等腰三角形三线合一典型题型[1]

1、.等腰三角形三线合一 专题训练 姓名 例1：如图，四边形abcd中，abdc，be、ce分别平分abc、bcd，且点e在ad上。求证：bc=ab+dc。变1：如图，abcd，a90，ab2，bc3，cd1，e是ad边中点。求证：cebe。变2：如图，四边形abcd中，adbc，e是cd上一点，且ae、be分别平分bad、abc. （1）求证：aebe； （2）求证：e是cd的中点； （3）求证：ad+bc=ab.bcead 精品.变3：abc是等腰直角三角形 ，bac=90,ab=ac.若d为bc的中点，过d作dmdn分别交ab、ac于m、n，求证：（1）dmdn。若dmdn分别和ba、ac延

2、长线交于m、n。问dm和dn有何数量关系。(1) 已知：如图，ab=ac，e为ab上一点，f是ac延长线上一点，且be=cf，ef交bc于点d求证：de=df精品.(2)已知：如图，ab=ac，e为ab上一点，f是ac延长线上一点，且，ef交bc于点d，且d为ef的中点求证：be=cf利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在abc中，ab=ac，p为底边bc上的一点，pdab于d，peac于e，cfab于f，那么pd+pe与cf相等吗？精品. 变1：若p点在直线bc上运动，其他条件不变，则pd 、pe与cf的关系又怎样，请你作图，证明。1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（

3、 ）a 17 b 22 c 17或22 d 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1在abc中，ab=ac，1=abc，2=acb，bd与ce相交于点o，如图，boc的大小与a的大小有什么关系？ 若1=abc，2=acb，则boc与a大小关系如何？精品.若1=abc，2=acb，则boc与a大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2如图，等腰三角形abc中，ab=ac，一腰上的中线bd将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长利用等腰三角形的性质证线段相等例3如图，p是等边三角形abc内的一点，连结pa、pb、pc，以bp为边作pbq=60，且bq=bp，连结c

4、q （1）观察并猜想ap与cq之间的大小关系，并证明你的结论（2）若pa：pb：pc=3：4：5，连结pq，试判断pqc的形状，并说明理由例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（ ）a、2cm b、8cm c、2cm或8cm d、不能确定abc例2、已知ad为abc的高，ab=ac，abc周长为20cm，adc的周长为14cm，求ad的长。例3、如图，已知bc=3，abc和acb的平分线相交于点o，oeab，ofac，求oef 的周长。abfcoe精品.例4、如图，已知等边abc中，d为ac上中点，延长bc到e，使ce=cd，连接de，试说明db

5、=de。abcde例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（ ）a、锐角三角形 b、钝角三角形 c、等边三角形 d、等腰直角三角形例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 。 （2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为 ； （3）若直角三角形三边为1，2，c，则c= 。例7、下列说法：若在abc中a2+b2c2，则abc不是直角三角形；若abc是直角三角形，c=900，则a2+b2=c2；若在abc中，a2+b2=c2，则c=900；若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号

6、填在横线上）。例8、正三角形abc所在平面内有一点p，使得pab、pbc、pca都是等腰三角形，则这样的p点有（）（a）1个（b）4个（c）7个（d）10个例9. 四边形abcd中，ab=bc，abc=cda=90，bead于点e，且四边形abcd的面积为8，则be=（）a2b3cd精品.例10. 已知abc为正三角形，p为其内一点，且ap=4，bp=，cp=2，则abc 的边长为 （ ）（a） （b） （c）4 （d）三巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。2、在abc中，ab=ac，b=400，则a= 。3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为 。4、有一

7、个内角为40的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140呢 dcba5、如图，在rtabc中，c105o，直线bd交ac于d，把直角三角形沿着直线bd翻折，点c恰好落在斜边ab上，如果abd是等腰三角形，那么a等于 （ ）(a)40o (b) 30o (c) 25o (d )15o6、若abc三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则abc的形状为（ ）（a）等腰三角形 （b）直角三角形 （c）等腰直角三角形 （d）等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是 （ ）。a、有一腰和一角对应相等 b、有两边对应相等 c、有顶角和一个底角对应相等 d、有两角对应

8、相等8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）a、顶角 b、底角 c、顶角的一半 d、底角的一半9、在等腰三角形abc中，a与b度数之比为52，则a的度数是（ ）a、100 b、75 c、150 d、75或10010、如图，p、q是abc边bc上的两点，且qcapaqbppq，则bac（ ）a、1250 b、1300 c、900 d、120011、如图，abc中，abac，bd、ce为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。10题图11题图12题图a、4个 b、6个 c、3个 d、5个 12、如图，abac，aeec，ace280，则b的度数是（ ） a、600 b、700 c、760 d、4

9、5013、如图是一个等边三角形木框，甲虫p在边框ac上（端点a、c除外），设甲虫p到另外两边距离之和为d，等边三角形abc的高为h，则d与h的大小关系是（ ） 精品.【解题方法指导】 例1. 已知，如图，abaccd，求证：b2d 例2. 已知，如图，abc是等边三角形，ad/bc，adbd，bc6，求ad的长。 【考点指要】 等腰三角形、等边三角形及含30角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】 例1. （2005年 苏州） 如图，等

