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文档简介
1、2.1.2平面直角坐标系中的基本公式,一. 两点间的距离公式,当AB时不平行于坐标轴,也不在坐标轴上时,从点A和点B分别向x轴,y轴作垂线AA1,AA2,BB1,BB2, 垂足分别为A1(x1,0),A2(y1, 0),B1(0,x2),B2(0,y2), 其中直线BB1和AA2相交于点C。,C,在直角ACB中,|AC|=|A1B1|=|x2x1|,|BC|=|A2B2|=|y2y1|,,C,由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2x1|2+|y2y1|2,,由此得到计算两点间距离的公式: d(A,B)=|AB|,当AB平行于x轴时,d(A,B)=|x2x1|;,当AB平行于y
2、轴时,d(A,B)=|y2y1|;,当B为原点时,d(A,B)=,例1. 已知A(2,4),B(2,3),求d(A,B)。,例2已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:ABC是等腰三角形。,证明:因为 d(A,B)=,d(A,C)=,d(B,C)=,因为|AC|=|BC|,且A,B,C不共线,,所以ABC是等腰三角形。,二. 坐标法,坐标法:就是通过建立坐标系(直线坐标系或者是直角坐标系),将几何问题转化为代数问题,再通过一步步地计算来解决问题的方法.,用坐标法证题的步骤,用坐标法证题的步骤,(1)根据题设条件,在适当位置建立坐标系(直线坐标系或者是直角坐标系); (2)设出未知
3、坐标; (3)根据题设条件推导出所需未知点的坐标,进而推导结论.,例3已知ABCD,求证:AC2+BD2=2(AB2+AD2).,证明:取A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建 立平面直角坐标系xOy,,依据平行四边形的性质可设点A,B,C,D的坐标为A(0,0),B(a,0),C(b,c),D(ba,c),,所以 AB2=a2,AD2=(ba)2+c2,AC2=b2+c2,BD2=(b2a)2+c2,,AC2+BD2=4a2+2b2+2c24ab =2(2a2+b2+c22ab),,AB2+AD2=2a2+b2+c22ab,,所以 :AC2+BD2=2(AB2+AD2).,定理:平行四边形两
4、条对角线的平方和等于它的四边的平方和。,三. 中点坐标公式,已知A(x1,y1), B(x2,y2)两点,M(x,y)是线段AB的中点,则有,(1)两点间线段的中点坐标是常遇到的问题,中点法也是数形结合中常考察的知识点,这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究,确定解题策略。,(2)若已知点P(x,y),则点P关于点M(x0,y0)对称的点坐标为P(2x0 x,2y0y).,(3)利用中点坐标可以求得ABC(A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3))的重心坐标为,例4已知ABCD的三个顶点A(3,0),B(2,2),C(5,2),求顶点D的坐标。,解:因为平行四边形的两条对角线的
5、中点相同,所以它们的坐标也相同。 设D点的坐标为(x,y),,则,解得,所以点D的坐标是(0,4).,已知A、B的坐标分别为(1,1),(4,3),点P在x轴上,则|PA+PB|的最小值为( ) A.20 B.12 C.5 D.4,例5.求函数y= 的最小值.,解:函数的解析式可化为,令A(0,1),B(2,2),P(x,0), 则问题转化为在x轴上求一点P(x,0),使得|PA|+|PB|取最小值.,A(0,1)关于x轴的对称点为A(0,1),,即函数y= 的最小值为,练习题:,1 如果一条线段的长是5个单位,它的一个端点是A(2,1),另一个端点B的横坐标是1,则端点B的纵坐标是( ) (
6、A)3 (B)5 (C)3或5 (D)1或3,C,2设A(1,2),在x轴上求一点B,使得|AB|=5,则B点的坐标是( ) (A)(2,0)或(0,0) (B)( ,0) (C)( ,0) (D)( ,0)或( ,0),D,3若x轴上的点M到原点及点(5,3)的距离相等,则M点的坐标是( ) (A)(2,0) (B)(1,0) (C)(1.5,0) (D)(3.4,0),D,4若点M在y轴上,且和点(4,1), (2,3)等距离,则M点的坐标是 .,5若点P(x,y)到两点M(2,3)和N(4,5)的距离相等,则x+y的值等于 .,7,6已知点A(x,5)关于点C(1,y)的对称点是B(2,3),则点P(x,y)到原点的距离是 。,7已知ABC的两个顶点A(3,7),B(2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,则C点的坐标是 。,(2,7)或(3,5),8 已知A(1,2),B(3,b)两点间的距离等于4 ,则b= 。,6或2,9 已知点A(1,3),B(3,1),点C在坐标轴上,ACB=90,则满足条件的点C的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,解:若点C在x轴上,设C(x,0),由ACB=90,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,, (13)2+(31)2=(x+1)2+32+(x3)2+12, 解得x=0或x=2,若点C在y轴
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