北京市西城区高三一模试卷(理数)

1、北京市西城区 2012 年高三一模试卷 数学（理科） 2012.4 第卷第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项. . 1已知全集U R R，集合A x| （A）(0,1) （C）(,0 U (1,) 2执行如图所示的程序框图，若输入x 2，则输出y的 值为（） （A）2 （B）5 （C）11 （D）23 1 1，则 U A （ ） x （B）(0,1 （D）(,0) U 1,) x y 0, 3若实数x，y满足条件x y3 0,则2x y的最大值为（） 0 x 3, （A）9 3 4已知正六棱

2、柱的底面边长和侧棱长相等，体积为12 3cm （B）3（C）0（D）3 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（） 2 （A）4 3cm 2 （B）2 3cm（C）8cm 2 （D）4cm2 44 5已知函数f (x) sin xcosx的最小正周期是 ，那么正数（） （A）2（B）1（C） 1 2 （D） 1 4 6若a log23，b log32，c log46，则下列结论正确的是（） （A）b a c （C）c b a * 7 设等比数列an的各项均为正数， 公比为q， 前n项和为Sn 若对nN， 有S2n 3Sn， （B）a b c （D）b c a 则q的取值范围是（） （A

3、）(0,1 23 8已知集合A x| x a0a13a23 a33 ，其中ak0,1,2 (k 0,1,2,3)， （B）(0,2)（C）1,2) （D）(0, 2) 且a3 0.则A中所有元素之和等于（） （A）3240（B）3120（C）2997（D）2889 第卷第卷 （非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. . 9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与18秒之间将测试结果分成5组：13, 14)，14, 15)， 15, 16)，16, 17)，17, 18，得到如图所示的频率分 布直方图如果从左到右的5个小矩形的面积之

4、比为 1:3:7:6:3 ，那么成绩在16,18的学生人数是_ 10(x2)的展开式中，x的系数是_ （用数字作答） 11.如图，AC为O的直径，OB AC，弦BN交AC 于点M若OC 3，OM 1，则MN _ 12.在极坐标系中，极点到直线l :sin() 1 0 x c, x 2, 13.已知函数f (x) 其中c 0那么f (x)的零点是_；若f (x)的 2 x x, 2 x 0, 1 值域是 ,2，则c的取值范围是_ 4 63 B C M O N A 4 2的距离是_ 14. 在直角坐标系xOy中，动点A，B分别在射线y 3 x (x 0)和y 3x (x 0)上运 3 动，且OAB

5、的面积为1则点A，B的横坐标之积为_；OAB周长的最小值是 _ 三、解答题共 6 小题，共 80 分. . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. . 15.（本小题满分 13 分） 在ABC中，已知sin(A B) sin Bsin(A B) （）求角A； uuu ruuu ruuu r （）若| BC | 7，AB AC 20，求| AB AC | 16.（本小题满分 13 分） 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比 赛结束） ，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. （）求甲以4比1获胜的概率； （）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （）

6、求比赛局数的分布列. 17 （本小题满分 14 分） 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，DAB DBF 60，且FA FC （）求证：AC 平面BDEF； E E （）求证：FC平面EAD； （）求二面角A FC B的余弦值 D D F F C C 18.（本小题满分 13 分） 已知函数f (x) e (a1)，其中a 1. ax A A B B a x （）当a 1时，求曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线方程； （）求f (x)的单调区间. 19.（本小题满分 14 分） 5x2y2 已知椭圆C: 2 2 1 (a b 0)的离心率为 ，定点M(2,0)，椭圆短轴的端点是

7、 3ab B1，B 2 ，且MB 1 MB 2 . （）求椭圆C的方程； （） 设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点.试问x轴上是否存在定点P， 使PM平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分 13 分） 对于数列A n :a 1,a2 ,L ,a n (a i N N ,i 1,2,L ,n)，定义“T变换” ：T将数列A n 变换成数 列Bn:b 1,b2 ,L ,b n ，其中b i |a i a i1 | (i 1,2,L ,n1)，且b n |a n a 1 |，这种“T变换” 记作BnT(A n ).继续对数列B n 进行“T变换” ，

