工程数学线性代数(同济第六版)前五章答案

1、最新资料推荐第 1 章 行列式最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐第 2 章 矩阵最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐第 3 章 矩阵的初等变换最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐

2、最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐第 4 章 向量的线性相关性最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐最新资料推荐第 5 章相似矩阵及二次型习题答案1 试用施密特法把下列向量组正交化1 1 1(1) (a , a , a ) 1 2 41231 3 9解根据施密特正交化方法1b1a111b ab1,a2 b1022b,b1111b ab1,a3 b b2,a3

3、 b11233 b1,b1 1 b2,b2 2 31111(2) (a1, a2, a3)011101110解根据施密特正交化方法1b1 a1011b1,a2 b 11b a322b1,b1 1 321b1,a3 bb2,a3 b1b a1333 b1,b1 1 b2,b2 2 5342下列矩阵是不是正交阵 :最新资料推荐11123(1)111 ;212113 2解 此矩阵的第一个行向量非单位向量 , 故不是正交阵184999(2)814999447999解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵3 设 x 为 n 维列向量 xTx 1 令 H E 2xxT 证明 H 是对称的正交阵

4、证明因为HT (E 2xxT)T E 2(xxT)T E 2(xxT)TE 2(xT)TxT E 2xxT所以 H 是对称矩阵因为HTH HH (E 2xxT)(E 2xxT)E 2xxT 2xxT (2xxT)(2xxT)E 4xxT 4x(xTx)xTE 4xxT 4xxTE所以 H 是正交矩阵4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵证明因为 A B 是 n 阶正交阵故 A 1 AT B 1 BT(AB)T(AB) BTATAB B 1A 1AB E故 AB 也是正交阵5求下列矩阵的特征值和特征向量:212(1) 533 ;102最新资料推荐解 |A E |212(

5、1)3533102故 A 的特征值为1(三重 )对于特征值1 由3121 0 1A E523 0 1 11010 0 0得方程 (A E)x 0 的基础解系 p1 (1 11)T向量 p1 就是对应于特征值1 的特征值向量 .1 2 3(2) 2 1 3;3 3 6123解 | AE |2 133(1)(9)36故 A 的特征值为 102139对于特征值 10由1 2 31 2 3A2 1 3 0 1 13 3 60 0 0得方程 Ax 0 的基础解系 p1 ( 11 1)T 向量 p1 是对应于特征值1 0 的特征值向量 .对于特征值 21, 由2 2 32 2 3AE2 2 30 0 13

6、 3 70 0 0得方程 (A E)x 0 的基础解系 p2( 1 10)T向量2 就是对应于特征值 21的特p征值向量对于特征值 39由8231 11A9E2830 1123330 00最新资料推荐得方程 (A 9E)x 0 的基础解系 p3(1/2T向量3 就是对应于特征值39的特1/2 1)p征值向量0 0 0 1(3)0 0 1 0 .0 1 0 01 0 0 0001解 |A E |0110( 1)2( 1)200100故 A 的特征值为对于特征值121341121由1 0 0 11 0 0 1A E0 1 1 00 1 1 00 1 1 00 0 0 01 0 0 10 0 0 0

7、得方程 (A E)x 0 的基础解系 p1(1 001)Tp2(0 11 0)T 向量 p1 和 p2 是对应于特征值 1 21 的线性无关特征值向量对于特征值3 4 1由10011 001A E01100 1100 1 1 00 00010010 000得方程 (A E)x 0 的基础解系 p3(1 0 0 1)T p4 (0 1 10)T向量 p3 和 p4 是对应于特征值 3 4 1 的线性无关特征值向量6 设 A 为 n 阶矩阵 证明 AT 与 A 的特征值相同证明因为| ATE|( AE)T| AE| T | AE|所以 AT 与 A 的特征多项式相同从而 AT 与 A 的特征值相同

8、7设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A) R(B) n证明 A 与 B 有公共的特征值有公共的特征向量证明设 R(A) r R(B) t则 r t n若 a1 a2an r 是齐次方程组 Ax 0 的基础解系显然它们是 A 的对应于特征值0 的线性无关的特征向量最新资料推荐类似地设 12n t 是齐次方程组 Bx0 的基础解系则它们是 B 的对应bbb于特征值0 的线性无关的特征向量由于 (nr) (n t) n (n r t)n 故 a1 a2an rb1 b2bn t 必线性相关 于是有不全为 0 的数 k1 k2kn r l1 l2ln t 使k1a1 k2a2kn ran r l1b1

