第七章 刚体的平面运动幻灯片.ppt

1、2020年8月6日,理论力学,七 刚体的平面运动,七 刚体的平面运动,7.1 刚体平面运动的描述,7.2 平面运动刚体上各点的速度,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,7.1 刚体平面运动的描述,在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保 持相等的距离。这种运动称为平面运动。,一、平面运动,7.1 刚体平面运动的描述,例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动，A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动,7.1 刚体平面运动的描述,刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动

2、合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式,7.1 刚体平面运动的描述,刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度,二平面运动的简化,7.1 刚体平面运动的描述,为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们 只需确定平面图形内任意一条线段的位置,任意线段O M的位置可用O点的坐标和O M与x轴夹角表示因此图形S 的位置决定于三个独立的参变量,三平面运动方程,平面运动方程,7.1 刚体平面运动的描述,四

3、平面运动分解为平动和转动,当图形上O点不动时，则刚体作定轴转动,当图形上 角不变时，则刚体作平动,故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动,7.1 刚体平面运动的描述,例如车轮的运动,7.1 刚体平面运动的描述,车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成,车轮对于静系的平面运动,（绝对运动）,车厢（动系O x y ) 相对静系的平动,（牵连运动）,车轮相对车厢（动系O x y）的转动,（相对运动）,我们称动系上的原点O为基点。,7.1 刚体平面运动的描述,绕基点O的转动,车轮的平面运动,随基点O的平动,刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动,结论：,7.1

4、 刚体平面运动的描述,例如: 平面图形在t 时间内从位置I运动到位置II,以A为基点: 随基点A平动到AB后, 绕基点转 角到AB,以B为基点: 随基点B平动到AB后, 绕基点转 角到AB,因为：AB AB AB ，,所以：,B,B,B,A,A,A,7.1 刚体平面运动的描述,平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的a ,都是相同的）基点的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点),结论：,7.1 刚体平面运动的描述,曲柄连杆机构,AB杆作平面运动 平面运动的分解,7.1 刚体平面运动的描述,A,B,平面图形的平

5、面运动可分解为两个运动：1.牵连运动，即随基点A的平动；2.相对运动，即绕基点A的转动。,于是，平面图形上点B的运动是两个运动的合成，因 此可用速度合成定理求它的速度，这种方法称为基点法。,牵连运动：,相对运动：,点M的绝对速度：,取点A为基点。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,一、 基点法（合成法）,结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随 图形绕基点转动速度的矢量和。,B,A,取点A为基点，则点B的速度为,根据这个结论，平面图形内任 意两点的速度必存在一定的关系。,其中,方向垂直AB。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,同一平面图形上任意 两点的速度在该两点

6、连线上的投影相等。,速度投影定理：,这种求解速度的方法称为速度投影法,二速度投影法,由于A ，B点是任意的，因此 表示了图形上任意两点速度间的关系由于恒有 ，因此将上式在AB上投影，有,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,例：半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知 轮轴以匀速v0前进。求轮缘上A、B、C、D各点的速度。,vO,解：取点O为基点，则点C的速度,因轮纯滚动，所以vC=0，则,点A:,点D:,点B:,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,例：曲柄长OA=r=40cm，以匀角速度=5rad/s转动。连杆 AB长l=200cm，求当曲柄与水平线成45角时，滑块B的速

7、 度及连杆AB的角速度。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,解：杆OA作定轴转动,取点A为基点，则点B速度,作速度图，得,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,例：曲柄OA以匀角速度0转动。求在图示瞬时，点C的速度。已知：OA=O1O=r，BC=2r。OAB=45。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,解：杆OA绕O轴转动,取点A为基点，则点B的速度,作速度图，得,ABC,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,ABC,再取点B为基点，则点C的速度,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,例：曲柄OA长100mm，以角速度=2rad/s转动。连杆AB 带动摇杆C

8、D，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB， 图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CDED。 求此瞬时点E的速度。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,30,解：杆OA绕O轴转动,由速度投影定理，得,摇杆CD绕C轴转动，有,由速度投影定理，得,7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）,点C称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。,一、定理,一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在 一个速度为零的点。,A,M,C,证明：过点A作vA 的垂线AN。,N,随着点M在AN上的位置不同，vM的大 小也不同。因此可找到一点C, 该点的 瞬时速度等于零。如令,取点A为基点，则AN上点M的速度为

9、,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,二、平面图形内各点速度及其分布,D,A,C,B,点C为速度瞬心，即 vC=0。,取点C为基点，则A, B, D各点的速度,由此的结论：平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,三、确定速度瞬心位置的方法,1. 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动。,C,C,A,B,2. 已知图形内任意两点A和B的速度方向。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,3. 已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方 向垂直于两点的连线AB。,A,B,C,A,B,C,A,B,瞬时平动,7.2 平面

10、运动刚体上各点的速度（瞬心法）,例如: 曲柄连杆机构在图示位置时， 连杆BC的运动为瞬时平动,设匀角速度，则,而的方向沿AC，,此时连杆BC的图形角速度 。,BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,注意的问题 （1）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随 时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 （2）速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同 于定轴转动 （3）刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点 的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,例：行星轮半径为r，在半径为R的固

