高等数学2(下册)试题答案以及复习要点(完整版)

1、 高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设具有一阶连续偏导数，若，则 A (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。解：选A 。 两边对 求导：，将 代入得 ，故 。2已知为某二元函数的全微分，则a和b的值分别为 C (A) 2和2；(B) 3和3；(C)2和2；(D) 3和3； 解：选C 。 3. 设为曲面z=2(x2+y2)在xoy平面上方的部分，则= D ； 。解：选D 。 。4. 设有直线，曲面在点(1,1,1)处的切平面，则直线与平面的位置关系是： C (A) ； (B) ； (C) ； (D) 与斜交 。解：选C 。的方向向量 ，曲面在

2、点(1,1,1)处的切平面的法向量。由于，因此 。5. 设，则下面结论正确的是 B (A) 点（，）是 的驻点且为极大值点 ；(B) 点（，）是极小值点 ； (C) 点（0，0）是 的驻点但不是极值点 ； (D) 点（0，0）是极大值点 。 解：选B 。二. 填空题 (每题3分,共15分)1 设 ，则 。解：或。2函数 ，则 。解：。3. 曲线在点(2,4,5)处的切线方程 。 解：切线方程 。4设L是圆周x2+y2=a2 (a0)负向一周,则曲线积分= _。 解：曲线积分。5交换二次积分的次序：= 。解：=。三.求解下列各题（每题8分，共16分）1设，f具有二阶连续偏导数，求及。解： （2分

3、） （2分） （2分） （2分）2设函数 具有一阶连续偏导数， 是由方程 所确定的隐函数，试求表达式 。解法一：方程 两端对求导：，同理可求，（6分） 。 （2分）解法二：令 ，则 ， （3分）于是， （3分） （2分）四计算下列各题（每题8分，共32分）1计算积分。 解：极坐标：令 ，则 （3分） （2分） （3分）2计算三重积分，其中为曲面及所围成的闭区域。解：联立的两曲面方程，得交线：，；投影柱面：；在面的投影域为：，用柱面坐标： （2分） （2分） （2分） （2分）3计算曲线积分，其中L是由点A（a，0）到点O（0，0）的上半圆周 解：设， 由格林公式得到 （4分） （4分）4计算，

4、其中曲面S为球面上的部分。解：曲面S的方程为z =，其在xoy坐标面上的投影区域为：，=， （3分） =+ （3分）由积分区域和被积函数的对称性得=0，且，所以=。 （2分）五（8分）求幂级数 的和函数，并求数项级数 的和。解： （2分） （2分）， （2分）取 ，得 。 （2分）六（8分）求解微分方程 。解：对应齐次微分方程的特征方程为： （2分）故特征根 ，从而齐次微分方程的通解为： （2分）令非齐次方程特解为：代入方程解得 ，于是特解为 （2分）则原方程通解为： 。 （2分）七（6分）某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元/件、9万元/件，若生产件甲产品和件乙产品的总成本为（

5、万元），又已知两种产品的总产量为100件，试建立这一问题的数学模型，并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。解：因为企业获得的总利润应为总收入与总成本之差，因此这一问题的数学模型应描述如下： （3分）这是有条件极值问题，利用Lagrange乘数法，令求对各个变量的偏导数，并令它们都等于0,得 （3分）解上述方程组得到唯一驻点，依题意知所求最大利润一定存在。故当产品甲产量为70件，产品乙产量为30件时企业获得最大利润。二. 选择题 (每题3分,共15分)1. 函数在原点（0，0）处间断，是因为： (A) 函数在原点无定义； (B) 函数在原点无极限；(C) 在原点极限存在，但该点无定义；

6、 (D) 在原点极限存在，但不等于它的函数值。选B。2. 曲面在点（2，1，0）处的切平面方程是： (A) ； (B) ；(C) ；(D) 。选C。3. 旋转抛物面在部分的曲面面积为: (A)； (B)；(C) ；(D)。选B 。4. 若幂级数的收敛半径是2，则的收敛半径为： (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。选D 。5. 若连续函数满足，则等于 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。 选A 。二. 填空题 (每题3分,共15分)1. 设，其中为可微函数，则 x 。2设可微，其中， 。3曲线在点（2，4，5）处的切线与轴所夹锐角。4交换二次积分的次序： 。5. 若为的外侧，且是

