线性规划模型与销售计划问题

数学建模1线性规划模型与销售计划问题摘 要：这篇文章主要讨论了线性规划模型与销售计划问题。这是在生产和销售中经常提到的问题。通过合理的销售方案以达到更大的经济效益。为解决这样的问题，主要是通过分析建立线性规划模型，然后利用 Matlab 软件工具箱中求解线性规划模型的函数linprog , 编写 Matlab 程序，最后就可以求出满足题意的解。关键词：销售；线性；实际杨哲：线性规划模型与销售计划问题21 问题的提出某商店拟制定某种商品 712 月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为 1500件，6 月底已存货 300 件，年底的库存以不少于 300 件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。表 1月 7 8 9 10 11 12买进（元/件） 28 26 25 27 24 23.5售出（元/件） 29 27 26 28 25 25假设每件每月的库存费用为 0.5 元，为使净收益最多，各月进货、售货计划该如何安排。2 问题的分析在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马。田忌赛马的故事说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效果。解决该问题的核心是要确定一组决策变量，使得在确定的约束条件下，目标函数取得最大值。其中，约束条件是决策变量的线性方程或线性不等式，目标函数是决策变量的线性函数。由此可知，这种计划的安排归属于线性规划问题，可以建立线性规划模型求解。该问题中决策变量、目标函数较多，无法利用图解法，而如果利用单纯性法求解过程很复杂，所以使用 Matlab 软件编程求解。3 模型假设（1）该种商品的价值不随时间变化而发生增值或减值，每月实际售出商品可以是库存商品或是当月买进商品；（2）每月月初进货，需要计算库存费用的商品量为当月月底库存商品量；（3）只有销售商品收入、买进商品费用、库存费用计入净收益计算公式，而运输费，摊位费等管理费用不计；（4）每月进货、售货计划商品量相互独立，互不影响。4 模型原理线性规划是求一个 函数 （称为目标函数）在规定条件nxf,21（称为约束条件）下的极大值或极小值问题。Axn,21设线性规划模型的一般式为：（5.1）nxcxcZ21ma(in)约束条件（s.t.） （5.2）njxbxaaxj mmmn ,21,0,21 222 121满足约束条件（5.2）的一组数 ，称为该线性规划模型的可行解。数学建模3为讨论方便，我们规定线性规划模型的标准型，而其它非标准型总可以通过一些方法化为标准型。线性规划模型的标准型为：目标函数 （5.3nxcxcZ21ma）约束条件 （s.t.） （5.4njxbxaaj mmn ,21,021 222 121）注意，在线性规划模型的标准型中，约束条件是一组线性等式，也称为约束方程组，利用向量或矩阵符号，线性规划模型的标准型还可以记为：目标函数 CXZmax约束条件（s.t.） 0BA其中 ， ，ncC,21mnmnaa 212112， ， 是指 的各分量 。mbB21nxX210X0,21nx5 建立模型根据线性规划模型的原理和方法，结合题目数据和要求，建立适合本题的模型。(1)确定决策变量因为该种商品在 712 月均涉及进货、售货两种计划，令 i=1，2，3，4，5，6 分别代表 7 月，8 月，9 月，10 月，11 月，12 月；令 j=1，2 分别代表进货计划和售货计划。设决策变量 Xij 为该种商品在第 i 月的 j 计划下的数量（件） 。(2)确定目标函数由题意，6 月底存货 300 件，可知：7 月存货量为 300X11X12;8 月份存货量为 300X11X12X21X22;9 月份存货量为 300X11X12X21X22X31 X32;10 月份存货量为 300X11X12X21X22X31 X32 X41X42;11 月份存货量为 300X11X12X21X22X31 X32 X41X42X51 X52;12 月份存货量为 杨哲：线性规划模型与销售计划问题4300X11X12X21X22X31X32X41X42X51 X52 X61X62;为使净收益最大，目标函数为：Max Z29X1228X1127X2226X2126X3225X3128X4227X41 25X5224X5125X6223.5X610.5(300X11X12)(300X11X12X21X22) (300X11 X12 X21X22X31 X32) (300X11X12X21X22X31X32X41 X42) (300X11X12X21X22X31X32X41 X42 X51X52) (300X11X12X21X22X31X32X41 X42 X51X52X61 X62) (3)确定约束条件a.