10、腰三角形abc的顶角为120，腰长为10，则底边上的高ad_。 例2. 已知，如图，abc中，c90，ab的垂直平分线交ab于e，交ac于d，ad8，a30，求cd的长。精品. 例3. 已知，如图，abc是等边三角形，e是ab上一点，d是ac上一点，且aecd，又bd与ce交于点f，试求bfe的度数。【综合测试】 1. 已知，如图，abac，abdacd，求证：dbdc 2. 已知，如图，d、e是bc上两点，abac，adae，求证：bdce 3. 已知，如图，abc中，de/bc，abac，求证：adae精品. 4. 已知，如图，abc中，abac，d是ab上一点，e是ac延长线上一点，de

11、交bc于f，又bdce，求证：dfef 5. 已知，如图，d是bc上一点，abc、bde都是等边三角形，求证：adce 6. 已知，如图，abc中，b90，ac的垂直平分线交ac于d，交bc于e，又c15，ec10，求ab的长。例6、如图11，在abc中，a90，abac，d为bc边中点，e、f分别在ab、ac上，且dedf，求证：aeaf是一个定值.证明：连接ad， abac，d为bc中点，adbc，bac90，abac， bc45，bad45，cad45，adbdcd，edf90，edaadf90，又由adbc得bdeade90，bdeadf，在bde和adf中，bdaf，bdad，bde

12、adf，bdeadf，beaf，aeafaebeab（定值）.精品.思考：四边形aedf的面积是否也是定值呢？为什么？例4、如图9，已知ad为abc的高，e为ac上一点，be交ad于f，且有bfac，fdcd，你认为be与ac之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？证明：线段beac，理由如下：adbc，adbadc90，fbdbfd90， 在rtbdf和rtadc中，bfac，fdcd，rtbdfrtadc，bfdc，fbdc90，bec180（fbdc）1809090，即beac.例5、如图10，在abc中，acb90，acbc，m是ab上一点，求证：.证明：过c作cdab于点d，acb90，

13、acbc，cdab，ab45，acdbcd45，aacd，bbcd，adbd，bdcd，即adbdcd，cdab，.思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.例1、如图5，在abc中，abac，点o在abc内，oboc，求证：aobc.证明：延长ao交bc于点d，abac，oboc，oaoa，aboaco，baocao，即badcad，adbc，即aobc.精品.例2、如图6，在等边abc中，d、e分别在边bc、ba的延长线上，且aebd，求证：cede.证明：过e作efcd于点f，abc是等边三角形，b60，bef30，be2bf，即baaebcbd2bccd2（bccf），cd2cf， c

14、fdf，在cef和def中，cfdf，cfedfe90，efef，cefdef，cede.例3、如图7，已知在abc中，abac，p为底边bc上任意一点，pdab于点d，peac于点e，求证：pdpe是一个定值.解：连接ap，过点c作cfab于点f，由，得：，即，（定值）.说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.拓展：如果点p不是在边bc上，而是在bc的延长线上，其它条件保持不变，那么pd与pe之间又有怎样的关系呢？解：连接ap，过点c作cfab于点f，（如图8）由，得：，即,（定值）.即，当点p在bc延长线上时，pd与pe之差为一定值.基础训练：

15、1、填空题：（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 。（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 。精品.（3）等腰三角形的对称轴最多有 条。2、填空题：（1）如果abc是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（ ）a、三条边长分别是5，5，11 b、三条边长分别是4，4，8c、周长为14，其中两边长分别是4，5 d、周长为24，其中两边长分别是6，12（2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（ ）a、3 b、2 c、1.5 d、2或1.53、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35

16、cm，求等腰三角形各边的长。4、已知：如图，ad平分bac，ab=ac，请你说明dbc是等腰三角形。abcdx+2y=43x+y=75、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解，求这个三角形的各边长。（1）等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。（2）等腰三角形有一个角是120，那么其他两个角的度数是 和 。（3）abc中，a=b=2c，那么c= 。（4）在等腰三角形中，设底角为x，顶角为y，则用含x的代数式表示y，得y= ；用含y的代数式表示x，得x= 。 2、选择题：（1）等腰三角形的一个外角为140，那么底角等于（ ）a、40 b、100 c、70 d、40或70（2）等腰三角形一腰上

17、的高线与底边的夹角等于（ ）a、顶角 b、底角 c、顶角的一半 d、底角的一半（3）在等腰三角形abc中，a与b度数之比为52，则a的度数是（ ）a、100 b、75 c、150 d、75或100（4）等腰三角形abc中，ab=ac，ad是角平分线，则“adbc，bd=dc，b=c，bad=cad”中，结论正确的个数是（ ）a、4 b、3 c、2 d、13、如图，已知abc中，d在bc上，ab=ad=dc，c=20，求bad。abcdabcde4、如图，已知abc中，点d、e在bc上，ab=ac，ad=ae。请说明bd=ce的理由。1、填空题：（1）在abc中，a的相邻外角是110，要使abc是等腰三角形，则b= 。精品.（2）在一个三角形中，等角对 ；等边对 。（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是 。abc