7、其外法线向量的方向余弦，则。注：三.求解下列各题（每题8分，共16分）1设，其中具有二阶连续偏导数，求。解：， （2分） （2分） （2分） （2分）2设求和 （已知）。解：将所给方程两边对求导并移项，得 （4分）由已知，可得， （2分）。 （2分） 四计算下列各题（每题8分，共32分）1计算二重积分，其中： 。解：利用极坐标变换 （3分） （3分） （2分） 2计算三重积分其中W为球面所围成的闭区域。解：应用球面坐标计算。即为，则 （3分） （3分） （2分） 3计算, 其中L为圆周, 直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA、弧AB、线段OB。线段

8、OA：，； （2分）弧AB：，O yBAxx所以 ； （2分）线段OB：，所以 。 （2分）综上，。 （2分）4计算曲面积分, 其中S是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧。z = 3z = 0zoyxS解：由于曲面S在坐标面上的投影区域为0，所以；（2分）曲面S在坐标面上的投影区域为,=; （2分）同理，曲面S在坐标面上的投影区域为0 x 1, 0 z 3,=; （2分） 故，=2=。 （2分） 五（8分）求幂级数（）的和函数，并求数项级数 的和。解：在（-1，1）上，令= （3分）上式两边积分得： ， （3分） = （2分）六（8分）求微分方程满足初始条件的特解。解：对应齐次微分方

9、程的特征方程为： 故特征根 ，从而齐次微分方程的通解为： （2分） （2分）因 不是特征根，故可令非齐次方程特解为：代入方程解得 ，于是原方程通解为： （2分）代入初始条件得，所以满足初始条件的特解为：。 （2分）七（6分）证明：，其中是正向一周。解：因曲线为封闭曲线，,满足Green公式条件，从而直接应用Green公式有：原式 （2分） （1分） （2分） （1分）高等数学试卷1高等数学2高等数学试卷3高等数学试卷4高等数学试卷5高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为 （2）已知函数，则 （3）交换积分次序， （4）已知是连接两点的直线段，则 （5）已知微

10、分方程，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平面为，则（ ）A. 平行于 B. 在上 C. 垂直于 D. 与斜交（2）设是由方程确定，则在点处的（ ）A. B. C. D.（3）已知是由曲面及平面所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A. B. C. D. （4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. B. C. D. （5）微分方程的特解的形式为（ ） A. B. C. D.得分阅卷人三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线:且平行于直线：的平面方程2、 已知，求， 3、 设，利用极坐标求4、 求函数的极值 5、计算曲线积分， 其中为摆线从点到的一段

11、弧6、求微分方程 满足 的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算，其中由圆锥面与上半球面所围成的立体表面的外侧 2、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（）（2）在求幂级数的和函数（）高等数学（下）试卷二一填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为 ； （2）已知函数，则在处的全微分 ；（3）交换积分次序， ；（4）已知是抛物线上点与点之间的一段弧，则 ；（5）已知微分方程，则其通解为 .二选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平面为，则与的夹角为（ ）；A. B. C. D. （2）设是由方程确定，则（ ）；A. B. C. D. （3）微分方程的

12、特解的形式为（ ）； A. B. C. D.（4）已知是由球面所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成三次积分为（ ）；A B.C. D.（5）已知幂级数，则其收敛半径（ ）.A. B. C. D. 得分阅卷人三计算题（每题8分，共48分）5、 求过且与两平面和平行的直线方程 .6、 已知，求， .7、 设，利用极坐标计算 .得分8、 求函数的极值.9、 利用格林公式计算，其中为沿上半圆周、从到的弧段.6、求微分方程 的通解.四解答题（共22分）1、（1）（）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛； （2）（）在区间内求幂级数的和函数 . 2、利用高斯公式计算，为抛物面的下侧高等数