9、 l2b2l n rbn r 0记k1a1 k2a2kn ran r(l1b1 l2b2ln rbn r)则 k1k2kn r 不全为 0否则 l1l2ln t 不全为 0而与 b1l1b1l2b2ln rbn r 02n t 线性无关相矛盾bb因此0 是 A 的也是 B 的关于0 的特征向量 所以 A 与 B 有公共的特征值有公共的特征向量8 设 A2 3A 2E O 证明 A 的特征值只能取 1 或 2证明设 是 A 的任意一个特征值 x 是 A 的对应于 的特征向量则(A2 3A 2E)x2x 3 x 2x ( 2 32)x 0因为 x0所以 2 32 0 即 是方程 2 320 的根

10、也就是说1 或29设 A 为正交阵且| A|1证明1 是 A 的特征值证明因为 A 为正交矩阵所以 A 的特征值为 1 或 1因为 | A| 等于所有特征值之积又 | A|1所以必有奇数个特征值为1 即1 是 A 的特征值10设 0 是 m 阶矩阵 Am nBn m 的特征值证明 也是 n 阶矩阵 BA的特征值证明设 x 是 AB 的对应于0 的特征向量则有(AB)xx于是B(AB)x B( x)或BA(B x) (Bx)从而 是 BA 的特征值且 Bx 是 BA 的对应于 的特征向量11已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 12 3求| A35A2 7A|解令 ( )3 527则 (1)3(2)

11、2(3)3 是 (A)的特征值故| A3 5A27A|(A)|(1)(2)(3)32 31812已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 123求 | A* 3A 2E|解因为 | A|1 2(3)60所以 A 可逆故最新资料推荐A*| A| A 16A 1A*3A 2E13A 2E6A令 ( )61 322则 (1)1(2) 5( 3) 5 是 (A)的特征值故| A* 3A2E|6A 1 3A2E| (A)|(1)(2)(3)1 5( 5) 2513 设 A、B 都是 n 阶矩阵且 A 可逆证明 AB 与 BA相似证明取 P A则P 1ABP A 1ABA BA即 AB 与 BA 相似2 0 11

12、4设矩阵 A3 1 x可相似对角化求 x4 0 5解由| AE |201(1)2( 6)3 1x405得 A 的特征值为 16231因为 A 可相似对角化所以对于2 3 1齐次线性方程组 (A E)x 0 有两个线性无关的解因此 R(AE) 1由1 0 1r1 01( A E) 3 0 x 0 0 x 34 0 40 00知当 x3 时 R(A E)1即 x 3 为所求1)T 是矩阵 A21215已知 p (115a3的一个特征向量1b2(1)求参数 a b 及特征向量 p 所对应的特征值解设是特征向量 p 所对应的特征值则21210(AE)p 0即5a3101b210解之得1 a3 b 0最

13、新资料推荐(2)问 A 能不能相似对角化？并说明理由解由212( 1)3| AE |533102得 A 的特征值为 1231由112r 1 01AE523 0 111b10 00知 R(AE) 2所以齐次线性方程组 (AE)x 0 的基础解系只有一个解向量因此 A不能相似对角化16 试求一个正交的相似变换矩阵 , 将下列对称阵化为对角阵 :220(1)212 ;0 2 0解 将所给矩阵记为 A 由220AE212 (1)( 4)( 2)02得矩阵 A 的特征值为 1 22 134对于 1 2解方程 (A2E)x 0即420x1232x20022x3得特征向量 (1 22)T单位化得 p1(1,

14、 2, 2)T333对于 2 1, 解方程 (A E)x 0 即120x1202x20021x3得特征向量 (2 12)T单位化得 p2( 2, 1,2)T333对于34, 解方程 (A 4E)x 0即最新资料推荐220x1232x20024x3得特征向量 (22 1)T 单位化得 p3( 2,2, 1)T33 3于是有正交阵 P (p1 p2 p3)使 P 1AP diag( 2 1 4)222(2)2542 4 5解 将所给矩阵记为 A 由2221)2(AE254(10)245得矩阵 A 的特征值为 121310对于 121解方程 (A E)x0即122x10244x20244x30得线性

15、无关特征向量 ( 2 1 0)T 和(2 0 1)T将它们正交化、单位化得p1 (2,1, 0)Tp1(2, 4, 5)T15235对于 310,解方程 (A10E)x0即822x10254x20245x03得特征向量 (122)T单位化得p33( 1,2, 2)1T于是有正交阵 P (p1 p2 p3)使 P 1AP diag(1 1 10)124517设矩阵 A2x2 与4相似 求 x y并求一个正421y交阵 P使 P 1AP解已知相似矩阵有相同的特征值显然54y 是 的特征值故它们也是 A 的特征值因为4 是 A 的特征值所以最新资料推荐5249(x 4) 0|A 4E | 2 x 4

