第二章 7 函数的连续性

二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 2.8 函数的连续性 第二章 现实世界中很多变量是连续不断的 .如 气温 、 时间、物体的运动 等等，都是 连续变化的 .这种现象反映在 数学上 就是 连续性 ，函数的连续性是微积分的又一重要概念！可见 , 函数 在点定义 : 在 的 某邻域内有定义 , 则称 函数(1) 在点 即(2) 极限(3)设函数连续必须具备下列条件 :存在 ;且有定义 , 存在 ;一、 函数连续性的定义若 在 某开区间内 每一点 都连续 , 则称 它 在该开区间内连续 , 或称它为 该开区间内的 连续函数 .在闭区间 a, b上的连续函数的集合记作例如 ,在 上 连续 .( 有理整函数 )又如 , 有理分式函数 在其 定义域内连续 . 只要 都有函数连续性的等价定义对自变量 x0的增量 有 函数的增量函数 在点 x0 连续 有下列 等价命题 :左连续 右连续当 时 , 有函数 y = f ( x )在点 x0 连续 的两种 等价定义 :假设函数 f ( x )在点 x0 的某临域内有定义 .的充要条件是的充要条件是例 1. 证明函数 在 内 连续 .证 : 即这 说明 在 内 连续 .同样可证 : 函数 在 内 连续 .这说明，对于 连续函数 ， 极限符号 与 函数符号可以交换 .例如注意 ：对于 非 连续函数 ， 极限符号 与 函数符号不一定 可以交换 .若函数 f (x)在 开区间 (a, b)内 每一点 都连续 , 而且 则 称函数 f (x)在在点 x=a 右 连续， 在点 x=b 左 连续 , 或称它为该 区间上的 连续函数 .闭区间 a, b上连续 .在在(1) 函数(2) 函数 不 存在 ;(3) 函数 存在 , 但不连续 :设 在点 的 某去心邻域内 有定义 , 则这样的点下列情形 之一 函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为函数 f ( x )的 间断点 . 在 无定义 ;二、 函数的间断点间断点分类 :第一类间断点 :及 均存在 ,若 称若 称第二类间断点 :及 中 至少一个不存在 ,称若 其中有一个为 振荡 , 称若 其中有一个为为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点 .为 振荡间断点 .为其 无穷 间断点 .为其 振荡 间断点 .为 可去 间断点 .例如 :显然为其 可去间断点 .(4)(5) 为 其 跳跃间断点 .1. 讨论函数x = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型 .2. 设 时提示 :在x =0连续函数 .答案 : x = 1 是第一类可去间断点 ,练习题内容小结左连续 右连续第一类间断点 可去间断点跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点振荡间断点 左右极限至少有一个不存在在点 间断的类型在点 连续的等价形式一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性第二章 定理 2. 连续单调递增 函数的反函数在其 定义域内连续定理 1. 在某点连续的 有限个 函数经 有限次 和 , 差 , 连续的函数 . ( 利用极限的四则运算法则证明 )积 , 商 (分母不为 0) 运算的结果 , 仍是一个在该点例如 ,例如 , 在 上 连续单调递增，其 反函数(递减 ). (证明略 )在 1 , 1 上也连续单调递增 .单调递增(递减 ) 也 连续一、连续函数的运算法则在 上 连续单调 递增 ,其 反函数 在 上也连续单调递增 .又 如 , 定理 3. （连续函数的复合函数是连续的）若函数 在点 x0 连续，且 函数在点 u0 连续， 则复合函数 在点 x0 连续，即定理 3可修改为下面求复合函数极限的定理定理 4 （复合函数求极限）若函数 在点 x0 有极限，即 但 或者 在点 x0 无定义 (即 x0 是可去间断点 ) 又函数 f (x)点 a 连续， 则复合函数 在点 x0的极限存在，且为 若函数 f (x) 连续，则 f (x) 一定连续 .反之，若 f (x) 连续，函数 f (x)不一定连续 .x 为有理数x 为无理数例如 , 是由连续函数链因此 在 上连续 .复合而成 ,的图像设 均在 a, b上连续 , 证明函数也在 a, b上连续 ,补例 .证 :根据连续函数运算法则 , 也在 a, b上连续 .基本初等函数在 定义区间 内连续连续函数经四则运算仍连续 ,连续函数的复合函数连续一切初等函数在 定义区间内连续例如 ,的 连续区间为 (端点为单侧连续 )的 连续区间为的 定义域为因此它无连续点而 二、初等函数的连续性 利用连续函数的复合函数的连续性求极限例 1. 求解 : 原式例 2. 求解 : 令 则原式说明 : 当 时 , 有利用连续函数的复合函数的连续性求极限解 : 原式说明 : 若则有例 3 求例 4 求解 : 原式 =解例 4 求考虑函数在 x =0 点的左右极限所以原式 = 1. 5 确定函数 间断点的类型 .解 : 间断点为 无穷 间断点 ;故 为 跳跃间断点 . 例 6 设函数在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示 :课本 89页例题 例 10 求 解 例 11 求 解 课本 94页 -习题 28 （ 2） 求 解 （ 3） 求 解 （ 4） 求