重点初中函数综合试题(附参考答案)

二次函数与其他函数的综合测试题选择题：（每小题3分，共45分）1．已知h关于t的函数关系式为，（g为正常数，t为时间），则函数图象为（）

（A）（B）（C）（D）2．在地表以下不太深的地方，温度y（℃）与所处的深度x（km）之间的关系可以近似用关系式y＝35x＋20表示，这个关系式符合的数学模型是（）

（A）正比例函数（B）反比例函数．

（C）二次函数（D）一次函数3．若正比例函数y＝（1－2m）x的图像经过点A（，）和点B（，），当＜时＞，则m的取值范围是（）

（A）m＜0（B）m＞0（C）m＜（D）m＞4．函数y=kx+1与函数在同一坐标系中的大致图象是（）（A）（B）（C）（D）5．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数y＝ax＋c的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（）

（A）（B）（C）（D）6．抛物线的顶点坐标是（）

A．（1，1）B．（1，－1）C．（－1，1）D．（－1，－1）7．函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列选项中正确的是（）A．ab>0，c>0B．ab<0，c>0C．ab>0，c<0D．ab<0，c<08．已知a，b，c均为正数，且k=，在下列四个点中，正比例函数的图像一定经过的点的坐标是（）A．（l，）B．（l，2）C．（l，－）D．（1，－1）9．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F．设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为……………（）10．如图4，函数图象①、②、③的表达式应为（）（A），，（B），，（C），，（D），，11．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（）12．二次函数y=x2-2x+2有（）A．最大值是1B．最大值是2C．最小值是1D．最小值是213．设A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，若x1<x2<0，则y1与y2之间的关系是（）A．y2<y1<0B．y1<y2<0C．y2>y1>0D．y1>y214．若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是()A．9B．3C．-9D．0x第3题图yPDOx第3题图yPDOA．0个B．1个C．2个D．不能确定填空题：（每小题3分，共30分）1．完成下列配方过程：

＝

＝；2．写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：_________．3．如图，点P是反比例函数上的一点，PD⊥轴于点D，则△POD的面积为；4、已知实数m满足，当m=___________时，函数的图象与x轴无交点．5．二次函数有最小值，则m＝_________；6．抛物线向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为___________；7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价__________；8．某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为A（0，2），铅球路线最高处为B（6，5），则该学生将铅球推出的距离是________；9．二次函数的图像与x轴交点横坐标为－2，b，图像与y轴交点到圆点距离为3，则该二次函数的解析式为___________；10．如图，直线与双曲线在第一象限内的交点R，与x轴、y轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于．解答题：（1－3题，每题7分，计21分；4－6题每题8分，计24分；本题共45分）1已知二次函数的图像经过A（0，1），B（2，－1）两点．

（1）求b和c的值；

（2）试判断点P（－1，2）是否在此函数图像上？2．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P(4，n)．（1）求n的值．（2）求一次函数的解析式．3．看图，解答下列问题．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．4．已知函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围．5．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：每件销售价（元）506070758085…每天售出件数30024018015012090…假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．（1）观察这些统计数据，找出每天售出件数与每件售价（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式．（2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元．求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计）6．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为（1）（2）（1）一身高0.7米的小孩站在离立柱（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：≈1.8，≈1.9，≈2.1）7．已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2．（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；（Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值．参考答案：选择题：1．A2．D3．D4．B5．D6．A7．D8．A9．A10．C11．D12．C13．C14．A15．C二、填空题：1．，，，．2y=3．14．2或－15．6．7．10元或20元8．6＋9．或10．三、解答题：1．2．解：（1）由题意得：，（2）由点P（4，2）在上，．

