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文档简介

1、,二、 两个重要极限,一、三个准则（第二节已经讲过）,第六节,两个重要极限,第一章,一、 极限存在准则,1、 夹逼准则（迫敛性）,2、 单调有界准则（数列）,*3、 柯西收敛准则（数列）,二、 两个重要极限,函数1,圆扇形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注1：其证明见最后一页；另外需要注意x的变化，不同于P48例,2.,证: 当,时, 设,则,(P53),当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为,时, 令,练习. 填空,例2. 求,解:,例3. 求,解: 令,则,因此,原式,例3. 求,解: 原式 =,例4. 已知圆内接

2、正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,的不同数列,内容小结,1. 函数极限与数列极限关系的应用,(1) 利用数列极限判别函数极限不存在,(2) 数列极限存在的夹逼准则,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在 .,函数极限存在的夹逼准则,2. 两个重要极限,或,作业 P56 1 (5)，(6) ; 2 (2)，(4);,解: 原式 =,思考与练习：求,第一章,都是无穷小,第七节,1. 引例,但,可见无穷小趋于 0 的 速度是多样的 .,无穷小的比较,2. 定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是

3、的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例1. 证明: 当,时,证:,练习. 证明:,证:,因此,即有等价关系:,说明: 上述证明过程也给出了等价关系:,定理1.,证:,即,即,例如,故,定理2 . 设,且,存在 , 则,证:,例如,设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明:,无穷小的性质,(1) 和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若 = o() ,(2) 和差代替规则:,例如,例如,(见下页例3),(3) 因式代替规则:,界, 则,例如,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解:,内容小结,1. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,2. 等价无穷小替换定理,思考与练习,P5

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