13、学（下）模拟试卷三一 填空题（每空3分，共15分）1、 函数的定义域为 .2、= .3、已知，在处的微分 .4、定积分 .5、求由方程所确定的隐函数的导数 .二选择题（每空3分，共15分）1、是函数的 间断点（A）可去 （B）跳跃（C）无穷 （D）振荡2、积分= . (A) (B) (C) 0 (D) 13、函数在内的单调性是 。 （A）单调增加； （B）单调减少； （C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。4、的一阶导数为 .（A） （B）（C） （D）5、向量与相互垂直则 .（A）3 （B）-1 （C）4 （D）2三计算题（3小题，每题6分，共18分）1、求极限 2、求极限 3

14、、已知，求四计算题（4小题，每题6分，共24分）1、已知，求2、计算积分3、计算积分4、计算积分五觧答题（3小题，共28分）1、求函数的凹凸区间及拐点。2、设求3、（1）求由及所围图形的面积； （2）求所围图形绕轴旋转一周所得的体积。高等数学（下）模拟试卷四一 填空题（每空3分，共15分）1、 函数的定义域为 .2、= .3、已知，在处的微分 .4、定积分= .5、函数的凸区间是 .二选择题（每空3分，共15分）1、是函数的 间断点（A）可去 （B）跳跃（C）无穷 （D）振荡2、若= (A)1 (B) (C)-1 (D) 3、在内函数是 。 （A）单调增加； （B）单调减少； （C）单调增加且

15、单调减少； (D)可能增加;可能减少。4、已知向量与向量则为 .（A）6 （B）-6 （C）1 （D）-35、已知函数可导，且为极值，则 .（A） （B） （C）0 （D）三计算题（3小题，每题6分，共18分）1、求极限 2、求极限 3、已知，求四 计算题（每题6分，共24分）1、设所确定的隐函数的导数。2、计算积分3、计算积分4、计算积分五觧答题（3小题，共28分）1、已知，求在处的切线方程和法线方程。2、求证当时，3、（1）求由及所围图形的面积； （2）求所围图形绕轴旋转一周所得的体积。高等数学（下）模拟试卷五一 填空题（每空3分，共21分）函数的定义域为 。已知函数，则 。已知，则 。设

16、L为上点到的上半弧段，则 。交换积分顺序 。.级数是绝对收敛还是条件收敛？ 。微分方程的通解为 。二选择题（每空3分，共15分） 函数在点的全微分存在是在该点连续的（ ）条件。 A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既非充分，也非必要平面与的夹角为（ ）。A B C D幂级数的收敛域为（ ）。A B C D设是微分方程的两特解且常数，则下列（ ）是其通解（为任意常数）。A BC D在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中为，所围的闭区域。A B C D三计算下列各题（共分，每题分）1、已知，求。2、求过点且平行直线的直线方程。3、利用极坐标计算，其中D为由、及所围的在第一象限的区域。四求解

17、下列各题（共分，第题分，第题分） 、利用格林公式计算曲线积分，其中L为圆域：的边界曲线，取逆时针方向。、判别下列级数的敛散性： 五、求解下列各题（共分，第、题各分，第题分） 、求函数的极值。、求方程满足的特解。、求方程的通解。高等数学（下）模拟试卷六一、填空题：（每题分,共21分.）函数的定义域为 。已知函数，则 。已知，则 。设L为上点到的直线段，则 。将化为极坐标系下的二重积分 。.级数是绝对收敛还是条件收敛？ 。微分方程的通解为 。 二、选择题：（每题3分,共15分.）函数的偏导数在点连续是其全微分存在的（ ）条件。 A必要非充分， B充分， C充分必要， D既非充分，也非必要，直线与平

18、面的夹角为（ ）。A B C D幂级数的收敛域为（ ）。A B C D.设是微分方程的特解，是方程的通解，则下列（ ）是方程的通解。A B C D 在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中为的上半球体。A B C D三、计算下列各题（共分，每题分）、已知，求、求过点且平行于平面的平面方程。、计算，其中D为、及所围的闭区域。四、求解下列各题（共分，第题7分,第题分，第题分） 、计算曲线积分，其中L为圆周上点到的一段弧。、利用高斯公式计算曲面积分：，其中是由所围区域的整个表面的外侧。、判别下列级数的敛散性： 五、求解下列各题（共分,每题分） 、求函数的极值。、求方程满足的特解。、求方程的通解。高等