一次函数的解析式为．3．解：（1）由图可知A（－1，－1），B（0，－2），C（1，1）设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c依题意，得解得∴y＝2x2＋x－2．（2）y＝2x2＋x－2＝2（x＋）2－∴顶点坐标为（－，），对称轴为x＝－（3）图象略，画出正确图象4．解：（1）函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2）∴9+3b-1=2，解得b=-2．∴函数解析式为y=x2-2x-1（2）y=x2-2x-1=(x-1)2-2，图象略，图象的顶点坐标为（1，-2）（3）当x=3时，y=2，根据图象知，当x≥3时，y≥2∴当x>0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3．5．解：（1）由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件数与每件售价之间的函数关系为：．（2）当时，，解得：；设门市部每天纯利润为①当时，当时，②当时，时，随的增大而减少时，时，纯利润最大为5296元．6．（1）（2）解：（1）如图，建立直角坐标系，设二次函数解析式为y＝ax2＋c∵D（－0.4，0.7），B（0.8，2.2），∴∴∴绳子最低点到地面的距离为0.2米．（2）分别作EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，AG＝（AB－EF）＝（1.6－0.4）＝0.6．在Rt△AGE中，AE＝2，EG＝＝＝≈1.9．∴2.2－1.9＝0.3（米）．∴木板到地面的距离约为0.3米．7．解：(=1\*ROMANI)设点Ａ（x1，0），B(x2，0)，则x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的两根．∵x1＋x2＝m，x1·x2=m－2＜0即m＜2；又AB＝∣x1x2∣＝，∴m2－4m＋3=0．解得：m=1或m=3(舍去)，∴m的值为1．（=2\*ROMANII）设M(a，b)，则N(－a，－b)．∵M、N是抛物线上的两点，MNCMNCxyO①＋②得：－2a2－2∴a2＝－m＋2．∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N．∴．这时M、N到y轴的距离均为，又点C坐标为（0，2－m），而S△MNC=27，∴2××（2－m）×=27．∴解得m=－7．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。中考试题分类汇编--函数综合题1.如图，已知点A（tanα，0），B（tanβ，0）在x轴正半轴上，点A在点B的左边，α、β是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角．（1）若二次函数y＝－x2－kx＋（2＋2k－k2）的图象经过A、B两点，求它的解析式；（2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．解：（1）∵α，β是Rt△ABC的两个锐角，∴tanα·tanβ＝1．tanα＞0，tanβ＞0．由题知tanα，tanβ是方程x2＋kx－（2＋2k－k2）＝0的两个根，∴tanx·tanβ＝（2＝2k－k2）＝k2－2k－2，∴k2－2k－2＝1．解得，k＝3或k＝－1．而tanα＋tanβ＝－k＞0，∴k＜0．∴k＝3应舍去，k＝－1．故所求二次函数的解析式为y＝－x2＋x－1．（2）不在．过C作CD⊥AB于D．令y＝0，得－x2＋x－1＝0，解得x1＝，x2＝2．∴A（，0），B（2，0），AB＝．∴tanα＝，tanβ＝2．设CD＝m．则有CD＝AD·tanα＝AD．∴AD＝2CD．又CD＝BD·tanβ＝2BD，∴BD＝CD．∴2m＋m＝．∴m＝．∴AD＝．∴C（，）．当x＝时，y＝≠∴点C不在（1）中求出的二次函数的图象上．AMyxNQAMyxNQO（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线顶点为，与轴交点为．求的值．（3）设抛物线与轴的另一个交点为，求四边形的面积．解：（1）解方程组得，．（2）顶点．（3）在中，令得，，令得或，．四边形（面积单位）3．如图9，抛物线y=ax2+8ax+12a与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长. (2)求该抛物线的函数关系式．(3)在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）；（2）；（3）4个点：4．已知函数y=和y=kx+l(k≠O)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?解；(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴∴(2)将y＝代人y=kx+l，消去y．得kx2+x一2=0．∵k≠O，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．∵△＝1＋8k，∴1+8k≥0，解得k≥一∴k≥一且k≠0．5．已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（，）；（2）若P，A两点在抛物线y=－x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）30,（,）;（2）∵点P（,），A（，0）在抛物线上，故-×+b×+c=,-×3+b×+c=0,∴b=,c=1.∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1,C点坐标为（0，1）.∵-×02+×0+1=1，∴点C在此抛物上.6.如图，二资助函数的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.（1）求二次函数的关系式.