11、定轮上作无滑动的滚 动。已知曲柄OA以匀角速度0 转动。求在图示位置，行 星轮上M1、M2、M3的速度。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,C,解：杆OA绕O轴转动,点C为行星轮的速度瞬心,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,例：图示机构：OA=0.15m，n=300 rpm，BC=BF=0.53m。 AB=0.76m，图示位置时, AB水平。求：该位置时的BC、 AB 及 vC。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,C1,C2,解：杆OA绕O轴转动,点C1为杆AB的速度瞬心,点C2为杆BC的速度瞬心,AB,BC,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,例：平面机

12、构中, 楔块M: =30, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与楔块间无滑动。求圆盘的及轴O的速度和B点速度。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,C,A,解：圆盘无滑动,点C为圆盘的速度瞬心,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,例：平面机构图示瞬时, O点在AB中点, =60,BCAB, 已知O、C在同一水平线上, AB=20cm, vA=16cm/s , 试求该瞬时AB杆, BC杆的角速度及滑块C的速度。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,C1,C2,解：,点C1为AB杆的速度瞬心,AB,BC,点C2为BC杆的速度瞬心,7.2 平面运动刚体上各点的速

13、度（瞬心法）,例：导槽滑块机构，曲柄OA= r, 匀角速度转动, 连杆 AB的中点C处连接一滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l，图 示瞬时O，A，O1三点在同一水平线上，AO1C= =30。 OAAB，求：该瞬时O1D的角速度。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,解：杆OA绕O轴转动,因为vA平行vB，杆AB瞬时平动,取杆AB上点C为动点，动系固 连于杆O1D上。,C,O1D,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,例：已知：OA=0.1m，BD=0.1m，DE=0.1m，EF=0.1 m； 曲柄OA的角速度=4rad/s。在图示位置时，曲柄OA与水 平线OB垂直；且B, D和

14、F在同一铅直线上, 又DE垂直于EF。 求杆EF的角速度和点F的速度。,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,解：杆OA绕O轴转动,C1,杆AB作瞬时平动,点D为杆BC的速度瞬心,三角块绕D轴转动,点C1为杆EF的速度瞬心,EF,7.2 平面运动刚体上各点的速度（瞬心法）,取B为动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动,于是,由牵连平动时加速度合成定理 可得如下公式：,一. 基点法 (合成法),已知：图形S 内一点A 的加速度 和图 形的 , a（某一瞬时）。 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。,取A为基点，将平动坐标系固结于A点,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,

15、其中： 方向AB，指向与a 一致；,，方向沿AB，指向A点。,即平面图形内任一点的加速度等于基点 的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。,上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方求 出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,由于 的大小和方向随B点的不同而不同,所以总 可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度 大 小恰与基点A的加速度 等值反向，其绝对加速度 Q点就称为图形在该瞬时的加速

16、度瞬心,(1)一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点 (2)一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式. 即一般情况下,图形上任意两点A, B的加速度,二加速度瞬心,若某瞬时图形 = 0, 即瞬时平动, 则有 即：若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,（3）由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形的角加速度,例 半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度 及加速度 ,求车轮与轨道接触点C的加速度,C为速度瞬心，,分析：,大小：,

17、？,a,w 2,方向：,？,解：,轮O作平面运动，,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,由此看出，速度瞬心C的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心C的加速度指向轮心,以O为基点，,=0,由于 在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，,将 分别投影到x、y轴上，有：,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,(a),(b),AB杆作平动，,例已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A/O2B,试问(a),(b)两种 情况下1和 2，a1和a2是否相等？,解：(a),7.3 平面运动刚体上各点的加速度,(b),(b) AB杆作平面运动,图示瞬时AB杆作瞬时平动,即,对

18、AB杆，以A为基点求B点的加速度,式中,将上式投影到AB轴上，有：,当杆做瞬时平动时,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,例 曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚动。 求：当j =60时 (OAAB),滚轮的，a,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,OA杆作定轴转动,AB杆和轮B作平面运动,C为其速度瞬心,分析: 要想求出滚轮的, a 先要求出vB, aB,解：,研究AB杆：,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,取A为基点，,将上式向x轴上投影,C2为其速度瞬心,研究轮B：,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,例 曲柄滑块机构，OAr，ABl，曲柄以等角速度w

19、0 绕O轴旋转。求：图示瞬时，滑块B的加速度aB和连杆AB 的角加速度 AB,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,1、确定连杆的角速度：,O,B,A,解：,以A为基点，,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,2、加速度分析,A点的加速度,根据加速度合成定理,以A为基点，求B点的加速度：,将加速度合成定理中各项向AB方向投影,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,3、角加速度分析,B点的加速度：,将加速度合成定理中各项向a tBA方向投影,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,例 图示平面机构，滑块B可沿杆AB滑动，杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平导轨运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为 ；图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为 。求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,解：,BE杆作平面运动。,先求滑块B的速度和加速度。,BE杆的速度瞬心为O点,以E为基点，求滑块B的加速度aB,将上式投影到BE轴上：,7.3 平面运动刚体上各点的加速度,以滑块B为动点。,动系与OA杆固结。,所以，OA杆的角速度为：,加速度分析,式中：,将上式投影到