19、数学（下）模拟试卷七一 填空题（每空3分，共24分）1二元函数的定义域为 2一阶差分方程的通解为 3的全微分 _4的通解为 _5设，则_6微分方程的通解为 7若区域，则 8级数的和s= 二选择题：（每题3分，共15分）1在点处两个偏导数存在是在点处连续的 条件（A）充分而非必要 （B）必要而非充分 （C）充分必要 （D）既非充分也非必要 2累次积分改变积分次序为 (A) （B）（C） （D）3下列函数中， 是微分方程的特解形式(a、b为常数) （A） （B） （C） （D） 4下列级数中，收敛的级数是 （A） （B） （C） （D） 5设，则 (A) (B) (C) (D) 得分阅卷人三、求解

20、下列各题（每题7分，共21分）1. 设，求2. 判断级数的收敛性3.计算，其中D为所围区域四、计算下列各题（每题10分，共40分）1. 求微分方程的通解.2.计算二重积分，其中是由直线及轴围成的平面区域.3.求函数的极值.4.求幂级数的收敛域.高等数学（下）模拟试卷一参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、 2、 3、 4、 5、 二、选择题：（每空3分，共15分） 1.2.3.45.三、计算题（每题8分，共48分）1、解： 平面方程为 2、解： 令 3、解：， 4解： 得驻点 极小值为 5解：，有曲线积分与路径无关 积分路线选择：从，从 6解： 通解为 代入，得，特解为 四、解答题1、

21、解： 方法一： 原式 方法二： 原式 2、解：（1）令收敛， 绝对收敛。 （2）令 高等数学（下）模拟试卷二参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、 2、 3、 4、 5、 二、选择题：（每空3分，共15分） 1. 2.3. 4.5. 三、计算题（每题8分，共48分）1、解： 直线方程为 2、解： 令 3、解：， 4解： 得驻点 极小值为 5解：，有 取从 原式 6解： 通解为 四、解答题 1、解：（1）令收敛， 绝对收敛 （2）令 ， 2、解：构造曲面上侧 高等数学（下）模拟试卷三参考答案一填空题：（每空3分，共15分）1.；2.；3. ；4.0；5. 或二选择题：（每空3分，共15分

22、） 三计算题：1. 2. 3. 四计算题： 1.；2.原式 3. 原式 4.原式。五解答题: 1 2.3.（1） （2）、高等数学（下）模拟试卷四参考答案一填空题：（每空3分，共15分）1.；2.；3. ；4. ；5. 。二选择题：（每空3分，共15分）1. ；2. ；3. ；4. ；5. 。三1. 2. 3. 四 1.；2. 3. 4.。五解答题 1.凸区间 2. 3.（1）、 （2）、高等数学（下）模拟试卷五参考答案一、填空题：（每空3分，共21分）、， 、，、,、，、，、条件收敛，、（为常数），二、选择题：（每空3分，共15分）、，、，、，、，、三、解：、令 、所求直线方程的方向向量可取

23、为 则直线方程为：、原式 四、解：、令 原式 、 此级数为交错级数 因 ， 故原级数收敛 此级数为正项级数 因 故原级数收敛 五、解：、由，得驻点 在处 因，所以在此处无极值 在处 因，所以有极大值、通解 特解为 、其对应的齐次方程的特征方程为 有两不相等的实根 所以对应的齐次方程的通解为 （为常数） 设其特解将其代入原方程得 故特解原方程的通解为高等数学（下）模拟试卷六参考答案一、 填空题：（每空3分，共21分）、， 、，、,、，、，、绝对收敛，、（为常数），二、选择题：（每空3分，共15分）、，、，、，、，、三、解：、令 、所求平面方程的法向量可取为 则平面方程为：3、原式 四、解：、令 原式 、令原式 、 此级数为交错级数 因 ， 故原级数收敛 此级数为正项级数 因 故原级数发散 五、解：、由，得驻点 在处 因，所以有极小值 在处 因，所以在此处无极值 、通解 特解为 、对应的齐次方程的特征方程为 , 有两不相等的实根 所以对应的齐次方程的通解为 （为常数） 设其特解将其代入原方程得 故特解原方程的通解为高等数学（下）模拟试卷七参考答案一填空题：（每空3分，共24分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 2二选择题：（每题3分，共15分） 1. D 2. D 3. B 4. C