（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5。将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.解：（1）∵M（1，－2），N（－1，6）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，∴解得二次函数的关系式为y=x2－4x+1. （2）Rt△ABC中，AB=3，BC=5，∴AC=4，解得 ∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移个单位.7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S.（1）求点A的坐标.（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式.（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________.解：（1）由可得∴A（4，4）。（2）点P在y=x上，OP=t，则点P坐标为点Q的纵坐标为，并且点Q在上。∴，即点Q坐标为。。当时，。当，当点P到达A点时，，当时，。（3）有最大值，最大值应在中，当时，S的最大值为12. （4）. 8．已知一次函数y=+m(O<m≤1)的图象为直线，直线绕原点O旋转180°后得直线，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-，-1)、B(，-1)、C(O，2)．(1)直线AC的解析式为________，直线的解析式为________(可以含m)；(2)如图，、分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，当m在其范围内变化时，判断四边形EFGH中有哪些量不随m的变化而变化?并简要说明理由；(3)将(2)中四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围；(4)若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=x平移时，判断△ABC介于直线，之间部分的面积是否改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由)解：(1)y=+2y=-m(2)不变的量有：①四边形四个内角度数不变，理由略；②梯形EFGH中位线长度不变(或EF+GH不变)，理由略．(3)S=0<m≤10<s≤ (4)沿y=平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面积为，则0<≤9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD(1)求点C的坐标；(2)求直线AD的解析式；(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)OA=6，OB=12，点C是线段AB的中点，OC=AC.作CE⊥x轴于点E．∴OE=eq\f(1,2)OA=3，CE=eq\f(1,2)OB=6．∴点C的坐标为(3，6).(2)作DF⊥x轴于点F△OFD∽△OEC，eq\f(OD,OC)=eq\f(2,3)，于是可求得OF=2，DF=4．∴点D的坐标为(2，4).设直线AD的解析式为y=kx+b．把A(6，0)，D(2，4)代人得，解得，∴直线AD的解析式为y=-x+6.(3)存在．Q1(-3eq\r(,2)，3eq\r(,2))；Q2(3eq\r(,2)，-3eq\r(,2))；Q3(3，-3)；Q4(6，6).10.在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动.设运动时间为t(秒).(1)用含t的代数式表示点P的坐标;(2)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?(3)在什么条件下,以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式.解:(1)作PM⊥y轴,PN⊥x轴.∵OA=3,OB=4,∴AB=5.∵PM∥x轴,∴.∴.∴PM=t.∵PN∥y轴,∴.∴.∴PN=3-t.∴点P的坐标为(t,3-t).(2)①当∠POQ=90°时,t=0,△OPQ就是△OAB,为直角三角形.②当∠OPQ=90°时,△OPN∽△PQN,∴PN2=ON•NQ.(3-t)2=t(4-t-t).化简,得19t2-34t+15=0.解得t=1或t=.③当∠OQP=90°时,N、Q重合.∴4-t=t,∴t=.综上所述,当t=0,t=1,t=,t=时,△OPQ为直角三角形.(3)当t=1或t=时,即∠OPQ=90°时,以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线.当t=1时,点P、Q、O三点的坐标分别为P(,),Q(3,0),O(0,0).设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-0),即y=a(x2-3x).将P(,)代入上式,得a=-.∴y=-(x2-3x).即y=-x2+x.说明:若选择t=时,点P、Q、O三点的坐标分别是P(,),Q(,0),O(0,0).求得抛物线的解析式为y=-x2+x,相应给分.11．已知：抛物线（m>0）与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点.（1）求C点、C′点的坐标（可用含m的代数式表示）Oyx（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、COyx（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长.12．抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（A）A．（1，1）B．（-1，1）C．（-1，-1）D．（1，-1）13．