8、得到数列Cn，依此类推，当得到的数列 各项均为0时变换结束 （）试问A 3 :4,2,8和A 4 :1,4,2,9经过不断的“T变换”能否结束？若能， 请依次写出经 过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由； （）求A 3 :a 1,a2 ,a 3 经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件； （）证明：A 4 :a 1,a2 ,a 3,a4 一定能经过有限次“T变换”后结束 北京市西城区 2012 年高三一模试卷 数学（理科）（理科）参考答案及评分标准 2012.4 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1.C

9、；2. D；3. A；4.A；5. B；6. D；7. A；8. D . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9.54；10.160；11.1； 12. 2； 13.1和0，(0,4；14. 注：注：1313 题、题、1414 题第一问题第一问 2 2 分，第二问分，第二问 3 3 分分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 15.（本小题满分 13 分） （）解：原式可化为sinB sin(A B)sin(A B) 2cos AsinB3 分 因为B(

10、0,)，所以sinB 0， 所以 cosA 3 ，2(1 2). 2 1 5 分 2 因为A(0,)， 所以 A 6 分 3 uuu r 2 uuu r 2 uuu r 2 uuu r uuu r （）解：由余弦定理，得| BC | | AB | | AC | 2| AB | AC |cos A8 分 uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r 因为 | BC | 7，AB AC | AB | AC |cos A 20， uuu r 2 uuu r 2 所以 | AB | | AC | 89 10 分 uuu ruuu r 2 uuu r 2 uuu r 2 uuu r uuu r

11、 因为 | AB AC | | AB | | AC | 2AB AC 129， 12 分 uuu ruuu r 所以 | AB AC |129 13 分 16.（本小题满分 13 分） （）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 记“甲以4比1获胜”为事件A， 1 1 分 2 11 4 分 28 （）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B. 5 3 1 3 1 53 1 因为，乙以4比2获胜的概率为P，6 分 C ( ) ( ) 15 22232 5 3 1 3 1 63 1 乙以4比3获胜的概率为P 2 C 6 ( ) ( ) ，7 分 22232 5 所以P(B) P

12、8 分 P 12 16 则P(A) C4( ) ( ) 3343 1 2 1 2 （）解：设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7 1 4 1 P(X 4) 2C4( ) ，9 分 4 28 1 3 1 3 1 43 1 P(X 5) 2C 4 ( ) ( ) 10 分， 2224 5 3 1 3 1 52 1 P(X 6) 2C 5 ( ) ( ) ，11 分 22216 5 3 1 3 1 63 1 P(X 7) 2C 6 ( ) ( ) 12 分 22216 比赛局数的分布列为： X P 4 1 8 5 1 4 6 5 16 7 5 16 13 分 17.（本小题满分 14 分）

13、 （）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO 因为 四边形ABCD为菱形，所以AC BD， 且O为AC中点1 分 又FA FC，所以AC FO 3 分 因为 FO BD O， 所以AC 平面BDEF4 分 （）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形， 所以AD/BC，DE/BF， 所以 平面FBC/平面EAD7 分 又FC 平面FBC， 所以FC/ 平面EAD8 分 （）解：因为四边形BDEF为菱形，且DBF 60，所以DBF为等边三角形 因为O为BD中点，所以FO BD，故FO 平面ABCD 由OA,OB,OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz 9 分 设AB 2因为四边形

14、ABCD为菱形，DAB 60，则BD 2，所以OB 1， OA OF 3 所以 O(0,0,0),A( 3,0,0),B(0,1,0),C( 3,0,0),F(0,0, 3) uuu ruuu r 所以 CF ( 3,0,3)，CB ( 3,1,0) uuu r n nCF 0, 设平面BFC的法向量为n n = (x,y,z)，则有uuu r n nCB 0. 所以 3x 3z 0, 3x y 0 取x 1，得n n (1, 3,1)12 分 易知平面AFC的法向量为v v (0,1,0)13 分 由二面角A FC B是锐角，得 cosn n,v v n nv v n n v v 15 5

