得结果 x20=(0.9500,0.0000,0.0500) y20=(1.0000,0.0000,0.0000) 可见按方案： 很多代以后将出现5%的稳定显性患者 按方案： 很多代以后显性患者将趋于消失 方案体现了杂交的优势 补充内容 解的误差分析 u 解的误差分析 对于实际问题导出的方程组 Ax =b ,系数矩阵A与向 量b往往带有误差（扰动），下面讨论A或b的微小变 化对解x的影响。 解线性方程Ax =b 即求解线性方程组 例: 可得出解为 若方程右端变为 , 则方程的解变为 可见x对b的 扰动敏感 从图可以看出，原 方程组对应的两条 直线（红与黑）交 于（2，0）点，但 由于两直线几近平 行，所以当第二个 方程有微小变化（ 从2到2.01）时，交 点变（1，1），变 化很大。 对Ax = b ，如果解x 对b 或A 的 扰动敏感，就称方程组是病态的 ，也称系