如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.（1）当A′E//轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E//轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.14.已知抛物线y=x²—4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线.⑴求平移后的抛物线解析式;⑵若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax²+bx+c(a＞0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移-个单位长度，试探索问题⑵．(1)解：配方，得，向左平移4个单位，得∴平移后得抛物线的解析式为(2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3)解，得∴两抛物线的交点为（0，1）由图象知，若直线y＝m与两条抛物线有且只有四个交点时，m＞－3且m≠1（3）由配方得，向左平移个单位长度得到抛物线的解析式为∴两抛物线的顶点坐标分别为，解得，∴两抛物线的交点为（0，c）由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：15.直线分别与轴、轴交于B、A两点．⑴求B、A两点的坐标；⑵把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD求D点的坐标．解：如图（1）令x=0，由得y=1令y=0，由得∴B点的坐标为（，0），A点的坐标为（0，1）（2）由（1）知OB=，OA=1∴tan∠OBA==∴∠OBA=30°∵△ABC和△ABO关于AB成轴对称∴BC=BO=，∠CBA=∠OBA=30°∴∠CBO=60°过点C作CM⊥x轴于M，则在Rt△BCM中CM=BC×sin∠CBO=×sin60°=BM=BC×cos∠CBO=×cos60°=∴OM=OB－BM=－=∴C点坐标为（，）连结OC∵OB=CB，∠CBO=60°∴△BOC为等边三角形过点C作CE∥x轴，并截取CE=BC则∠BCE=60°连结BE则△BCE为等边三角形．作EF⊥x轴于F，则EF=CM=，BF=BM=OF=OB+BF=+=∴点E坐标为（，）∴D点的坐标为（0，0）或（，）16．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时，y>0．(第25题)(第25题)解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)，得方程组解得∴抛物线的解析式为顶点坐标为(2)所画图如图．(3)由图象可知，当-1<x<4时，y>0．(第28题)17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B(5，0)，M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60°．(第28题)(1)求直线CB的解析式：(2)求点M的坐标；(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α(30°<α<60°)后，得到∠D1MC1(点D1，C1依次与点D，C对应)，射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F，设DE=m，BF=n．求m与n的函数关系式．解：(1)过点C作CA⊥OB，垂足为A．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠CBO=60°，0D=BC=2，∴CA=BC·sin∠CBO=,BA=BC·cos∠CBO=1．(第(1)小题)∴点C的坐标为(4，)．(第(1)小题)设直线CB的解析式为y=kx+b，由B(5，0)，C(4，)，得解得∴直线CB的解析式为y=-x+5．(2)∵∠CBM+∠2+∠3=180°，∠DMC+∠1+∠2=180°，∠CBM=∠DMC=∠DOB=60°∴∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3．(第(2)小题)∴△ODM∽△BMC．(第(2)小题)∴OD·BC=BM·OM．∵B点为(5，0)，∴OB=5．设OM=x，则BM=5-x．∵OD=BC=2，∴2×2=x(5-x)．(第(3)小题图①)解得x1=1，x2=4．(第(3)小题图①)∴M点坐标为(1，0)或(4，0)．(3)(I)当M点坐标为(1，0)时，如图①，OM=1，BM=4．∵DC∥OB，∴∠MDE=∠DMO．又∠DMO=∠MCB,∴∠MDE=∠MCB．∵∠DME=∠CMF=a,∴△DME∽△CMF.(第(3)小题图②)(第(3)小题图②)∴CF=2DE．∵CF=2+n，DE=m，∴2+n=2m，即m=1+(0<n<4)．(Ⅱ)当M点坐标为(4，0)时，如图②．OM=4,BM=1.同理可得△DME∽△CMF，∴DE=2CF.∵CF=2-n，DE=m，∴m=2(2-n)，即m=4-2n(<n<1)．18．如图，边长为1的等边三角形OAB的顶点O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，动点D在线段OA上移动(不与O，A重合)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥OB，垂足为F。点M，N，P，Q分别是线段BE，ED，DF，FB的中点。连接MN，NP，PQ，QM。记OD的长为t.(1)当时，分别求出点D和点E的坐标；(2)当时，求直线DE的函数表达式；(3)如果记四边形MNPQ的面积为S，那么请写出面积S与变量t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，是否存在s的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由。19．