15、所以二面角A FC B的余弦值为 18.（本小题满分 13 分） 15 14 分 5 xx （）解：当a 1时，f (x) e ( 2)，f (x) e (2 1 x 1 x 1 ) 2 分 x2 由于f (1) 3e，f (1) 2e， 所以曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是2ex ye 04 分 （）解：f (x) aeax (x1)(a1)x1 ，x 06 分 x2 当a 1时，令f (x) 0，解得x 1 f (x)的单调递减区间为(,1)；单调递增区间为(1,0)，(0,)8 分 当a 1时，令f (x) 0，解得x 1，或x 1 a1 1 ,)；单调递增区间为 a

16、1 当1 a 0时，f (x)的单调递减区间为(,1)，( (1,0)，(0, 1 ) 10 分 a1 当a 0时，f (x)为常值函数，不存在单调区间11 分 当a 0时，f (x)的单调递减区间为(1,0)，(0, 1 )；单调递增区间为(,1)， a1 ( 1 ,) 13 分 a1 19.（本小题满分 14 分） （）解：由 5a2b2b2b 9 e2 a2 1 2 a2 ，得 a 3 . 依题意MB 1B2 是等腰直角三角形，从而b 2，故a 3. 所以椭圆C的方程是 x2 9 y2 4 1. （）解：设A(x 1, y1) ，B(x2, y2)，直线AB的方程为x my 2. 将直线

17、AB的方程与椭圆C的方程联立， 消去x得 (4m29)y216my 20 0. 所以y 16m 1 y 2 4m29 ，y 20 1 y 2 4m29 . 若PF平分APB，则直线PA，PB的倾斜角互补， 所以k PA k PB 0. 设P(a,0)，则有 y 1 x a y 2 x 0. 12 a 将 x 1 my 1 2，x 2 my 2 2代入上式， 整理得 2my 1 y 2 (2a)(y 1 y 2 ) (mya)(my 0， 1 2 2 2a) 所以 2my 1 y 2 (2 a)(y 1 y 2 ) 0. 将 y 16m 1 y 2 4m29 ，y1y2 20 4m29 代入上式

18、， 整理得(2a9)m 0. 由于上式对任意实数m都成立，所以 a 9 2 . 2 分 4 分 5 分 7 分 8 分 9 分 12分 13分 综上，存在定点P( ,0)，使PM平分APB.14 分 20.（本小题满分 13 分） （）解：数列A 3 :4,2,8不能结束，各数列依次为2,6, 4；4,2,2；2,0, 2；2,2,0；0,2,2； 9 2 2,0, 2；从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形 2 分 数列A 4 :1,4,2,9能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4 ；0,0,0,0 3 分 （）解：A 3 经过有限次“T变换”后能够结束的充

19、要条件是a 1 a 2 a 3 4 分 若a 1 a 2 a 3 ，则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0，从而结束 5 分 当数列A 3 经过有限次 “T变换” 后能够结束时， 先证命题 “若数列T(A 3 )为常数列， 则A 3 为常数列” 当a 1 a 2 a 3 时，数列T(A 3 ):a 1 a 2 ,a 2 a 3,a1 a 3 由数列T(A 3 )为常数列得a 1 a 2 a 2 a 3 a 1 a 3 ，解得a 1 a 2 a 3 ，从而数列A 3 也 为常数列 其它情形同理，得证 在数列A 3 经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变 换

20、之前的数列也为常数列，可知数列A 3 也为常数列8 分 所以，数列A 3 经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a 1 a 2 a 3 （）证明：先证明引理： “数列T(A n )的最大项一定不大于数列A n 的最大项，其中n 3” 证明：记数列A n 中最大项为max(A n )，则0 a i max(A n ) 令BnT(A n )，b i a p a q ，其中a p a q 因为aq 0，所以bi a p max(A n )， 故max(Bn) max(A n )，证毕 9 分 现将数列A 4 分为两类 第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻） ，此时由 引理可知，max(B4) max(A 4 )1 第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4) max(A 4 ) 下面证明第二类数列A 4 经过有限次“T变换” ，一定可以得到第一类数列 不妨令数列A 4 的第一项为0，第二项a最大(a 0) （其它情形同理） 当数列A 4 中只有一项为0时， 若A 4 :0,a,b,c(a b,a c,bc 0)，则T(A 4