高等数学(专科)复习题及答案

1、.中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案高等数学（专科）一、填空题1函数的定义域是.解. 。 2若函数，则解. 3答案：1正确解法：4.已知，则_, _。由所给极限存在知, , 得, 又由, 知5.已知，则_, _。, 即, 6函数的间断点是。解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。因为 所以函数在处是间断的，精品.又在和都是连续的，故函数的间断点是。7. 设, 则8，则。答案：或9函数的定义域为 。解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。的定义域为：且10已知,则 . 解令，则，11设,则 。 。12 设则 。解13. .解：由导数与积分互为逆运算得，.14.设是

2、连续函数，且，则 .精品.解：两边对求导得，令，得，所以.15若，则。答案： 16设函数f(x,y)连续，且满足，其中则f(x,y)=_.解 记，则，两端在d上积分有：，其中（由对称性），即 ，所以，17求曲线所围成图形的面积为 ，（a0） 解： 18.；解：令，则原幂级数成为不缺项的幂级数，记其各项系数为，因为，则，故.精品.当时，幂级数成为数项级数，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为.19的满足初始条件的特解为.20微分方程的通解为.21微分方程的通解为.22.设n阶方阵a满足|a|=3，则=|= .答案：23.是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是. 答案： 2;24. f(x)

3、=是 次多项式，其一次项的系数是 。解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。25. a、b、c代表三事件，事件“a、b、c至少有二个发生”可表示为ab+bc+ac .26. 事件a、b相互独立，且知则. 解：a、b相互独立， p(ab)=p(a)p(b) p(ab)=p(a)+p(b)p(ab)=0.2+0.50.1=0.627. a，b二个事件互不相容，则. 解： a、b互不相容，则p(ab)=0，p(ab)=p(a)p(ab)=0.828. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为.解：设

4、a、b、c分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为，即有 p() =p(a)=0.36精品.29.已知事件 a、b的概率分别为p（a）0.7,p（b）0.6,且p（ab）0.4，则p（） ；p（） ；解： p(ab)=p(a)+p(b)p(ab)=0.9 p(ab)=p(a)p(ab)=0.70.4=0.3 30.若随机事件a和b都不发生的概率为p，则a和b至少有一个发生的概率为.解：p(a+b)=1p二、单项选择题1函数（ ） a.是奇函数； b. 是偶函数；c.既奇函数又是偶函数； d.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。 所以b正确。

5、2若函数，则（ ） a.；b. ；c.；d. 。解：因为，所以则，故选项b正确。3设 ，则=（ ）a x bx + 1 cx + 2 dx + 3解 由于，得 将代入，得=正确答案：d4已知，其中,是常数，则（ ）(a) , (b) (c) (d) 精品.解. , 答案：c5下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。a.； b.；c. ；d.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而a, c, d三个选项中的极限都不为0，故选项b正确。6下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）(a); (b);(c)； (d)解. , 故不选(a). 取, 则, 故不选(b). 取, 则

6、, 故不选(d). 答案：c 7设，则在处（）a连续且可导b连续但不可导c不连续但可导d既不连续又不可导解：（b），因此在处连续，此极限不存在精品.从而不存在，故不存在8曲线在点（1，0）处的切线是（ ） a b c d 解 由导数的定义和它的几何意义可知， 是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 ，即正确答案：a9已知，则=（ ） a. b. c. d. 6解 直接利用导数的公式计算： , 正确答案：b 10若，则（ ）。a b c d答案：d 先求出，再求其导数。11的定义域为（ ）abc d解 z的定义域为个，选d。12.下列极限存在的是（ ）（a） （b） （c） （d）精品.

7、解a. 当p沿时，当p沿直线时，故不存在； b. ，不存在； c. 如判断题中1 题可知不存在； d. 因为，所以，选d13.若，在内（ ）.（a） （b）（c） （d）解：14设为奇函数，且时，则在上的最大值为（ ）ab c d解：（b）因为是奇函数，故，两边求导，从而，设，则，从而，所以在-10，-1上单调增加，故最大值为15函数 ( )(a)、有极大值8 （b）、有极小值8 （c）无极值 （d）有无极值不确定 解， ，为极大值 （a）15.设（ ）.（a）依赖于 （b）依赖于（c）依赖于，不依赖于 （d）依赖于，不依赖于解：根据周期函数定积分的性质有,精品.17.曲线与轴围成的图形绕轴旋

8、转所成的旋转体的体积为（ ）.（a） （b） （c） （d）解：所求旋转体的体积为故应选(b).18.设，则有（ ）.（a）（b）（c）（d）解：利用定积分的奇偶性质知，所以，故选（d）.19下列不定积分中，常用分部积分法的是（ ）。a bc d答案：b。20设，则必有（ ）（a）i0 (b)i0 (c)i=0 （d）i0的符号位不能确定解： d： 21设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（）( )（a）等于0 （b）等于 (c) 等于+ （d）不存在且非 c）解：由极坐标，原极限精品.22.设函数项级数，下列结论中正确的是( ).（a）若函数列定义在区间上，则区间为此级数的收敛区间（