如图，在中，，点，在直线上运动，设，．（1）如果，，试确定与之间的函数关系式；ＢＣＥＡＤ（第22题图）（2）如果的度数为，的度数为，当满足怎样的关系式时，（1）中与之间的函数关系式还成立，试说明理由．ＢＣＥＡＤ（第22题图）解：（1）在中，，，．又，．又，．．．即，所以．（2）当满足关系式时，函数关系式仍然成立．此时，．又，．又仍然成立．从而（1）中函数关系式成立．ＮBAMPCO（第23题图）20．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒．ＮBAMPCO（第23题图）（1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）；（2）试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；（3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由．解：（1）由题意可知，，，点坐标为．（2）设的面积为，在中，，边上的高为，其中．．的最大值为，此时．（3）延长交于，则有．ＮBAMPCO（第23题图）ＱＮBAMPCO（第23题图）Ｑ．，．=2\*GB3②若，则，．=3\*GB3③若，则．，在中，．，．综上所述，，或，或． 21.（2006·北京市海淀区）已知抛物线的部分图象如图1所示。图1图2 （1）求c的取值范围； （2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式； （3）若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较与的大小.22.解：（1）根据图象可知 且抛物线与x轴有两个交点 所以一元二次方程有两个不等的实数根。 所以，且 所以 （2）因为抛物线经过点（0，-1） 把代入 得 故所求抛物线的解析式为 （3）因为反比例函数的图象经过抛物线上的点（1，a） 把代入，得 把代入，得 所以 画出的图象如图所示. 观察图象，除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为和 把和分别代入和可知， 和是的两个交点 根据图象可知：当或或时， 当时， 当时，22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2）.（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值.（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求|a|＋|b|＋|c|的最小值.解：⑴由题意，a＋b＋c＝2，∵a＝1，∴b＋c＝1抛物线顶点为A（－eq\f(b,2)，c－eq\f(b2,4)）设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0∴|BC|＝|x1－x2|＝eq\r(|x1－x2|2)＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(b2－4c)∵△ABC为等边三角形，∴eq\f(b2,4)－c＝eq\f(\r(3),2)eq\r(b2－4c)即b2－4c＝2eq\r(3)·eq\r(b2－4c)，∵b2－4c＞0，∴eq\r(b2－4c)＝2eq\r(3)∵c＝1－b，∴b2＋4b－16＝0，b＝－2±2eq\r(5)所求b值为－2±2eq\r(5)⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．∵b＋c＝2－a，bc＝eq\f(4,a)∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋eq\f(4,a)＝0的两实根．∴△＝（2－a）2－4×eq\f(4,a)≥0，∴a3－4a2＋4a－16≥0,即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4.∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负．①若a、b、c均大于０，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，∵a≥4，故2a－2≥6当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6．yxO23.已知抛物线yxO轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为求抛物线的解析式。设抛物线与x轴有两个交点A（X1，0）、B（X2，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在所以，，解得，。∴所求抛物线为：或以下同下。（1）解法二：由题意得C(0,2),设点M的坐标为M（x，y）∵点M在直线上，∴由勾股定理得，∵∴=，即解方程组得∴M（-2，4）或M‘（2，0）当M（-2，4）时，设抛物线解析式为，∵抛物线过（0，2）点，∴，∴当M‘（2，0）时，设抛物线解析式为∵抛物线过（0，2）点，∴，∴NMyOABDNMyOABD（G）CM’’’’（2）∵抛物线与x轴有两个交点，∴不合题意，舍去。∴抛物线应为：抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得（3）∵AB是⊙N的直径，∴r=，N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN=4设直线与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN=4，可得MN=DN，∴，作NG⊥CM于G，在=r即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径，∴直线CM与⊙N相切24．已知：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P．(1)求A、B、P三点坐标；