16、 2425解之得 x 4已知相似矩阵的行列式相同因为1245| A|242100|420y421y所以 20y100 y 5对于5 解方程 (A5E)x 0得两个线性无关的特征向量 (1 01)T (1 20)T将它们正交化、单位化得1T1Tp12(1, 0,1)p232 (1, 4,1)对于4 解方程 (A 4E)x 0得特征向量 (212)T单位化得p31(2, 1, 2)T31212332于是有正交矩阵 P0141332使 P AP121233218 设 3 阶方阵 A 的特征值为12223 1对应的特征向量依次为p1 (0 1 1)T p2 (1 1 1)T p3 (1 1 0)T求

17、A.解令 P (p1 p2p3)则 P 1AP diag(22 1)A P P 1因为0 1 11110P 11 1 11111 1 0011A P P 10 1 12001101 33所以1 1 1 0 2 0 1 1 14 5 31 1 00010114 4219设 3 阶对称阵 A 的特征值为112130对应1、 2 的特征向量依次为 p1(1 2 2)T p2(2 1 2)T 求 A最新资料推荐x1 x2 x3解设 Ax2 x4 x5则 Ap1 2p1 Ap22p2 即x3 x5 x6x12x22x31x22x42x52x32x52x622x1 x2 2x322x2 x4 2x512x

18、3x52x62再由特征值的性质有x1 x4 x6123 0由解得x11 1 x6x21 x6x32 1 x632234x41 1 x6x52 1 x63234令 x6 0 得 x11 x20 x32x41 x52333311 0 2因此A01 2322 020设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 16233 3与特征值1 6 对应的特征向量为 p1(11 1)T求 A.x1 x2 x3解设 Ax2x4x5x3 x5 x6因为1 6 对应的特征向量为 p1(111)T所以有11x1x2x36A 1 6 1 即 x2x4 x5 611x3x5x66233 是 A 的二重特征值 ,根据实对称矩阵的性质定

19、理知R(A 3E) 1 利用可推出最新资料推荐x13x2x3111A 3Ex2x4 3 x5 x2 x4 3 x5x3x5x6 3x3x5x6 3因为 R(A3E)1 所以 x2x43x5 且 x3x5 x63 解之得x2 x3 x5 1 x1 x4 x6 4A4 1 1因此1 4 11 1 421 设 a (a1 a2an)T a1 0 A aaT(1)证明0 是 A 的 n 1 重特征值证明设 是 A 的任意一个特征值x 是 A 的对应于 的特征向量则有Axx2x A2x aaTaaTx aTaAxaTax于是可得2aTa从而0 或aTa设 1 2n 是 A 的所有特征值 因为 A aaT

20、的主对角线性上的元素为 a12a22an2所以a12 a22an2 aTa 12n这说明在 12n 中有且只有一个等于 aTa而其余 n 1 个全为 0即0 是 A的 n 1 重特征值(2)求 A 的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量解 设 1aTa 2n0因为 Aa aaTa (aTa)a1a所以 p1a 是对应于 1aTa 的特征向量对于 2n 0解方程 Ax 0即 aaTx 0因为 a 0 所以 aTx 0 即a1x1a2x2anxn 0 其线性无关解为p2( a2 a1 00)Tp3( a3 0 a10)Tpn ( an 0 0a1)T因此 n 个线性无关特征向量构成的矩阵为a1a

21、2an( p1, p2, , pn)a2a10an0a1最新资料推荐设 A142求 A1002203 4043解由142|AE |034( 1)(5)( 5)043得 A 的特征值为 112 535对于 11解方程 (AE)x 0得特征向量 p1 (1 0 0)T对于 15解方程 (A5E)x 0得特征向量 p2 (2 1 2)T对于 15解方程 (A5E)x0 得特征向量 p3 (12 1)T令 P (p1 p2 p3) 则P 1AP diag(1 55)A P P 1A100P 100P 1因为100diag(1 5100 5100)1 211P 10 120 2115050125021所以10011 211100505A50 1250120 21510002110510010 5100000510023在某国每年有比例为 p 的农村居民移居城镇有比例为 q 的城镇居民移居农村假设该国总人口数不变且上述人口迁移的规律也不变把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 xn和 yn nn(xy 1)(1)求关系式xn 1Axnyy 中的矩阵 An 1n解由题意知xn 1 xnqyn pxn (1 p)xnqyn最新资料推荐