仓库最大容量不超过 1500 件：0300X11X1215000300X11X12X21X2215000300X11X12X21X22X31X3215000300X11X12X21X22X31X32X41X4215000300X11X12X21X22X31X32X41X42X51 X5215000300X11X12X21X22X31X32X41X42X51 X52 X61X621500b.年底库存量不少于 300：300X11X12X21X22X31X32X41X42X51 X52 X61X62300c.且各决策变量要求非负，即 Xij0，i1,2,3,4,5,6; j 1,2(4)建立线性规划模型综上所述，该问题的线性规划模型如下：Max Z29X1228X1127X2226X2126X3225X3128X4227X41 25X5224X5125X6223.5X610.5(300X11X12)(300X11X12X21X22) (300X11 X12 X21X22X31 X32) (300X11X12X21X22X31X32X41 X42) (300X11X12X21X22X31X32X41 X42 X51X52) (300X11X12X21X22X31X32X41 X42 X51X52X61 X62)s.t 0300X11X1215000300X11X12X21X2215000300X11X12X21X22X31X3215000300X11X12X21X22X31X32X41X4215000300X11X12X21X22X31X32X41X42X51 X521500300X11X12X21X22X31X32X41X42X51 X52 X61X621500300X11X12X21X22X31X32X41X42X51 X52 X61X62300Xij0，i 1,2,3,4,5,6; j1,26 模型求解运用 Matlab 求线性规划解数学建模5(1)将目标函数进行整理，可得：Max Z32X12 31X1129.5X2228.5X2128X3227X3129.5X4228.5X41 26X52 25X5125.5X6224X61900(2)为应用 Matlab 求解上述线性规划问题，将上述模型改写成 Matlab 适用的模型，其形式为：Min Z31X1132X1228.5X2129.5X2227X31 28X3228.5X4129.5X4225X5126X5224X6125.5X62s.t. X11X121200X12X11300X11X12X21X221200X12X11X22X21300X11X12X21X22X31X321200X12X11X22X21X32X31300X11X12X21X22X31X32X41X421200X12X11X22X21X32X31X42X41300X11X12X21X22X31X32X41X42X51 X521200X12X11X22X21X32X31X42X41X52 X51300X11X12X21X22X31X32X41X42X51 X52 X61X621200X12X11X22X21X32X31X42X41X52 X51 X62X610Xij0，i 1,2,3,4,5,6; j1,2(3)建立 M 文件，编写 Matlab 程序：c 31,-32,28.5,-29.5,27,-28,28.5,-29.5,25,-26,24,-25.5;A 1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;1,-1,1,-1, 0,0,0,0,0,0,0,0;-1,1,-1,1, 0,0,0,0,0,0,0,0;1,-1,1,-1, 1,-1,0,0,0,0,0,0;-1,1,-1,1, -1,1,0,0,0,0,0,0;1,-1,1,-1, 1,-1,1,-1,0,0,0,0;-1,1,-1,1, -1,1,-1,1,0,0,0,0;1,-1,1,-1, 1,-1,1,-1,1,-1,0,0;-1,1,-1,1, -1,1,-1,1,-1,1,0,0;1,-1,1,-1, 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1;-1,1,-1,1, -1,1,-1,1,-1,1,-1,1;b 1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;300;1200;0;lbzeros12,1;x linprog(c,A,b,lb);Z c*x(4)运行上述 Matlab 程序，计算得：x 03000杨哲：线性规划模型与销售计划问题601500001500003000Z -6150