9、b）若为此级数的和函数，则余项，（c）若使收敛，则所有都使收敛（d）若为此级数的和函数，则必收敛于解：选（b）.23.设为常数，则级数（ ）.（a）绝对收敛 （b）条件收敛（c）发散（d）敛散性与有关解：因为，而收敛，因此原级数绝对收敛. 故选（a）.24.若级数在时发散，在处收敛，则常数（ ）.（a）1 （b）-1 （c）2 （d）2解：由于收敛，由此知.当时，由于的收敛半径为1，因此该幂级数在区间内收敛，特别地，在内收敛，此与幂级数在时发散矛盾，因此.故选（b）.25.的特解可设为（ ）（a） （b）（c） （d）解：c26.微分方程的阶数是指（ ）（a）方程中未知函数的最高阶数； （b）

10、方程中未知函数导数或微分的最高阶数；（c）方程中未知函数的最高次数； （d）方程中函数的次数.解：b精品.27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解.（a） （b）（c） （d）解：c28.a、b均为n阶可逆矩阵，则a、b的伴随矩阵=（ ）.（a）； （b）； （c） （d）； 解答：d 29. 设a、b均为n阶方阵，则必有 。 (a) |a+b|=|a|+|b| (b) ab=ba (c) |ab|=|ba| (d) (a+b)1=a1+b1解：正确答案为(c)30.a,b都是n阶矩阵,则下列各式成立的是 （ ）（a） （b） （c） （d）解答：b 31. 在随机事件a，b，c中，

11、a和b两事件至少有一个发生而c事件不发生的随机事件可表示为（）（a）（b）（c）（d）解 由事件间的关系及运算知，可选（a）32. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）（a）（b）（c）（d）解 基本事件总数为，设a表示“恰有3个白球”的事件，a所包含的基本事件数为=5，故p(a)=，故应选（d）。33. 已知，且,则下列选项成立的是（）（a）;（b）精品.（c）（d）解 由题可知a1、a2互斥，又0p(b)1，0p(a1)1，0p(a2)1，所以 p(a1ba2b)=p(a1b)+p(a2b)p(a1a2b)=p(a1)p(b|a1)+p(a

12、2)p(b|a2) 故应选（c）。三、解答题1.设函数 问（1）为何值时，在处有极限存在？（2）为何值时，在处连续？解：（1）要在处有极限存在，即要成立。因为所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 于是有，即时函数在处连续。2已知，试确定和的值解. ,即精品.,故3设，求的间断点，并说明间断点的所属类型解. 在内连续, , , 因此, 是的第二类无穷间断点; , 因此是的第一类跳跃间断点.4求方程中是的隐函数的导数（1）,解：方程两边对自变量求导，视为中间变量，

13、即 整理得 （2）设，求，；解：，5设由方程所确定, 求. 解: 设,精品., , , , ,. 6设函数在0,1上可导，且，对于（0 ,1）内所有x有证明在（0,1）内有且只有一个数x使 .7.求函数的单调区间和极值.解 函数的定义域是 令 ，得驻点， -2 0 + 0 - 0 + 极大值极小值故函数的单调增加区间是和，单调减少区间是及，当-2时，极大值；当0时，极小值.8.在过点的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.精品.解: 设平面方程为, 其中均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为, 且, 令, 则由, 求得 . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方

14、程为, 且.9求下列积分 (1)解：极限不存在，则积分发散.(2)解是d上的半球面，由的几何意义知i=v半球=(3) ，d由 的围成。解关于x轴对称，且是关于y的奇函数，由i几何意义知，。4判别级数（常数）的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?解：由，而精品.，由正项级数的比较判别法知，与同时敛散.而收敛，故收敛，从而原级数绝对收敛.4判别级数的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?解：记，则.显见去掉首项后所得级数仍是发散的，由比较法知发散，从而发散. 又显见是leibniz型级数，它收敛. 即收敛，从而原级数条件收敛.4求幂级数在收敛区间上的和函数：解：，所以.又当时，级数成

15、为，都收敛，故级数的收敛域为.设级数的和函数为，即.再令，逐项微分得，精品.，故，又显然有，故5求解微分方程 (1) 的所有解.解 原方程可化为，（当），两边积分得，即为通解。当时，即，显然满足原方程，所以原方程的全部解为及。(2) 解 当时，原方程可化为，令，得，原方程化为，解之得；当时，原方程可化为，类似地可解得。综合上述，有。(3) 解 由公式得 。三、求解下列各题精品.1 计算下列行列式：（.2），解： （3） 解： 3设矩阵a，b满足矩阵方程ax b，其中， , 求x 解法一：先求矩阵a的逆矩阵因为 所以 且 解法二： 因为 精品. 所以 4 设矩阵 试计算a-1b解 因为 所以 且 2设.(1)若，求；(2) 若，求；(3) 若，求.解：(1) p(b)=p(b)p(ab) 因为a，b互斥，故p(ab)=0，而由已知p(b)= p(b)=p(b)=(2) p(a)=，由ab知：p(ab)=p(a)= p(b)=p(b)p(ab)=(3) p(ab)= p(b)=p(b)p(ab)=3假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50