(2)在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；

(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.

解：(1)求得A(1，0)，B(3，0)，P(2，1)(2)作图正确当1＜x＜3时，y>0xOy123xOy12345-1-2-1-2123-3转化得：x2-6x+9=0＝0，∴方程的两根相等，方程组只有一组解∴此抛物线与直线有唯一的公共点25．已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB，过B作BC⊥AB，交AE于点C.(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；

(3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式．

解：(1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝yAOBxCDGH∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠，∴△ABO∽△ABCyAOBxCDGH方法二：由题意知：tan∠OAB=(2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝--4′∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB2＝AO×OD----6′，即化简得：y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：，消去y得：x2-4kx-4b=0，则有，由题设知：x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，则16k2-24k-16=0，解之得：k1=2，k2=，当k1=2、b=-1时，△＝16k2+16b=64-16>0，符合题意；当k2=，b=-1时，△＝16k2+16b=4-16<0，不合题意（舍去），∴所求的直线l的解析式为：y=2x-126．如图，已知抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，若m-n=-2，m·n=3．（1）求抛物线的表达式及P点的坐标；（2）求△ACP的面积S△ACP．解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，∵抛物线过C（0，3），∴c=3，又∵抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，∴m、n为一元二次方程ax2+bx+3=0的解，∴m+n=-，mn=，由已知m-n=-2，m·n=3，∴解之得a=1，b=-4；m=1，n=3，∴抛物线的表达式为y=x2-4x+3，P点的坐标是（2，1）（2）由（1）知，抛物线的顶点P（2，-1），过P作PD垂直于y轴于点D，所以，S△BCP=S梯形CBPD-S△CPD=S△COB+S梯形OBPD-S△CPD，∵B（3，0），C（0，3），∴S△BCP=S△COB+S梯形OBPD-S△CPD=×3×3+×1×（3+2）-×2×4=3．27．已知抛物线：（，为常数，且，）的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，，．注：抛物线的顶点坐标为．（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式：________________________；（2）当时，判定的形状，并说明理由；（3）抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．解：（1）．（2）当时，为等腰直角三角形．理由如下：如图：点与点关于轴对称，点又在轴上，．过点作抛物线的对称轴交轴于，过点作于．当时，顶点的坐标为，．又点的坐标为，．．从而，．由对称性知，．为等腰直角三角形．（3）假设抛物线上存在点，使得四边形为菱形，则．由（2）知，，．从而为等边三角形．．四边形为菱形，且点在上，点与点关于对称．与的交点也为点，因此．点的坐标分别为，．在中，．，．故抛物线上存在点，使得四边形为菱形，此时．ADLBC1010ADLBC101010图10（1）写出y与x的关系式；（2）当x＝2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？（1）y＝2x2（2）8；24.5（3）5秒29、如图，已知抛物线L1:y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由.解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）∴y=ax2+4∴0=4a+4得a=-1∴l2的解析式为y=-x2+4(2)设B(x1,y1)∵点B在l1上∴B(x1,x12-4)∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称∴B、D关于O对称∴D(-x1,-x12+4).将D(-x1,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4∴左边=右边∴点D在l2上.(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2*S△ABC=AC*|y1|=4|y1|a.当点B在x轴上方时，y1＞0∴S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，∴S既无最大值也无最小值b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0∴S=-4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，∴当y1=-4时，S由最大值16，但他没有最小值此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.9分∴AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形此时S最大=16.30.已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A,B两个不同的点．(l）试判断哪个二次函数的图象经过A,B两点；(2）若A点坐标为（-1,0)，试求B点坐标；(3）在（2）的条件下，对于经过A,B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？解：(l）对于关于